Статья: Основы вейвлет-преобразования сигналов

Дискретное вейвлет-преобразование (ДВП) обеспечивает достаточно информации, как для анализа сигнала, так и для его синтеза, являясь вместе с тем экономным по числу операций и по требуемой памяти. ДВП оперирует с дискретными значениями параметров а и b, которые задаются, как правило, в виде степенных функций:

a = а_о^-m, b = k·а_о^-m, a_o > 1, m, k I,

где I - пространство целых чисел {-, }, m - параметр масштаба, k - параметр сдвига. Базис пространства L²(R) в дискретном представлении:

y_mk(t) = |а_о|^m/2y(а_о^mt-k), m, k I, y(t) L²(R)

Вейвлет-коэффициенты прямого преобразования:

C_mk =s(t)--y_mk(t) dt

Значение 'a' может быть произвольным, но обычно принимается равным 2, при этом преобразование называется диадным вейвлет-преобразованием. Для диадного преобразования разработан быстрый алгоритм вычислений, аналогичный быстрому преобразованию Фурье, что предопределило его широкое использование при анализе массивов цифровых данных.

Обратное дискретное преобразование для непрерывных сигналов при нормированном ортогональном вейвлетном базисе пространства:

s(t) = C_mk--y_mk(t)

Число использованных вейвлетов по масштабному коэффициенту m задает уровень декомпозиции сигнала, при этом за нулевой уровень (m = 0) обычно принимается уровень максимального временного разрешения сигнала, т.е. сам сигнал, а последующие уровни (m < 0) образуют ниспадающее вейвлет-дерево. В программном обеспечении вычислений для исключения использования отрицательной нумерации по m знак «минус» обычно переносится непосредственно в (1.2.6), т.е. используется следующее представление базисных функций:

y_mk(t) = |а_о|^-m/2y(а_о^-mt-k), m, k I, y(t) L²(R)

Устойчивость дискретного базиса определяется следующим образом.

Функция ?(t) L²(R) называется R-функцией, если базис на ее основе по (1.2.6) является базисом Рисса (Riesz). Для базиса Рисса существуют значения А и В, 0 < A ? B < , для которых выполняется соотношение

A||C_mk||² ? || C_mk--y_mk(t)||² ? B||C_mk||²,

если энергия ряда C_mk конечна. При этом для любой R-функции существует базис y^#_mk(t), который ортогонален базису y_mk(t). Его называют ортогональным «двойником» базиса y_mk(t), таким, что

y_mk(t), y^#_nl(t) = d_mn·d_kl.

Если A = B = 1 и а_о = 2, то семейство базисных функций {y_mk(t)} является ортонормированным базисом и возможно полное восстановление исходного сигнала, при этом y_mk(t) ? y^#_mk(t) и для реконструкции сигналов используется формула (1.2.8). Если y(t) не ортогональный вейвлет, но имеет «двойника», то на базе «двойника» вычисляется семейство y^#_mk(t), которое и используется при обратном преобразовании вместо y_mk(t), при этом точное восстановление исходного сигнала не гарантировано, но оно будет близко к нему в среднеквадратическом смысле.

Как и для непрерывного вейвлет-преобразования, обратное дискретное преобразование (1.2.8) не может выполнить восстановление нецентрированных сигналов в силу нулевого первого момента вейвлетных функций и, соответственно, центрирования значения вейвлет-коэффициентов C_mk при прямом вейвлет-преобразовании. Поэтому при обработке числовых массивов данных дискретные вейвлеты используются, как правило, в паре со связанными с ними дискретными скейлинг-функциями. Скейлин-функции имеют с вейвлетами общую область задания и определенное соотношение между значениями, но первый момент скейлин-функций по области определения равен 1. Если вейвлеты рассматривать, как аналоги полосовых фильтров сигнала, в основном, высокочастотных при выделении локальных особенностей в сигнале, то скейлин-функции вейвлетов представляет собой аналоги низкочастотных фильтров, которыми из сигнала выделяются в отдельный массив составляющие, не прошедшие вейвлетную фильтрацию. Так, например, порождающая скейлинг-функция вейвлета Хаара (1.1.15) задается следующим выражением:

При обозначении скейлинг-функций индексом j_mk(t) аналитика скейлин-функций повторяет выражения (1.2.6-1.2.7) и образует дополнительный базис пространства L²(R). Сумма вейвлет-коэффициентов и скейлинг-коэффициентов разложения сигналов соответственно дает возможность выполнять точную реконструкцию сигналов, при этом вместо (1.2.8) используется следующее выражение обратного вейвлет-преобразования:

s(t) =Сa_k j_k(t) + Сd_mk--y_mk(t),

где Ca_k - скейлин-коэффициенты, которые обычно называют коэффициентами аппроксимации сигнала, Cd_mk - вейвлет-коэффициенты или коэффициенты детализации. Более подробно использование скейлинг-функций будет рассмотрено в теме вейвлетного кратномасштабного анализа.

