Материал: Переходные процессы в линейных ЭЦ часть 1
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
i |
// |
t |
|
t |
|
t |
|
|
t |
||||
|
A e |
1 |
A e |
2 |
|
... A e |
n |
|
A e |
k |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
||||
|
|
1 |
|
2 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
а решение уравнения (1.1) записывается следующим образом
|
|
|
n |
|
|
/ |
|
k |
t |
i i |
|
|
A e |
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
k 1 |
, |
|
|
|
|
,
6
(1.2)
где |
A |
есть постоянные, определяемые из начальных условий. Число этих по- |
k |
стоянных равно «n», поэтому для их определения необходимы «n» уравнений.
Эти уравнения получим следующим образом
d |
m |
i |
|
d |
m |
/ |
|||
|
|
|
|
i |
|
||||
dt |
m |
dt |
m |
||||||
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||
|
n |
|
|
k |
|
|
k |
t |
|||
|
|
|
m |
|
|
|
|
A e |
|
||
|
|
|
|
k |
|
|
k 1 |
|
|
|
|
.
(1.3)
Внимание. Характер «свободной» составляющей не зависит от вида свободно-
го члена |
f t |
(уравнение (1.1)), этот член влияет только на амплитуду |
«свободной» составляющей Далее используем уравнение (1.2) и уравнения, получаемые из уравнения
(1.3) при m 1, 2, ...,n 1 .
d |
m |
i |
|
|
|
||
dt |
m |
||
|
|
||
В левую часть этих уравнений подставим соответствующие значения |
i |
, |
|
||
при t 0 , а для правой части положим t 0. |
|
|
Получим
i 0 i |
|
0 |
|
n |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
A |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
/ |
|
|
|
|
k |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
, |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
di |
|
|
|
di |
/ |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
k |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
dt |
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
||||
|
t 0 |
|
|
|
t 0 |
|
k 1 |
|
, |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
……………….. |
|
|
|
|||||||||||
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
/ |
|
|
n |
|
||
d |
|
|
i |
|
|
d |
i |
|
|
kn 1 Ak |
|
|||||
dtn 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
t |
0 |
|
|
|
dtn 1 |
|
k 1 |
. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t 0 |
|
||||
(1.4)
7
Здесь величины, стоящие слева называются зависимыми начальными
условиями. |
|
Они определяются с помощью независимых начальных условий: |
uC ( 0 ) и |
iL ( 0 ) . А они согласно законам коммутации равны токам в тех же катушках и
напряжениям на тех же конденсаторах при t 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поэтому для определения независимых начальных |
условий: |
uC ( 0 ) |
и |
|||||||
iL ( 0 ) , необходимо рассчитать установившийся режим до коммутации. |
|
|
|
|||||||
|
di |
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Для определения зависимых начальных условий |
|
,… |
d |
|
i |
|
|
нужно |
||
|
|
|
|
|
||||||
dt |
|
dt |
n 1 |
|
|
|||||
|
t 0 |
|
|
|
t 0 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
решить уравнения для момента после коммутации при t 0 .
Решая уравнения (1.4), находим постоянные Аk.
Следует отметить, что определение постоянных интегрирования при ре-
шении однородных дифференциальных уравнений представляет значительные трудности, которые можно полностью избежать, если пользоваться оператор-
ным методом (будем рассматривать позднее.).
Если среди корней характеристического уравнения есть кратные и ком-
плексные числа, то общее решение однородного уравнения имеет другой вид.
Пусть i |
есть кратный корень m-й кратности. Тогда свободный ток равен |
i// A1e 1t A2e 2t ... Ai 1e i 1t Ai Ai 1t ... Ai m 1tm 1 e i t ... Ane n t .
