Материал: Прості ланки

-           ірраціональні зв’язки, описуємі ірраціональними передаточними функціями,

-        трансцендентними, описуючі трансцендентними передаточними функціями.

В зв’язках з розприділеними параметрами кількість особливостей передаточних функцій може направлятися до безкінечності і аналіз динамічних властивостей системи очікує перегляду допоміжних питань. Це причетне з тим, що зв’язок обписується вже не звичайними лінійними диференціальними рівняннями, а рівняннями в часних виготівельних.

Розглянемо зв’язки кожної із перерахованих груп і приклади реальних елементів, відповідних їм.

.2 СТІЙКІ НЕМІНІМАЛЬНО-ФАЗОВІ ЗВЯЗКИ

В ряді приладів, наприклад при диференціальних або мостових з’єднаннях, зустрічаються зв’язки, описуючі диференціальними рівняннями, маючі неправильні коефіцієнти в правій частині рівняння і відповідно нулі в правій півплощині. При цьому фазовий здвиг між входом і вихідним сигналами може перевищити .

Диференціальне рівняння стійкого не мінімально-фазового зв’язку першого порядку має вигляд

.

Комплексний коефіцієнт підсилення такого зв’язку

,

а передаточна функція

.

Приклад. Прикладами таких зв’язків можуть служити мостові схеми, зображені на мал. У випадку (а) рівняння має вид

;

а у випадку (б)

.

Тут =+, а =-. В обох випадках мається на увазі, що >.

Для схеми(а) k=1,то =С, , <1.

Для схеми (б) <1, , , >1

На мал. вистроєні частотні характеристики розглянутого зв’язку.

Вистроювання виконано для нормування характеристик  і  при <1 і >1.

Як видно з побудови, при<1 і >1 частотні годографи лежать в третьому і четвертому квадрантах, маючи вид півкругів. Відповідно інверсні характеристики представляють собою півкруги лежачі в першому і другому квадрантах.

При різноманітному розташуванні годографів W(jΩ) для інерційно-форсуючого і немінімально-фазового розглянутого зв’язку їх амплітудно-частотні характеристики аналогічні. Дійсно, в розглянутому випадку

,

що повністю співпадає з формулою для інерц.-форсуючої ланки.

Відповідно аналогічні і логарифмічні амплітудно-частотні характеристики.

Для фазочастотних характеристик

,

що суттєво відрізняється від інерц.-форсуючої ланки.

Таким чином, при спів паданні амплітудно-частотних характеристик мінімально-фазових і не мінімально-фазових зв’язків їх фазочастотні характеристики не співпадають.

Це дуже важливе становище необхідно завжди мати на увазі при визначенні фазочастотної характеристики при відомій амплітудно-частотній.

По передаточній функції може бути знайдена перехідна функція (мал, а)

І вагова функція

.

Із малюнка видно, що h(t) в залежності від часу змінює знак, однак на відміну від аналогічних характеристик мінімально-фазових зв’язків величина τ не приділяє такого суттєвого впливу на хід кривих h(t) і ω(t).

4.3 Нестійкі зв’язки

.

Передаточна функція

.

Рівняння і відрізняються від (3.60) і (3.62) лише знаком при. Всі види зв’язків першого порядку можна описати одним і тим же рівнянням, якщо врахувати, що при >0 і>0 зв'язок - мінімально-фазове типове; при >0 не залежно від знака  зв'язок- нестійке.

На мал. зображені приклади нулів і полюсів передаточних функцій зв’язків першого порядку при різних знаках і  в рівнянні.

Найбільш поширеним прикладом нестійкого зв’язку являється квазіінерційний зв'язок, для якого =0. В цьому випадку, в залежності від випадку позитивних напрямків x і y дістаємо

.                                     (4.12)

або

.                                   (4.13)

Приклад. Прикладом нестійкого зв’язку може бути асинхронний двигун в деяких особливих режимах роботи.

Комплексний коефіцієнт підсилення нестійкого квазі-інерційного зв’язку

,

а передаточна функція

,

Годографи амплітудно-фазової характеристики нестійкого квазиінерційного зв’язку зображений на мал. 4.5,а і б.

Як видно із побудови, прямої і інверсної годографи комплексного коефіціента підсилення представляють собою зеркальні відображення відносно уявної осі годографів, дістаних для інерційного зв’язку.

Амплітудно-частотна характеристика має тот же вираз, що і для типового інерційного зв’язку

.

