Скалярные произведения сигнала с вейвлетами
Для начального значения масштабного коэффициента сжатия m определяется функция вейвлета (y1 (t) на рис. 1.1.7), и вычисляется скалярное произведение сигнала с вейвлетом y1 (t), s (t+k) с аргументом по сдвигу k. Для наглядности результаты вычисления скалярных произведений на рис. 1.1.7 построены по центрам вейвлетных функций (т.е. по аргументу k от нуля со сдвигом на половину длины вейвлетной функции). Как и следовало ожидать, максимальные значения скалярного произведения отмечаются там, где локализована эта же вейвлетная функция.
После построения первой масштабной строки разложения, меняется масштаб вейвлетной функции (y2 на рис. 1.1.7) и выполняется вычисление второй масштабной строки спектра, и т.д.
Как видно на рис. 1.1.7, чем точнее локальная особенность сигнала совпадает с соответствующей функцией вейвлета, тем эффективнее выделение этой особенности на соответствующей масштабной строке вейвлетного спектра. Можно видеть, что для сильно сжатого вейвлета Хаара характерной хорошо выделяемой локальной особенностью является скачок сигнала, причем выделяется не только скачок функции, но и направление скачка.
На рис. 1.1.8 приведен пример графического отображения вейвлетной поверхности реального физического процесса /4/. Вид поверхности определяет изменения во времени спектральных компонент различного масштаба и называется частотно-временным спектром. Поверхность изображается на рисунках, как правило, в виде изолиний или условными цветами. Для расширения диапазона масштабов может применяться логарифмическая шкала.
Пример вейвлетного преобразования
2. Основы вейвлет-преобразования /1, 3, 7, 9, 11/
В основе вейвлет-преобразований, в общем случае, лежит использование двух непрерывных, взаимозависимых и интегрируемых по независимой переменной функций:
· Вейвлет-функции (t), как psi-функции времени с нулевым значением интеграла и частотным фурье-образом (щ). Этой функцией, которую обычно и называют вейвлетом, выделяются локальные особенности сигнала. В качестве вейвлетов обычно выбираются функции, хорошо локализованные и во временной, и в частотной области. Пример временного и частотного образа функции приведен на рис. 1.2.1.
· Масштабирующей функции j(t), как временной скейлинг-функции phi с единичным значением интеграла, которой выполняется грубое приближение (аппроксимация) сигнала.
Вейвлетные функции в двух масштабах
Phi-функции присущи не всем, а, как правило, только ортогональным вейвлетам. Они необходимы для преобразования нецентрированных и достаточно протяженных сигналов при раздельном анализе низкочастотных и высокочастотных составляющих. Роль и использование phi-функции рассмотрим несколько позже.
Непрерывное вейвлет-преобразование (НВП, CWT - Continious Wavelet Transform). Допустим, что мы имеем функции s(t) с конечной энергией в пространстве L2(R), определенные по всей действительной оси R(-, ). Для финитных сигналов с конечной энергией средние значения сигналов должны стремиться к нулю на ±.
Непрерывным вейвлет-преобразованием (или вейвлетным образом) функции s(t) L2(R) называют функцию двух переменных:
С (a, b) = s(t), y(a, b, t) = s(t)--y(а, b, t) dt, a, b R, a ? 0
где вейвлеты y(a, b, t) yab(t) - масштабированные и сдвинутые копии порождающего вейвлета y(t) L2(R), совокупность которых создает базис пространства L2(R).
Порождающими функциями могут быть самые различные функции с компактным носителем - ограниченные по времени и местоположению на временной оси, и имеющие спектральный образ, локализованный на частотной оси. Базис пространства L2(R) целесообразно конструировать из одной порождающей функции, норма которой должна быть равна 1. Для перекрытия функцией вейвлета всей временной оси пространства используется операция сдвига (смещения по временной оси): y(b, t) = y(t-b), где значение b для НВП является величиной непрерывной. Для перекрытия всего частотного диапазона пространства L2(R) используется операция временного масштабирования вейвлета с непрерывным изменением независимой переменной: y(a, t) = |а|-1/2y(t/а). На рис. 1.2.1. видно, что если временной образ вейвлета будет расширяться (изменением значения параметра «а'), то его «средняя частота» будет понижаться, а частотный образ (частотная локализация) перемещаться на более низкие частоты. Таким образом, путем сдвига по независимой переменной (t-b) вейвлет имеет возможность перемещаться по всей числовой оси произвольного сигнала, а путем изменения масштабной переменной 'а» (в фиксированной точке (t-b) оси) «просматривать» частотный спектр сигнала по определенному интервалу окрестностей этой точки.
