Статья: Основы вейвлет-преобразования сигналов

|y(t)|² dt < , t (0, T),

при этом она может быть периодически расширена и определена на всей временной оси пространства R(-, ) так, что

y(t) = y (t-T), t R,

при условии сохранения конечности энергии в пространстве R(-, ).

С позиций анализа произвольных сигналов и функций в частотной области и точного восстановления после преобразований можно отметить ряд недостатков разложения сигналов в ряды Фурье, которые привели к появлению оконного преобразования Фурье и стимулировали развитие вейвлетного преобразования. Основные из них:

· Ограниченная информативность анализа нестационарных сигналов и практически полное отсутствие возможностей анализа их особенностей (сингулярностей), т.к. в частотной области происходит «размазывание» особенностей сигналов (разрывов, ступенек, пиков и т.п.) по всему частотному диапазону спектра.

· Гармонические базисные функции разложения не способны отображать перепады сигналов с бесконечной крутизной типа прямоугольных импульсов, т.к. для этого требуется бесконечно большое число членов ряда. При ограничении числа членов ряда Фурье в окрестностях скачков и разрывов при восстановлении сигнала возникают осцилляции (явление Гиббса).

· Преобразование Фурье отображает глобальные сведения о частотах исследуемого сигнала и не дает представления о локальных свойствах сигнала при быстрых временных изменениях его спектрального состава. Так, например, преобразование Фурье не различает стационарный сигнал с суммой двух синусоид от нестационарного сигнала с двумя последовательно следующими синусоидами с теми же частотами, т.к. спектральные коэффициенты (1.1.2) вычисляются интегрированием по всему интервалу задания сигнала. Преобразование Фурье не имеет возможности анализировать частотные характеристики сигнала в произвольные моменты времени.

Оконное преобразование Фурье. Частичным выходом из этой ситуации является оконное преобразование Фурье с движущейся по сигналу оконной функцией, имеющей компактный носитель. Временной интервал сигнала разделяется на подинтервалы и преобразование выполняется последовательно для каждого подинтервала в отдельности. Тем самым осуществляется переход к частотно-временному (частотно-координатному) представлению сигналов, при этом в пределах каждого подинтервала сигнал «считается» стационарным. Результатом оконного преобразования является семейство спектров, которым отображается изменение спектра сигнала по интервалам сдвига окна преобразования. Это позволяет выделять на координатной оси и анализировать особенности нестационарных сигналов. Размер носителя оконной функции w(t) обычно устанавливается соизмеримым с интервалом стационарности сигнала. По существу, таким преобразованием один нелокализованный базис разбивается на определенное количество базисов, локализованных в пределах функции w(t), что позволяет представлять результат преобразования в виде функции двух переменных - частоты и временного положения окна.

Оконное преобразование выполняется в соответствии с выражением:

S(w, b_k) = s(t) w*(t-b_k) exp (-jwt) dt

Функция w*(t-b) представляет собой функцию окна сдвига преобразования по координате t, где параметром b задаются фиксированные значения сдвига. При сдвиге окон с равномерным шагом значения b_k принимаются равными k?b. В качестве окна преобразования может использоваться как простейшее прямоугольное окно, так и специальные весовые окна (Бартлетта, Гаусса, и пр.), обеспечивающие малые искажения спектра при вырезке оконных отрезков сигналов (нейтрализация явления Гиббса).

Пример оконного преобразования для нестационарного сигнала на большом уровне шума приведен на рис. 1.1.2. По спектру сигнала можно судить о наличии в его составе гармонических колебаний на трех частотах, определять соотношение между амплитудами этих колебаний и конкретизировать локальность колебаний по интервалу сигнала.

Координатная разрешающая способность оконного преобразования определяется шириной оконной функции и обратно пропорциональна частотной разрешающей способности. При ширине оконной функции, равной b, частотная разрешающая способность определяется значением Dw = 2p/b. При требуемой величине частотного разрешения Dw соответственно ширина оконной функции должна быть равна b = 2p/Dw. Для оконного преобразования Фурье эти ограничения являются принципиальными. Так, для рис. 1.1.2 при размере массива данных N = 300 и ширине оконной функции Db = 100 частотная разрешающая способность результатов преобразования уменьшается в N/Db = 3 раза по сравнению с исходными данными, и графики Sw (nDw_Sw) по координате n для наглядного сопоставления с графиком S (nDw_S--) построены с шагом по частоте Dw_Sw = 3Dw_S, т.е. по точкам n = 0, 3, 6, …, N.

