Материал: Переходные процессы в линейных ЭЦ часть 1
1
Тема ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ
1. Расчет переходных процессов в линейных цепях с сосредоточенными параметрами классическим методом
1.1. Основные положения. Законы коммутации. Основы классического метода
В электрических цепях часто происходят включения и отключения пас-
сивных или активных ветвей, а также различного рода переключения или внезапные изменения параметров.
Существуют два режима работы электрических цепей: установившийся
(стационарный) и переходный (неустановившийся).
Под установившимся режимом понимается режим, при котором токи и напряжения в цепи могут существовать неограниченно долго, не изменяя свое-
го характера, причем последний определяется видом ЭДС или видом заданных токов. Если в цепи действуют постоянные во времени ЭДС, то в установившем-
ся режиме токи и напряжения на всех участках также постоянны во времени.
Если ЭДС в цепи изменяются по синусоидальному закону, то токи и напряже-
ния в установившемся режиме изменяются по тому же закону.
Под переходным режимом понимается процесс, возникающий в цепи при переходе от одного установившегося режима к другому. Этот переход вызыва-
ется коммутацией, под которой понимается: подключение цепи к источнику ЭДС, скачкообразное изменение ЭДС, отключение цепи от источника, короткое замыкание цепи, скачкообразное изменение параметров цепи и т. п.
Реально процесс коммутации занимает конечный, хотя и весьма малый промежуток времени t .
Если не интересоваться процессом в течение указанного промежутка времени
t , а рассматривать лишь процесс после того, как коммутация закончена, то можно считать, что коммутация совершается мгновенно ( t 0 ).
2
Допустим, что коммутация совершается мгновенно и происходит при
t 0 . Обозначим момент времени, |
непосредственно прилегающий к моменту |
коммутации до коммутации – t 0 |
; а момент времени, прилегающий к момен- |
ту коммутации, но после коммутации, через t 0 .
Электрическая цепь, как правило, содержит такие элементы как конден-
сатор и индуктивная катушка. Эти элементы называют накопителями энергии.
Энергия электрического поля конденсатора равна W |
|
|
СuC2 |
|
; |
|
|
|
Э |
|
|
|
|||||
|
2 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
Li |
2 |
|
|
энергия магнитного поля индуктивной катушки равна WM |
L |
. |
||||||
|
||||||||
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||
Допустим, что при коммутации имеет мгновенное, но вполне определен- |
||||||||
ное изменение мощности, сообщаемой цепи. Если потери на поглощение и на излучение малы, то вся эта мощность пойдет на увеличение энергии электро-
магнитного поля цепи. Это означает, что при всех мгновенных, но определенных по величине изменениях мощности, отдаваемой источником,
фактическая энергия поля в системе не изменяется мгновенно, так что при коммутации энергия накопителей не может измениться, т.к. они обладают инерцией
WЭ WЭ 0 WЭ 0 0, WМ WМ 0 WМ 0 0 .
Так как
C,
L const , то следует
u |
0 u |
0 |
, |
C |
C |
|
iL 0 iL 0
Таким образом, в момент коммутации напряжения на обкладках конденсато-
ров и токи в индуктивных катушках – непрерывные функции времени, другими словами: в момент коммутации остаются неизменными напряжения на об-
кладках конденсатора и токи в индуктивных катушках. Этот факт обычно называют законами коммутации.
(*Если в ветви с конденсатором до момента коммутации напряжение на его обкладках было равно нулю, то в момент коммутации напряжение на конденсаторе также останется равным нулю. Если бы в момент коммутации в
3
ветви с конденсатором напряжение на его обкладках изменилось скачком, то
ток через конденсатор iC C |
duC |
будет равен бесконечности, что нарушает |
dt |
второй закон Кирхгофа).
(**Если в ветви с индуктивностью до момента коммутации ток был равен нулю, то в момент коммутации ток в этой ветви также останется равным нулю. Если бы в момент коммутации в ветви с катушкой индуктивности ток изменил-
ся скачком, |
то напряжение |
u |
L |
L di |
будет |
равно бесконечности, что |
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
противоречит второму закону Кирхгофа.) |
|
|
|||||
(*** |
Кроме того, энергии |
магнитного |
и электрического полей |
||||
|
|
Li |
2 |
W |
|
||
|
|
||
маг |
|
2 |
|
|
|
||
|
Wэл |
Сu |
2 |
и |
|
||
2 |
|
||
|
|
|
за бесконечно малый промежуток времени не могут
изменяться скачкообразно, поскольку в противном случае катушка индуктивности и конденсатор обладали бы бесконечно большими мощностями, что лишено физического смысла, так как реальные источники питания, к которым подключаются элементы L и C, бесконечной мощностью не обладают)
Обычно обозначают uC 0 uC 0 , iL 0 iL 0 зависимыми начальными условиями.