С использованием этих операций вейвлетный базис функционального пространства образуется путем масштабных преобразований и сдвигов порождающего вейвлета--y(t):
y(a, b, t) = |а|-1/2y[(t-b)/а], a, b R, a ? 0, y(t) L2(R)
Нетрудно убедиться, что нормы вейвлетов y(a, b, t) равны норме y(t), что обеспечивает нормировочный множитель |а|-1/2. При нормировке к 1 порождающего вейвлета y(t) все семейство вейвлетов также будет нормированным. Если при этом выполняется требование ортогональности функций, то функции y(a, b, t) образуют ортонормированный базис пространства L2(R).
Понятие масштаба ВП имеет аналогию с масштабом географических карт. Большие значения масштаба соответствуют глобальному представлению сигнала, а низкие значения масштаба позволяют различить детали. В терминах частоты низкие частоты соответствуют глобальной информации о сигнале, а высокие частоты - детальной информации и особенностям, которые имеют малую протяженность, т.е. масштаб вейвлета, как единица шкалы частотно-временного представления сигналов, обратен частоте. Масштабирование, как математическая операция, расширяет или сжимает сигнал. Большие значения масштабов соответствуют расширениям сигнала, а малые значения - сжатым версиям. В определении вейвлета коэффициент масштаба а стоит в знаменателе. Соответственно, а > 1 расширяет сигнал, а < 1 сжимает его.
Процедура преобразования стартует с масштаба а=1 и продолжается при увеличивающихся значениях а, т.e. анализ начинается с высоких частот и проводится в сторону низких частот. Первое значение «а' соответствует наиболее сжатому вейвлету. При увеличении значения 'а» вейвлет расширяется. Вейвлет помещается в начало сигнала (t=0), перемножается с сигналом, интегрируется на интервале своего задания и нормализуется на 1/. Результат вычисления С (a, b) помещается в точку (a=1, b=0) масштабно-временного спектра преобразования. Сдвиг b может рассматриваться как время с момента t=0, при этом координатная ось b повторяет временную ось сигнала. Для полного включения в обработку всех точек входного сигнала требуется задание начальных и конечных условий преобразования (определенных значений входного сигнала при t<0 и t>tmax на полуширину окна вейвлета). При одностороннем задании вейвлетов результат относится, как правило, к временному положению средней точки окна вейвлета.
Затем вейвлет масштаба а=1 сдвигается вправо на значение b и процедура повторяется. Получаем значение, соответствующее t=b в строке а=1 на частотно-временном плане. Процедура повторяется до тех пор, пока вейвлет не достигнет конца сигнала. Таким образом получаем строку точек на масштабно-временном плане для масштаба а=1.
Для вычисления следующей масштабной строки значение а увеличивается на некоторое значение. При НВП в аналитической форме Db0 и Da0. При выполнении преобразования в компьютере выполняется увеличение обоих параметров с определенным шагом. Тем самым осуществляется дискретизация масштабно-временной плоскости.
Начальное значение масштабного коэффициента может быть и меньше 1. Для детализации самых высоких частот сигнала минимальных размер окна вейвлета не должен превышать периода самой высокочастотной гармоники. Если в сигнале присутствуют спектральные компоненты, соответствующие текущему значению а, то интеграл произведения вейвлета с сигналом в интервале, где эта спектральная компонента присутствует, дает относительно большое значение. В противном случае - произведение мало или равно нулю, т.к. среднее значение вейвлетной функции равно нулю. С увеличением масштаба (ширины окна) вейвлета преобразование выделяет все более низкие частоты.
На рис. 1.2.2 приведен пример модельного сигнала и спектра его непрерывного вейвлет-преобразования.
Значения параметров 'а' и 'b' в (1.2.2) являются непрерывными, и множество базисных функций является избыточным. Сигналу, определенному на R, соответствует вейвлетный спектр R Ч R. Отсюда следует, что вейвлетный спектр НПВ имеет огромную избыточность.