Частотно-временное оконное преобразование применяется для анализа нестационарных сигналов, если их частотный состав изменяется во времени. Функция оконного преобразования (1.1) может быть переведена в вариант с независимыми переменными и по времени, и по частоте:

S (t,w) = s (t-t) w(t) exp (-jwt) dt

Координатная разрешающая способность оконного преобразования определяется шириной оконной функции и, в силу принципа неопределенности Гейзенберга, обратно пропорциональна частотной разрешающей способности. Хорошая разрешающая способность по времени подразумевает небольшое окно времени, которому соответствует плохая частотная разрешающая способность и наоборот. Оптимальным считается ОПФ с гауссовым окном, которое получило название преобразование Габора (Gabor). Пример преобразования приведен на рис. 1.2 (в дискретном варианте вычислений.

На рис. 1.3 приведен пример вычисления и представления (модуль правой части главного диапазона спектра) результатов спектрограммы при дискретном задании зашумленного входного сигнала sq(n). Сигнал представляет собой сумму трех последовательных радиоимпульсов с разными частотами без пауз, с отношением сигнал/шум, близким к 1. Оконная функция w_i задана в одностороннем варианте с эффективной шириной окна b 34 и полным размером М = 50. Установленный для результатов шаг по частоте Dw = 0.1 несколько выше фактической разрешающей способности 2p/M = 0.126. Для обеспечения работы оконной функции по всему интервалу сигнала задавались начальные и конечные условия вычислений (продление на M точек обоих концов сигнала нулевыми значениями).

Как видно из приведенных примеров, оконное преобразование позволяет выделить информативные особенности сигнала и по времени, и по частоте. Разрешающая способность локализации по координатам и по частоте определяется принципом неопределенности Гейзенберга. В силу этого принципа невозможно получить произвольно точное частотно-временное представление сигнала. На рис. 1.4 приведен пример частотно-временного оконного преобразования сигнала, состоящего из 4-х непересекающихся интервалов, в каждом из которых сумма двух гармоник разной частоты. В качестве окна применена гауссова функция разной ширины. Узкое окно обеспечивает лучшее временное разрешение и четкую фиксацию границ интервалов, но широкие пики частот в пределах интервалов. Широкое окно напротив - четко отмечает частоты интервалов, но с перекрытием границ временных интервалов. При решении практических задач приходится выбирать окно для анализа всего сигнала, тогда как разные его участки могут требовать применения разных окон.

На рис. 1.3 приведен пример частотно-временного оконного преобразования сигнала, состоящего из 4-х непересекающихся интервалов, в каждом из которых сумма двух гармоник разной частоты. В качестве окна применена гауссова функция разной ширины. Узкое окно обеспечивает лучшее временное разрешение и четкую фиксацию границ интервалов, но широкие пики частот в пределах интервалов. Широкое окно напротив - четко отмечает частоты интервалов, но с перекрытием границ временных интервалов. При решении практических задач приходится выбирать окно для анализа всего сигнала, тогда как разные его участки могут требовать применения разных окон. Если сигнал состоит из далеко отстоящих друг от друга частотных компонент, то можно пожертвовать спектральным разрешением в пользу временного, и наоборот.

Функции оконного спектрального анализа в Mathcad находятся в пакете Signal Processing. Они позволяют разбивать сигнал на поддиапазоны (с перекрытием или без перекрытия) и выполнять следующие операции:

· cspectrum (x, n, r[, w]) - расчет кросс-спектра сигнала х;

· pspectrum (x, n, r[, w]) - расчет распределения спектральной мощности сигнала;

· coherence (x, y, n, r[, w]) - расчет когерентности сигналов х и у;

· snr (x, y, n, r[, w]) - расчет отношения сигнал/шум для векторов х и у.

Здесь: х и у - вещественные или комплексные массивы данных (векторы), n - число поддиапазонов разбиения входного сигнала х (от 1 до N - размера массива), к - фактор перекрытия поддиапазонов (от 0 до 1), w - код окна (1 - прямоугольное, 2 - трапеция, 3 - треугольное, 4 - окно Хеннинга, 5 - окно Хемминга, 6 - окно Блекмана).

