Материал: Практика решения задач по физике. Часть 5. Квантовая физика. Евсюков В.А., Показаньева С.А

следовательно, по Хунду J=L+Smax=1+1=2. Мультиплетность ѵ=2S+1=3. Терм основного состояния 3Р2.

5.181. Будем полагать, что электронная конфигурация атома идеальна по отношению к принципу Паули. В d- подоболочке атома может находиться не более 10 электронов (l=2, 2(2l+1)=10). Значения возможных квантовых чисел ml и ms для d-подоболочки представлены таблицей.

5.182. По терму атома с одной незаполненной подоболочкой найти число электронов в этой подоболочке:

111

а) Терм 3F2. Из символического обозначения терма имеем значения квантовых чисел: S=1, L=3, J=2. Для основного состояния атома квантовые числа S, L и J по правилам Хунда имеют максимальные значения и удовлетворяют условию J=|L-S|(*). Значения чисел S=1, L=3 и условие (*) говорят о том, что число электронов в подоболочке мало, а точнее – два. В самом деле, всем этим условиям отвечают два состояния с ml=1; 2

и ms=1/2, для которых l=2, a L ml 1 2 3,

= ∑ = + = 1. Эти состояния заняты электронами в d-

подоболочке атома. Итак, заданный терм соответствует наличию в незаполненной подоболочке двух d-электронов.

б) Терм 2Р3.2. здесь S=Smax=1/2 по формуле ѵ=2=2S+1, Lmax=1, J=3/2, выполняется условие J=L+S, число электронов в незаполненной подоболочке не меньше половины допустимого их числа. Поскольку кв. число L принимает целочисленные значения и L=Lmax=1, орбитальное квантовое число отдельного электрона l=1 (р-подоболочка), а ml=0, ±1 и ms=±1/2 (шесть разрешенных состояний). Так как Jmax=Lmax+Smax=1+1/2=3/2 и число электронов больше трех, имеем случай трех электронов со спинами одного направления (ms=1/2) и два электрона с противоположными направлениями спинов (ms=±1/2). Итак, вытекает, что в незаполненной р-подоболочке атома содержится пять р-электронов.

в) Терм 6S5/2. В данном случае квантовые числа S=5/2, L=0, J=5/2, причем L=L+S=|L-S|=5/2. Так как S=Smax=5/2, то в некоторой незаполненной подоболочке имеется не менее пяти электронов с одним направление спинов (с ms=1/2) и возможно одна или более пар электронов с противоположными спинами (с ms=±1/2). Однако L=0, что возможно при симметричных значениях ml=0, ±1, ±2 и.т.д., для пяти электронов ml=0, ±1, ±2 и

112

l=2. Если теперь допустить существование одной пары электронов с противоположными спинами, то она возможна как при ml=3, так и при ml=-3, что обусловит значение L≠0. По этой причине невозможны и другие пары электронов с |ml|>2, имеющих противоположные спины.

Приходим к выводу: l=2, число электронов N=5, т.е. в недостроенной d-подоболочке содержится 5 электронов из 10 разрешенных (данный терм определяет d5-конфигурацию).

5.183. По известному значению спинового квантового числа S и заданной степени заполнения некоторой подоболочки атома найти основной спектральный терм:

а) S=1, заполнение электронами на 1/3. Согласно правилам Хунда J=|L-S|=|L-1| и условия J≥0, квант. число полного момента имеет значение J=0; квант. Число полного орбитального момента L=1, поскольку L≥0. Итак, значения квантовых чисел S=1, L=1 и J=0 определяют терм 3Р0, где мультиплетность ѵ=2S+1=3.

б) S=3/2, заполнение 70%. В этом случае на основании условий J=L+S=L+3/2 и L≥0, квантовое число J≥3/2. Исходя из того, что S=3/2, в некоторой подоболочке должно находиться три электрона с одинаковыми направлениями спинов (ms=1/2, ½, ½ или ms=-1/2, -1/2, -1/2) и несколько пар (в общем) электронов с противоположными спинами. В связи с этим, а также тем, что заполнение искомой подоболочки более, чем на половину, то подоболочки s и p исключаются, и следует подозревать подоболочки d и f с l=2 и l=3. Если обратить внимание на точную цифру степени заполнения подоболочки (70%), то этому условию отвечает d-подоболочка и число электронов в ней N=0,7*10=7 (три электрона с однонаправленными спинами и две пары электронов с противоположными спинами). В приведенной таблице показаны возможные nd-состояния и состояния d7- конфигурации (выделенные прямоугольниками). С помощью

113

таблицы видим, что числу Smax=3/2 соответствует

Lmax ml 1 2 3 . Итак, окончательно имеем: S=3/2, L=3, J=3/2+3=9/2, спектральный терм 4F9/2.

5.184. Так как некоторая незаполненная подоболочка атома содержит три электрона , то для этой подоболочки l≥1. Для р3 конфигурации L=0 и, следовательно, отбрасывается, поскольку L=3 (см. задачу 5.180). В задаче 5.181. была рассмотрена конфигурация d3, для которой L=3 и S=Smax=3/2. По правилу Хунда в этом случае J=|L-S|=3-3/2=3/2. Мультиплетность ѵ=2S+1 =4. Спектральный терм основного состояния атома 4F3/2.

5.185. Статистический процесс высвечивания возбужденных атомов подобен простому процессу распада радиоактивных ядер.

Вдоль пучка возбужденных атомов введем ось Х с началом отсчета х=0, расположенным в начальном сечении пучка. Интенсивность свечения пучка в произвольном сечении х пропорциональна плотности возбужденных атомов в этом месте пучка. Само свечение обусловлено переходом атомов из возбужденных состояний в основное состояние.

Пусть в начале пути (х=0) плотность возбужденных атомов n0, а в сечении х, т.е. в момент времени t=x/u, где u – скорость атомов, равна n=n(x), или n=n(t). Далее за процессом будем отслеживать во времени. За промежуток времени от t до t+dt плотность возбужденных атомов уменьшится на величину dn, пропорциональную плотности n к моменту времени t и промежутку времени dt, что позволяет написать dn=-λndt, где λ –

114

коэффициент пропорциональности. Это же можно представить в виде дифференциального уравнения dn/n=-λdt, решением которого является функция n=const*e-λt. Из начального условия n(t=0)=n0 имеем const=n0. Временная зависимость n(t) получает вид n=n0e-λt. В момент времени t=l/u, по условию n/n0=η и, следовательно, τ=uln / .

Теперь вычислим среднее время жизни τ возбужденных

атомов τ=1,3 мкс.

5.186. Пусть за время импульса освещения паров ртути на резонансной частоте образовалось N0 возбужденных атомов. В процессе перехода атомов в основное состояние возникнет вторичное излучение той же частоты. Длительность высвечивания возбужденных атомов занимает очень малый промежуток времени. Располагая мощностью Р излучения парами ртути и средним временем τ нахождения атомов в возбужденном состоянии, можно найти число высветившихся атомов за единицу

в состоянии резонансного возбуждения равно N0=7·109.

115