Частотно-временная локализация вейвлет-анализа. Реальные сигналы, как правило, конечны и принадлежат пространству L²(R). Частотный спектр сигналов обратно пропорционален их длительности. Соответственно, достаточно точный низкочастотный анализ сигнала должен производиться на больших интервалах его задания, а высокочастотный - на малых. Если частотный состав сигнала претерпевает существенные изменения на интервале его задания, то преобразование Фурье дает только усредненные данные частотного состава сигнала с постоянным частотным разрешением. Определенная частотно-временная локализация анализа создается применением оконного преобразования Фурье, что дает семейства частотных спектров, локализованных во времени, но в пределах постоянной ширины окна оконной функции, а, следовательно, также с постоянным значением и частотного, и временного разрешения.

В отличие от оконного преобразования Фурье, вейвлет-преобразование, при аналогичных дискретных значениях сдвигов b, дает семейства спектров масштабных коэффициентов а сжатия-растяжения

С (a, b) =s(t)--|а|^-1/2y_о[(t-b)/а] dt.

Если считать, что каждый вейвлет имеет определенную «ширину» своего временного окна, которому соответствует определенная «средняя» частота спектрального образа вейвлета, обратная его масштабному коэффициенту а, то семейства масштабных коэффициентов вейвлет-преобразования можно считать аналогичными семействам частотных спектров оконного преобразования Фурье, но с одним принципиальным отличием. Масштабные коэффициенты изменяют «ширину» вейвлетов и, соответственно, «среднюю» частоту их фурье-образов, а, следовательно, каждой частоте соответствует своя длительность временного окна анализа, и наоборот. Так малые значения параметра а, характеризующие быстрые составляющие в сигналах, соответствуют высоким частотам, а большие значения - низким частотам. За счёт изменения масштаба вейвлеты способны выявлять различия на разных частотах, а за счёт сдвига (параметр b) проанализировать свойства сигнала в разных точках на всём исследуемом временном интервале. Многоразмерное временное окно вейвлет-преобразования адаптировано для оптимального выявления и низкочастотных, и высокочастотных характеристики сигналов.

Для произвольной оконной функции z(t) L²(R) ее центр и радиус определяются формулами:

t_o =t |z(t)|² dt,

D_z = --

Если по этим функциям определить центры и радиусы вейвлетов и их фурье-образов, то временная локализация происходит с центрами окон b+at_o шириной win_t = 2aD_y(t),--а частотная - с центрами щ_о/а, и с шириной окна win_щ = 2D_y(w),--/а. При этом значение отношения центральной частоты к ширине окна не зависит от местоположения центральной частоты. Частотно-временное окно win_t·win_щ = 4D_y(t)D_y(w),--сужается при высокой центральной частоте, и расширяется при низкой. Схематическое изображение частотно-временных окон преобразования приведено на рис. 1.2.4. Таким образом, на высоких частотах лучше разрешение по времени, а на низких - по частоте. Для высокочастотной компоненты сигнала мы можем точнее указать ее временную позицию, а для низкочастотной - ее значение частоты.

Изменение частотно-временного окна вейвлета определяет угол влияния значений функции в произвольных точках t_i на значения коэффициентов С (а, b). И наоборот, угол влияния из точки С(a_i, b_i) на ось t определяет интервал значений функции, которые принимают участие в вычислении данного коэффициента С(a_i, b_i) - область достоверности. Схематически это показано на рис. 1.2.5.

По углу влияния наглядно видно, что высокочастотная (мелкомасштабная) информация вычисляется на основе малых интервалов сигналов, а низкочастотная - на основе больших. Поскольку анализируемые сигналы всегда конечны, то при вычислении коэффициентов на границах задания сигнала область достоверности выходит за пределы сигнала, и для уменьшения погрешности вычислений сигнал дополняется заданием начальных и конечных условий.

Образное представление преобразования. Представим себе длинный и узкий стеклянный ларь, произвольно заполненный шарами трех разных диаметров: 5, 10 и 15 см. Взглянем на ларь сбоку, и линию высоты насыпки будем считать значением сигнала в зависимости от расстояния от одного из торцов ларя (условно - нулевого).