Принцип вейвлет-преобразования. Гармонические базисные функции преобразования Фурье предельно локализованы в частотной области (до импульсных функций Дирака при Т ) и не локализованы во временной (определены во всем временном интервале от - до ). Их противоположностью являются импульсные базисные функции типа импульсов Кронекера, которые предельно локализованы во временной области и «размыты» по всему частотному диапазону. Вейвлеты по локализации в этих двух представлениях можно рассматривать как функции, занимающие промежуточное положение между гармоническими и импульсными функциями. Они должны быть локализованными как во временной, так и в частотной области представления. Однако при проектировании таких функций мы неминуемо столкнемся с принципом неопределенности, связывающим эффективные значения длительности функций и ширины их спектра. Чем точнее мы будем осуществлять локализацию временного положения функции, тем шире будет становиться ее спектр, и наоборот, что наглядно видно на рис. 1.1.5.

Отличительной особенностью вейвлет-анализа является то, что в нем можно использовать семейства функций, реализующих различные варианты соотношения неопределенности. Соответственно, исследователь имеет возможность гибкого выбора между ними и применения тех вейвлетных функций, которые наиболее эффективно решают поставленные задачи.

Вейвлетный базис пространства L²(R), R(-, ), целесообразно конструировать из финитных функций, принадлежащих этому же пространству, которые должны стремиться к нулю на бесконечности. Чем быстрее эти функции стремятся к нулю, тем удобнее использовать их в качестве базиса преобразования при анализе реальных сигналов. Допустим, что такой функцией является psi - функция y(t), равная нулю за пределами некоторого конечного интервала и имеющая нулевое среднее значение по интервалу задания. Последнее необходимо для задания локализации спектра вейвлета в частотной области. На основе этой функции сконструируем базис в пространстве L²(R) с помощью масштабных преобразований независимой переменной.

Функция изменения частотной независимой переменной в спектральном представлении сигналов отображается во временном представлении растяжением / сжатием сигнала. Для вейвлетного базиса это можно выполнить функцией типа y(t) => y(a^mt), a = const, m = 0, 1, …, M, т.е. путем линейной операции растяжения / сжатия, обеспечивающей самоподобие функции на разных масштабах представления. Однако локальность функции y(t) на временной оси требует дополнительной независимой переменной последовательных сдвигов функции y(t) вдоль оси, типа y(t) => y(t+k), для перекрытия всей числовой оси пространства R(-, ). C учетом обеих условий одновременно структура базисной функции может быть принята следующей:

y(t) => y(a^mt+k)

Для упрощения дальнейших выкладок значения переменных m и k примем целочисленными. При приведении функции (1.1.10) к единичной норме, получаем:

y_mk(t) = a^m/2 y(a^mt+k)

Если для семейства функций y_mk(t) выполняется условие ортогональности:

y_nk(t), y_lm(t) =y_nk(t)·y*_lm(t) dt =d_nl·d_km,

то семейство y_mk(t) можно использовать в качестве ортонормированного базиса пространства L²(R). Произвольную функцию этого пространства можно разложить в ряд по базису y_mk(t):

s(t) =S_mk y_mk(t),

где коэффициенты S_mk - проекции сигнала на новый ортогональный базис функций, как и в преобразовании Фурье, определяются скалярным произведением

S_mk = s(t), y_mk(t) =s(t)--y_mk(t) dt,

при этом ряд равномерно сходиться:

||s(t) -S_mk y_mk(t),|| = 0.

При выполнении этих условий базисная функция преобразования ?(t) называется ортогональным вейвлетом.

Простейшим примером ортогональной системы функций такого типа являются функции Хаара. Базисная функция Хаара определяется соотношением

y(t) =

Легко проверить, что при а = 2, m = 0, 1, 2,…, k = 0, 1,2, … две любые функции, полученные с помощью этого базисного вейвлета путем масштабных преобразований и переносов, имеют единичную норму и ортогональны. На рис. 1.1.6 приведены примеры функций для первых трех значений m и b при различных их комбинациях, где ортогональность функций видна наглядно.

Функции Хаара

Вейвлетный спектр, в отличие от преобразования Фурье, является двумерным и определяет двумерную поверхность в пространстве переменных m и k. При графическом представлении параметр растяжения / сжатия спектра m откладывается по оси абсцисс, параметр локализации k по оси ординат - оси независимой переменной сигнала. Математику процесса вейвлетного разложения сигнала в упрощенной форме рассмотрим на примере разложения сигнала s(t) вейвлетом Хаара с тремя последовательными по масштабу m вейвлетными функциями с параметром а=2, при этом сам сигнал s(t) образуем суммированием этих же вейвлетных функций с одинаковой амплитудой с разным сдвигом от нуля, как это показано на рис. 1.1.7.