Таким чином, графіки W (ω) і L (lg ω) розглядуючого нестійкого зв’язку нічим не відрізняються від аналогічних графіків типового інерційного зв’язку. Фазочастотна характеристика

.

Ця залежність (мал. (в) і (г)) представляє собою дзеркальне відображення фазочастотної характеристики інерційного зв’язку відносно прямої , відповідно уявній осі.

Із перегляду отриманих частотних характеристик можна зробити висновок, що нестійкі зв’язки можуть мати точно такі ж амплітудно-частотні характеристики, як і стійкі зв’язки, однак при цьому фазо-частотні характеристики суттєво відрізняються

По передаточній функції може бути знайдена перехідна функція (мал.,д)

і вагова функція (мал. ,е)

Для лінійних нестійких зв’язків не існує установленого режиму, і з протягом часу при любій вхідній величині вихідна величина направляється до нескінченності.

Зв’язок з розподіленими параметрами, описаний одномірним рівнянням теплопровідності Фур’є

де υ =υ (r, t), - величина, залежна від просторової координати r і часу t, має ірраціональну передаточну функцію, вид якої суттєво залежить від граничних умов, враховуючих вхідний сигнал і місце зняття вихідного сигналу.

Переглядаючи величину v як синусоїдально змінюючу з частотою ω , тобто υ = Im V(jωt), фазор якої

,

рівняння можна представити наступним чином:

Це однорідне диференціальне рівняння, маюче корені характеристичного рівняння

Рішення рівняння (4.22) має вигляд

де А і В - коефіціенти, залежні від граничних умов.

Якщо граничною умовою являється Vm = 0 при r→∞ , то В = 0 і

Найбільш характерні три випадки прикладання вхідних і зняття вихідних взаємодій:

а)

що відповідає граничним умовам першого роду;

б)

що відповідає граничним умовам другого роду ,

в)

що відповідає граничним умовам третього роду.

Комплексний коефіціент підсилення зв’язку W (jω) визначається як з урахуванням рівняння. При цьому постійна А скорочується і для трьох переглянутих прикладів дістаємо:

у випадку (а)

;

у випадку (б)

,

або

;

у випадку (в)

,

або

.

В усіх випадках комплексний коефіцієнт підсилення виражається ірраціональною функцією jω. Прикладами ірраціональних зв’язків можуть служити різні дифузійні і теплові об’єкти (мал. а ) і об’єкт радіаційного підігріву; об’єкти індукційного підігріву; телефонний кабель (мал., б ) з розподіленими опором і ємністю.

Приклад. 4.3. Нехай тіло невизначеної товщини (див. мал. ) нагрівається потоком випромінювання при відсутності тепловіддачі з поверхні Тоді рівняння набуває виду

Ці рівняння співпадають при

Виходячи, для радіаційної печі

де α - коефіцієнт теплообміну між поверхнею речовини і повітрям, і температура повітря  приймається рівним нулю, то комплексний коефіцієнт підсилення виражається рівнянням

.

якщо в якості вхідної величини розглядати температуру поверхні тіла , а вихідною - температуру на глибині l , тобто

, то

.

Вказавши , вирази можливо записати слідуючим чином

,

,

,

Передаточними функціями, відповідно виразам при

 і , будуть:

,

,

.

Вирази відрізняються від передаточних функцій інтегруючого і інерційного зв’язку лише квадратним коренем. По аналогії з інтегруючими і інерційними, такі зв’язки можна назвати напівінтегруючими і напівінерційними. Третій вираз не тільки ірраціональний, а також і трансцендентний.

Розглянемо характеристики ірраціональних зв’язків, описаних

СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРА

1.              Теорія автоматичного керування М.Г.Попович О.В.Ковальчук Київ "Либідь" 2007

2.      Андрющенко В.А.Теория систем автоматического управления.2010.

.        Анхимюк В.Л.Теория автоматического управления.2010.

.        Бесекерский В.А.Теория систем автоматического управления.2013.

.        Воронов А.А.Основы теории автоматического регулирования и управления.2007.

.        Келим Ю.М.Типовые элементы систем автоматического управления.2012.

.        Ким Д.П.Теория автоматического управления.Т1.Линейные системы.2013

.        Михайлов В.С.Теория управления.2008

.        Олссон Г.Цифровые системы автоматизации и управления.2011.

.        Тюкин В.Н.Теория управления.2010.Ч1.

.        Цыпкин Я.З.Основы теории автоматических систем.2007.

.        Юревич Е.И.Теория автоматического управления.2005.