Возьмем первый «вейвлет» - идеальное дифференциальное сито с диаметром отверстий d=5 см, через которое проходят только пятисантиметровые шары (аналог значения a_o). Передвигаясь вдоль ларя, «просеем» через это сито шары в ларе, не перемешивая их по расстоянию от нулевого торца ларя и размещая отсеиваемые шары в таком же ларе, сохраняя расстояние от начала ларя. Сменим масштаб «вейвлета» и повторим эту операцию ситом с диаметром отверстий 10, а затем 15 см. Если все три ларя расположить радом, мы получим двумерную «поверхность» насыпки отсеянных шаров, которая наглядно покажет распределение шаров в ларе и по размерам, и по их концентрации в различных участках ларя.

Данная модель разложения является довольно грубой, но интуитивно понятно, что обратная сборка шаров в ларь с сохранением их местоположения с определенной точностью восстановит высоту насыпки. Замените шары короткими фрагментами электронных сигналов произвольной, но одной и той формы в пределах диаметра шаров, например такими, как (t) на рис. 1.2.1, сложите все значения сигналов по текущим значениям t, и Вы получите сложный суммарный сигнал. Используя прямое вейвлет-преобразование с вейвлетами этих же составляющих, Вы можете разложить суммарный сигнал (и любой другой произвольный сигнал) на составляющие в масштабно-временной плоскости. Замените масштабную ось ширины вейвлетов на обратную ей частотную ось, и Вы представите результаты в частотно-временной плоскости. Заметим только, что точность, представительность и информативность результатов анализа во многом будут зависеть как от формы и особенностей анализируемого сигнала, так и от формы выбранных вами вейвлетов и параметров масштабирования и сдвига. Это определяется тем, что дифференциальное сито в примере с шарами - идеальная операция разделения, в то время как при вейвлет-преобразовании «идентификация» составляющих выполняется по скалярному произведению сигнала и функции вейвлета. Скалярное произведение в принципе не может давать однозначного ответа типа «да-нет», а только «наносит» на масштабно-временную плоскость определенные значения величины скалярного произведения. С одной стороны, выбор типа вейвлета вносит определенную субъективность исследователя в методику исследования сигналов, но, с другой стороны, дает исследователю новые возможности и свободу в поиске наиболее эффективных и оптимальных методов обработки сигналов и извлечения из них необходимой информации.

Достоинства и недостатки вейвлетных преобразований.

· Вейвлетные преобразования обладают всеми достоинствами преобразований Фурье.

· Вейвлетные базисы могут быть хорошо локализованными как по частоте, так и по времени. При выделении в сигналах хорошо локализованных разномасштабных процессов можно рассматривать только те масштабные уровни разложения, которые представляют интерес.

· Вейвлетные базисы, в отличие от преобразования Фурье, имеют много разнообразных базовых функций, свойства которых ориентированы на решение различных задач. Базисные вейвлеты могут реализоваться функциями различной гладкости.

· Недостатком вейвлетных преобразований является их относительная сложность.

Практическое использование вейвлет-преобразований связано, в основном, с дискретными вейвлетами как в силу повсеместного использования цифровых методов обработки данных, так и в силу ряда различий дискретного и непрерывного вейвлет-преобразований.

Непрерывные вейвлеты дают несколько более наглядное представление результатов анализа в виде поверхностей вейвлет-коэффициентов по непрерывным переменным. На рис. 1.2.6 анализируемый сигнал состоит из двух модулированных гауссианов. Преобразование вейвлетом Морлета четко показывает их пространственную и частотную локализацию, в то время как спектр Фурье дает только частотную локализацию.

Однако базисы на основе непрерывных вейвлетов, как правило, не являются строго ортонормированными, поскольку элементы базиса бесконечно дифференцируемы и экспоненциально спадают на бесконечности. У дискретных вейвлетов эти проблемы легко снимаются, что обеспечивает более точную реконструкцию сигналов.

Выбор конкретного вида и типа вейвлетов во многом зависит от анализируемых сигналов и задач анализа, при этом немалую роль играет интуиция и опыт исследователя. Для получения оптимальных алгоритмов преобразования разработаны определенные критерии, но их еще нельзя считать окончательными, т.к. они являются внутренними по отношению к самим алгоритмам преобразования и, как правило, не учитывают внешних критериев, связанных с сигналами и целями их преобразований. Отсюда следует, что при практическом использовании вейвлетов необходимо уделять достаточное внимание проверке их работоспособности и эффективности для поставленных целей по сравнению с известными методами обработки и анализа.

Литература

1. Астафьева Н.М. Вейвлет-анализ: Основы теории и примеры применения. - Успехи физических наук, 1996, т. 166, №11, стр. 1145-1170.