Материал: patrakeev_im_geoprostranstvennye_tekhnologii_v_modelirovanii

чрезвычайно, которые могут оказывать существенное влияние на содержание лингвистических термов. То есть, связки, отрицания, неопределенности можно трактовать как операторы, которые видоизменяют смысл первичных термов особым, независимым от контекста образом. Например, если функция принадлежности лингвистического значения старый изображается кривой, показанной на рис. 4.8, то смысл лингвистического значения очень старый может быть получен возведением в квадрат значений функции принадлежности лингвистического значения старый. Смысл лингвистического значения не старый можно получить, вычитая из 1 значения этой функции принадлежности (рис. 4.8.).

1

старый

0,5

очень старый

u

50 55

Рис. 4.8 – Функции принадлежности для лингвистических значений

не старый, старый и очень старый

Алгебраические операции над нечеткими множествами играют важную роль в семантике лингвистических переменных. Обозначив М как нечеткое множество, запишем несколько полезных операций:

1. Концентрация нечеткого множества М Х обозначается CON(М) и определяется как:

µ CON(М)(x) = ( µ М (x))2 для каждого x.

Эта операция при действиях с лингвистической переменной обычно отождествляется с модификатором «очень».

2. Раcтяжение нечеткого множества М Х обозначается DIL(М) и определяется как:

µ DIL(М)(x) = ( µ М (x))0,5 для каждого x.

126

Данная операция обычно отождествляется с модификаторами «примерно», «приблизительно».

Графическая интерпретация операции концентрации и растяжения

µ( x)

1

µ M(x)

µ DIL(М)(x)

Рис. 4.9 – Графическое представление операций концентрации и растяжения нечеткого множества

представлена на рис. 4.9.

Логика высказываний представляет собой начальный раздел математической логики и занимается исследованием операций с высказываниями. Одна из задач логики высказываний – построение формальных правил вывода правдоподобных суждений на основе заданной совокупности исходных фактов и известных отношений между ними.

Под высказыванием понимается повествовательное предложение, содержащее некоторое утверждение и обладающее тем свойством, что оно может быть либо истинным (TRUE) либо ложным (FALSE), но не тем и другим одновременно. В литературе по математической логике можно встретить следующие обозначения булевой переменной «1», «0», «И», «Л», «Т», «F». Символы А, В, С, …, используемые для именования элементарных высказываний, называются атомарными формулами или атомами. Составные высказывания строятся из элементарных (атомов) с помощью логических связок. В логике высказываний используют пять логических связок:

~ (не), (и), (или), → (если … то), ←→ (тога и только тогда).

Из знаков атомов, соответствующих простым высказываниям, и знаков логических связок в логике высказываний формируются выражения, позволяющие формально описывать структуры составных высказываний. Фундаментальным понятием в логике высказываний является понятие «формулы».

127

Правильно построенные формулы (или короче – формулы) определяются рекурсивно следующими правилами:

1.Атом есть формула;

2.Если А – формула, то (~ А ) - формула;

3.Если А и B – формулы, то (А B), (А B), (А → B), (А←→ B) формулы;

4.Никаких формул, кроме порожденных применением правил 1–3 нет. Для обеспечения однозначности смысла формул используются

круглые скобки. Знакам логических операций приписывается убывающий

формул А, В следующим образом:

1.Формула ~А истинна, когда формула А ложна и ложна, когда

Аистинна. Формула ~А называется отрицанием формулы А.

2.Формула А – В истинна, если, по крайней мере, одна из формул

А– В истинны, в противном случае формула А– В ложна. Формула А– В называется дизъюнкцией формул А– В.

3.Формула А В истинна, если формула А и В обе истинны, в противном случае формула А В ложна. Формула А В называется

конъюнкцией формул А В.

4.Формула А→В ложна, если А истинна и В ложна, во всех остальных случаях А→В истинна. Формула А→В называется импликацией

Аи В.

5.Формула А←→В истинна тогда и только тогда, когда А В имеют одинаковые истинностные значения, в противном случае правильно посула троенная форм если, по крайней мере, одна из формул А – В истинны, в противном случае формула А←→В ложна. Формула А←→В называется

эквиваленцией А и В.

Отношения между булевыми переменными, которые рассматриваются как логические операции, представляются булевыми функциями. В зависимости от числа переменных количество булевых функций

возрастает по закону Например, для двух аргументов существует 16 булевых функций, для

трех аргументов – 256, для 4 аргументов – 65500 функций. В литературе

128

нашли широкое применение булевы функции двух переменных. Соотношения между значениями истинности для двух высказываний А и В и получаемых из них с помощью логических связок приведено в таблице 4.1. Атомарные высказывания А и В могут принимать значение TRUE, в таблице представлено как «1», и FALSE – соответственно в таблице показано как «0». Различные логические операции, выполняемые над высказываниями А и В в таблице обозначены как w1 – w 16 .

Таблица 4.1

Интерпретация формул логики высказываний не вызывает трудностей для первых пяти колонок таблицы 4.1. Первые пять логических операций по своему применению максимально приближены к грамматическим конструкциям. Например, первая колонка (w1) содержит результаты выполнения операции логическое «и», вторая колонка (w2) содержит результаты операции логическое «или», в третьей колонке (w3) – результаты операции «исключающее или», которое приближается к

если … ». Необходимо отметить, что интерпретация формул логики высказываний к последним девяти логическим операциям (w6 к w16) будет достаточно трудно в терминах естественного языка. Более того, если необходимо выполнить интерпретацию для трех формул логики высказываний, то построение таблицы истинности становится еще более затруднительным [80].

Еще одним важным вопросом математической логики является возможность делать логические выводы. То есть получать логическое следствие из формул логики высказываний. Под логическим следствием будем понимать суждение, получающееся в результате сопоставления исходных суждений и применения к ним законом мышления. Важно

129

отметить, что результирующее суждение несет в себе новое знание о свойствах некоторого процесса, явления, феномена или об отношениях между ними. Исходные суждения называются посылками. Формальное определение логического следствия сводится к следующему.

Пусть даны формулы F1, F2, … , Fn и формула G. Говорят, что G есть

следствия, сводящийся к проверке общезначимости некоторой производной формулы. В основе этого способа лежат две важные теоремы.

130