Материал: patrakeev_im_geoprostranstvennye_tekhnologii_v_modelirovanii

Из теорем 1, 2 вытекает доказательство того, что отдельная формула есть логическое следствие конечного множества формул, эквивалентно доказательству того, что некоторая связанная с ним формула общезначима или непротиворечива.

Необходимо отметить некоторые определения. Если F1, … , Fn |= G, то формула (F1 F2 … Fn ) G называется теоремой, а G - заключением теоремы. Использование теорем 1, 2 для доказательства факта F1,…, Fn |= G сводится в первом случае к доказательству общезначимости формулы (F1 F2 … Fn ) G путем сведения ее к конъюнктивной нормальной форме, а во втором случае – к доказательству

принимает значения 1 (TRUE) при любых интерпретациях значениях ее атомов, называется тавтологией. Тождественно ложная формула при всех интерпретациях ее атомов принимает значение 0 (FALSE) и называется противоречием. Примером тавтологии может служить высказывание: «Если внедрить новую технологию (P), то качество принятия решений улучшится (Q). При улучшении качества принятия решений (Q), повышается качество жизни населения (R). Новая технология внедрена (P). Следовательно, качество жизни улучшилось (R)». Формально данное высказывание можно записать в виде формулы

(P → Q) (Q → R) P → R.

Чтобы выяснить, является ли данная формула тавтологией, можно составить для нее истинностную таблицу. Так, для приведенной выше формулы имеем:

131

символической форме некоторую схему доказательства. Например, в соответствии с законом modus ponens, если истинно, что некоторое высказывание P имплицирует высказывание Q и, кроме того, P истинно, то истинно и Q.

Modus tollens применяется при доказательстве от противного: желая доказать утверждение P, предполагается, что P ложно, и показывается, что P имплицирует некоторое высказывание Q, о котором известно, что оно ложно (Q истинно). Отсюда заключается, что P истинно.

Формализация процесса вывода имеет большое теоретическое значение и позволяет построить схему доказательства, которая может быть реализована на основании использования современных вычислительных технологий.

Данный раздел написан в соответствии с работой [53]. Детальное изложение применений нечеткой логики в конкретных практических задачах можно найти в [50, 60 и др.].

Нечеткая логика (fuzzy logic) является обобщением классической формальной логики. Данное понятие было впервые предложено американским ученым Лотфи Заде (Lotfi Zadeh) в 1965 г. Основной причиной расширения классической логики будет наличие приближенных рассуждений при описании человеком процессов, явлений, событий, систем и объектов.

Широкое применение нечеткой логики произошло после доказательства в конце 80-х Бартоломеем Коско знаменитой теоремы FAT (Fuzzy Approximation Theorem). В бизнесе и финансах нечеткая логика получила признание после того как в 1988 году экспертная система на основе нечетких правил для прогнозирования финансовых индикаторов

133

единственная предсказала биржевой крах. В настоящее время количество успешных фаззи-применений исчисляется тысячами.

Нечеткая логика позволяет моделировать сложные системы, используя более высокий уровень абстракции, основываясь на человеческом знании и опыте. Это знание и опыт могут быть выражены через субъективные лингвистические переменные, такие как высокий, горячий или холодный и теплый. Такие лингвистические переменные могут быть отображены в точные числовые диапазоны.

Нечетким логическим выражением называется формула, в состав которой входят нечеткие предикаты. Нечетким предикатом называется отображение

Pfuzzy : Xn → [0, 1] ,

где X = {x}, n – любое натуральное число, принадлежащее отрезку [0, 1].

принадлежности описываемого данным набором высказывания к множеству истинных высказываний или коротко – степенью истинности. Интерпретация степени истинности, как и для функции принадлежности, может быть следующей: степень истинности – это вероятность того, что лицо, принимающее решение (ЛПР) назовет высказывание истинным.

Нечеткие логические выражения (или нечеткие формулы) отличаются от обычных наличием в их формулировках лингвистических и нечетких переменных, а также и нечетких отношений (предикатов). Рассмотрим некоторые примеры.

1.Нечеткий предикат примерного равенства AE (x,y): x y , где x, y R.

2.Нечеткий предикат порядка GT (C, H): C H , где C, H – нечеткие числа.

Пусть µ 1 и µ 2 – степени истинности высказываний и ,

134

пересечения нечетких множеств. При минимаксной интерпретации функции принадлежности будут иметь вид:

Степень истинности более сложных высказываний можно определить, последовательно сворачивая их с учетом старшинства операций и применяя формулы (4.10) – (4.13). Задание нечетких предикатов может производиться путем специального опроса ЛПР или с использованием

группы могут входить и обычные четкие операторы). Результат выполнения условного оператора (4.14) определим выражением:

µ Ω – степень истинности условия Ω.

Таким образом, результатом выполнения условного нечеткого оператора является нечеткое множество результатов выполнения соответствующих групп нечетких операторов. Содержательно определение (4.15) означает, что начинают выполняться обе группы нечетких операторов Θ и Ψ, однако каждая группа помечается своей пометкой – степенью истинности.

При необходимости однозначного определения группы операторов можно воспользоваться двумя способами.

1. Задать порог истинности γ0 (0, 1). Вычислить µ Ω. Тогда можно записать:

Необходимо обратить внимание на значение γ0 = 0,5. Оно относится к случаю, когда переход к выполнению группы нечетких операторов Θ осуществляется, если условие Ω более истинно, чем ложно. Увеличение γ0

135