Если среди корней характеристического уравнения есть комплексные числа, то они могут быть только попарно сопряженными с отрицательными
вещественными частями (если коэффициенты характеристического уравнения -
действительные числа). Пусть 1 |
j , 2 |
j , а все другие корни веще- |
||||||||||||
ственные числа. Тогда свободный ток равен |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
i |
// |
A e |
t |
cos t A e |
t |
|
|
t |
|
t |
|
|||
|
|
|
sin t A e |
3 |
|
... A e |
n |
|
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
n |
|
|
|
**** Корни характеристического уравнения можно найти, не выводя и не ре-
шая последнего. Для этого находится выражение для входного операторного сопротивления исследуемой схемы относительно двух зажимов, получающихся в результате размыкания любой ветви схемы (если в схеме нет короткозамкну-
8
тых ветвей). Полученное выражение приравнивается нулю, в результате реше-
ния этого уравнения находятся корни, которые являются корнями
характеристического уравнения.
1.2. Переходные процессы в цепи с последовательно
соединенными R и L (1 порядка)
а). Включение на постоянное напряжение
Здесь и в дальнейшем направление стрелки у ключа показывает действие во время коммутации.
Пусть t=0 есть момент коммутации.
Составим уравнение цепи после коммутации
( t 0 )
U Ri L |
di |
. |
(1.5) |
|
dt |
||||
|
||||
|
|
|
Решение уравнения (1.5) ищем в виде
i i |
/ |
i |
// |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Установившийся ток нового стационарного режима равен |
i |
/ |
|
U |
||||||
|
|
|
||||||||
|
|
|
R |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Свободный ток ищем в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
// |
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
Ae |
. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Составим уравнение для свободного тока, для этого в уравнении няем нулю приложенное напряжение, в результате получим
(1.6)
.
(1.5) прирав-
|
|
|
di |
// |
Ri |
// |
L |
|
|
|
|
|||
|
dt |
|||
|
|
|
||
Характеристическое уравнение имеет вид
0
.
R L 0 .
Решаем характеристическое уравнение и находим корень:
Величина
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
9
RL .
называется постоянной времени переходного-
процесса, она характеризует интенсивность протекания переходного процесса и зависит только от параметров цепи.
Теоретически новый установившийся режим наступает при t . Прак-
тически уже при 4 5 переходный процесс можно считать завершенным.
****** Обычно длительность переходных процессов можно считать из-
меряемой долями секунд. В цепях, не содержащих индуктивных катушек и конденсаторов, установившийся режим наступает практически мгновенно.
Чтобы найти постоянную интегрирования А, уравнение (6) запишем сле-
дующим образом:
|
U |
|
|
R |
t |
|
i |
Ae |
L |
||||
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
||
|
R |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||
До коммутации ( t 0 ) ток в цепи определяется |
||||||
i 0 0 . |
|
|
|
|
|
|
Согласно закону коммутации i 0 i 0 0 .
Запишем уравнение (1.7) для момента коммутации t
(1.7)
следующим образом
0 и найдем величину А
0 |
U |
|
R |
||
|
A
,
A |
U |
|
R |
||
|
.
Формируем выражение для тока в переходном режиме в соответствии с форму-
лой (1.7):
i U 1 e |
t |
|
|
|
|
R |
|
|
.
Задаваясь значениями време-
ни по полученному выражению можно построить график тока (рис. 1.2). При этом необходимо учиты-
10
вать, что переходный процесс, как правило, длится 4 5 .
Постоянную можно определить по графикам. Для этого необходимо провести касательную к любой точке графика, опустить перпендикуляры на ось времени из точки касания и точки пересечения касательной уровня, соответ-
ствующего установившемуся значению тока. Расстояние между этими перпендикулярами равно постоянной времени.
Напряжение на индуктивности определяется по формуле:
u |
|
L |
di |
|
U |
e |
t |
|
L |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ue |
t |
|
|
||
|
|
.
По аналогии строится график изменения напряжения на индуктивной ка-
тушке во время переходного режима (рис. 1.2).
б). Короткое замыкание (Рис. 1.3).
Пусть t=0 есть момент коммутации. Составим уравнение цепи после коммутации ( t 0 )
0 Ri L |
di |
. |
|
dt |
|||
|
|||
|
|
Решение уравнения (1.8) ищем в виде
(1.8)
i i/
i |
// |
|
. |
|
(1.9) |
Установившийся ток нового ста- |
||
ционарного режима равен i |
/ |
0 . |
|
|
|
Свободный ток ищем в виде i// Ae t .
Составим уравнение для свобод-
ного тока:
Ri// L di// 0 . dt