Обратное преобразование. Так как форма базисных функций y(a, b, t) зафиксирована, то вся информация о сигнале в (1.2.1) переносится на значения функции С (a, b). Точность обратного интегрального вейвлет-преобразования зависит от выбора базисного вейвлета и способа построения базиса, т.е. от значений базисных параметров a, b. Строго теоретически вейвлет может считаться базисной функцией L2(R) только в случае его ортонормированности. Для практических целей непрерывного преобразования часто бывает вполне достаточна устойчивость и «приблизительность» ортогональности системы разложения функций. Под устойчивостью понимается достаточно точная реконструкция произвольных сигналов. Для ортонормированных вейвлетов обратное вейвлет-преобразование записывается с помощью того же базиса, что и прямое:
s(t) = (1/Cy) (1/a2) С (a, b) y(a, b, t) da db
где C? - нормализующий коэффициент:
Cy = (|Y(w)|2 /w) dw <
Условие конечности C? ограничивает класс функций, которые можно использовать в качестве вейвлетов. В частности, при щ=0, для обеспечения сходимости интеграла (1.2.4) в нуле, значение Y(w) должно быть равно нулю. Это обеспечивает условие компактности фурье-образа вейвлета с локализацией вокруг некоторой частоты wo - средней частоты вейвлетной функции. Следовательно, функция y(t) должна иметь нулевое среднее значение по области его определения (интеграл функции по аргументу должен быть нулевым):
y(t) dt =0.
Однако это означает, что не для всех сигналов возможна их точная реконструкция вейвлетом y(t), т.к. при нулевом первом моменте вейвлета коэффициент передачи постоянной составляющей сигнала в преобразовании (1.2.3) равен нулю. Условия точной реконструкции сигналов будут рассмотрены при описании кратномасштабного анализа.
Кроме того, даже при выполнении условия (1.2.4) далеко не все типы вейвлетов могут гарантировать реконструкцию сигналов, как таковую. Однако и такие вейвлеты могут быть полезны для анализа особенностей сигналов, как дополнительного метода к другим методам анализа и обработки данных. В общем случае, при отсутствии строгой ортогональности вейвлетной функции (1.2.1), для обратного преобразования применяется выражение:
s(t) = (1/Cy)(1/a2) С (a, b) y#(a, b, t) da db,
где индексом y#(a, b, t) обозначен ортогональный «двойник» базиса y(a, b, t), о котором будет изложено ниже.
Таким образом, непрерывное вейвлет-преобразование представляет собой разложение сигнала по всем возможным сдвигам и сжатиям / растяжениям некоторой локализованной финитной функции - вейвлета. При этом переменная 'a' определяет масштаб вейвлета и эквивалентна частоте в преобразованиях Фурье, а переменная 'b' - сдвиг вейвлета по сигналу от начальной точки в области его определения, шкала которого повторяет временную шкалу анализируемого сигнала. Вейвлетный анализ является частотно-пространственным анализом сигналов.
В качестве примера рассмотрим вейвлет-преобразование чистого гармонического сигнала s(t), приведенного на рис. 1.2.3. На этом же рисунке ниже приведены вейвлеты ya(t) симметричного типа разных масштабов.
Скалярное произведение (1.2.1) «просмотра» сигнала вейвлетом определенного масштаба 'a' может быть записано в следующей форме:
Ca(b)= s(t), ya(t+b) =s(t)--ya(t+b) dt
Но выражение (1.2.5) эквивалентно взаимной корреляционной функции Ra(b) сигналов s(t) и yа(t). Если сигнал s(t) представляет собой гармонику, а второй сигнал симметричен, задан на компактном носителе и имеет нулевое среднее значение, то, как известно, форма взаимной корреляционной функции таких сигналов также является центрированным гармоническим сигналом. В частотной области скалярное произведение двух функций отображается произведением Фурье-образов этих функций, которые приведены на рисунке в правом столбце спектров. Масштабы спектров ya(w) и Ra(w) для наглядности сопоставления нормированы к спектру s(t). Максимальная амплитуда гармоники Rа(b) будет наблюдаться при совпадении средней частоты локализации вейвлета yа(t) определенного масштаба 'а' в частотной области с частотой сигнала s(t), что и можно видеть на рис. 1.2.3 для функции Ra(b) при масштабе вейвлета a=20. Результирующий вейвлетный спектр непрерывного вейвлет-преобразования гармоники приведен на левом нижнем графике и показывает точное положение на временной оси 'b' максимумов и минимумов гармонического сигнала.
Дискретное вейвлет-преобразование. В принципе, при обработке данных на ПК может выполняться дискретизированная версия непрерывного вейвлет-преобразования с заданием дискретных значений параметров (a, b) вейвлетов с произвольным шагом Da и Db. В результате получается избыточное количество коэффициентов, намного превосходящее число отсчетов исходного сигнала, которое не требуется для реконструкции сигналов.