Если до коммутации в момент времени
и называют uC 0 и iL 0 не-
t 0 имелись ток в катуш-
ке
i |
L |
( 0 ) |
|
|
и напряжение на конденсаторе
u |
С |
( |
|
|
0
)
,
которые определяются
процессом до коммутации, то говорят, что имеют место ненулевые начальные
условия, причем под ними понимаются ток в катушке |
iL ( |
конденсаторе uС ( 0 ) непосредственно после коммутации,
0 ) |
и напряжение на |
т.е. в момент време-
ни
t
0
.
Внимание. Очень важно различать значения токов и напряжений, имевших ме-
сто до коммутации, от начальных значений тех же величин, в особенности, при
использовании источников, характеризуемых разрывными функциями.
Согласно законам коммутации
u |
0 |
C |
|
u |
|
C |
|
0
;
iL 0 iL 0 .
Если ток в катушке и напряжение на конденсаторе до коммутации были равны
нулю, т.е.
i |
L |
0 |
|
|
0
, uC 0 0 , то принято говорить, что имеют место нулевые
начальные условия и по законам коммутации можно написать
uC 0 uC 0 0 , iL 0 iL 0 0 .
4
Расчет переходных процессов в электрических цепях основан на решении интегро-дифференциальных уравнений цепи, составленных по законам Кирхгофа. Эти уравнения составляются для состояния цепи после коммутации.
Они линейны, т.к. цепь – линейна.
В качестве переменных, относительно которых осуществляется решение,
лучше выбрать ток, протекающий через индуктивность, либо напряжение на конденсаторе, т.к. они подчиняются законам коммутации.
Основы классического метода
Пусть заданы ЭДС. Тогда неизвестными будут токи во всех «p» ветвях.
Число уравнений, подлежащих решению, будет равно «p». Допустим, что необ-
ходимо определить ток в k-ой ветви ( ik i ).
Тогда из указанных уравнений исключаем все другие токи и в результате
получим дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами (т.к.
цепь – линейная)
a |
|
d ni |
a |
|
d n 1i |
... a |
di |
a i f t |
(1.1) |
|
|
n 1 dtn 1 |
|
||||||
|
n dtn |
|
1 dt |
0 |
. |
||||
Порядок (n) уравнения определяется конфигурацией и характером цепи и числом ее накопительных элементов.
Порядок дифференциального уравнения можно определить следующим
образом. Сначала определяются независимые контуры в схеме цепи. Определя-
ется порядок каждого независимого контура. Он определяется только теми элементами, которые не использовались при составлении уравнений других контуров. Порядок всей схемы является суммой порядков всех отдельных кон-
туров. Порядок независимого контура считается равным нулю, если контур состоит только из активных сопротивлений. Если контур содержит только ин-
дуктивную катушку или только конденсатор, то порядок контура равен единице; при этом наличие или отсутствие активных сопротивлений не имеет значения. Если в контуре есть индуктивная катушка и конденсатор, то его по-
рядок равен двум.
5
Свободный член уравнения (1.1) – функция f t определяет возмущение системы, которое может включать функцию, характеризующую источники
(например, источники ЭДС), и несколько ее производных. В большинстве слу-
чаев функция f t - непрерывная функция времени, поэтому коэффициенты an
уравнения (1.1) зависят только от параметров цепи.
Решение уравнения (1.1) можно записать
i i/
i//
,
|
|
где i/ |
есть частное решение неоднородного уравнения (1.1), |
|||||||||||||
|
|
i |
// |
есть общее решение однородного уравнения ( f t 0 ). |
||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
i |
/ |
- установившийся ток цепи в новом состоянии (после коммутации), а |
||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
i |
// |
- свободный (преходящий) ток, который существует только во время пере- |
||||||||||||||
|
||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||
ходного процесса. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
Для |
|
определения |
i |
// |
необходимо |
|
найти корни характеристического |
|||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
уравнения |
a |
n |
a |
|
n 1 |
... a a |
0 |
. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
n |
|
n 1 |
|
|
1 |
0 |
|
||||||||
Для линейных пассивных электрических цепей все коэффициенты харак-
теристического уравнения – действительные и положительные.
При этом условии корни характеристического уравнения, если они явля-
ются простыми, могут быть:
действительными и отрицательными;
равными нулю;
мнимыми, попарно сопряженными;
комплексными с отрицательной действительной частью, попарно сопря-
женными.
Пусть корни этого уравнения простые (вещественные и разные по вели-
чине): 1, 2 ,..., n . Следует еще раз отметить, что корни должны быть
отрицательными числами. Тогда свободный ток ищется в виде