Материал: Основы механики. Рябцев В.А., Воропаев А.А

6.3. Сложение вращений тела вокруг двух параллельных осей

Пусть относительное движение тела является вращением с угловой скоростью1 вокруг оси aa , укрепленной на кривошипе ba (рис. 6.1, а), а переносное - вращением кривошипа bа вокруг оси bb , параллельной aa , с

Рис. 6.1 угловой скоростью2 . Тогда движение тела будет плоскопараллельным в плоскости, перпендикуляр-

ной к указанным осям. При этом возможны три частных случая.

6.3.1. Вращения направлены в одну сторону

Пусть (S) - сечение тела плоскостью, перпендикулярной осям вращения (рис. 6.1, б). Пусть А и В проекции осей на сечение (S). Очевидно, что точка А, лежащая на оси Aa , получит скорость только от вращения вокруг оси Bb , следовательно, vA 2 AB. Точно так же vB 1 AB. При этом векторы vA и vB будут параллельны друг другу (оба перпендикулярны АВ) и направлены в противоположные стороны. Тогда точка С

С течением времени мгновенная ось вращения Cc будет менять свое положение, описывая цилиндрическую поверх-

40

лучаем, что vA 2 AB, vB 1 AB, и vA =vB . Тогда мгновенный центр скоростей тела будет находиться в бесконечности и все точки тела в данный момент будут иметь одинаковые скоро-

сти v 1 AB.

Следовательно, результирующее движение тела будет поступательным (или мгновенно поступательным) движением со скоростью v , величина которой равна 1 AB, а направление

перпендикулярно плоскости, проходящей через векторы 1 и

2 . Направление вектора v определяется по правилу правого винта, то есть пара вращений эквивалентна поступательному (или мгновенно поступательному) движению со скоростью v , равной моменту пары угловых скоростей этих вращений.

6.4. Сложение вращений тела вокруг пересекающихся осей Пусть относительным движением тела 1 (рис. 6.4) являет-

ся вращение с угловой скоростью 1, во-

круг оси a1a, укрепленной на кривошипе 2, а переносным является вращение кривошипа с угловой скоростью 2 вокруг оси b1b, которая с осью a1a пересекается в точке О. Схема сложения вращений в таком случае движения тела вокруг пересекающихся осей показана на рис. 6.4.

Очевидно, что в этом случае скорость точки О, как лежащей одновременно на обеих осях, будет равна нулю. Поэтому,

результирующее движение тела является движением вокруг неподвижной точки О. Следовательно, при сложении вращений вокруг двух осей, пересекающихся в точке О, результи-

42

рующее движение тела будет мгновенным вращением вокруг оси Ос (рис. 6.4), проходящей через точку О. Вектор угловой скорости этого вращения равен векторной сумме относительной и переносной угловых скоростей. Мгновенная ось вращения Ос направлена вдоль вектора , т. е. по диагонали параллелограмма, построенного на векторах 1 и 2

С течением времени положение оси Ос меняется и в пространстве и относительно тела, описывая коническую поверхность, вершина которой находится в точке О.

Если тело участвует одновременно в n независимых вращениях вокруг n осей, пересекающихся в точке О, то, последовательно применяя равенство (6.5), получим, что результирующее движение является мгновенным вращением вокруг оси, проходящей через точку О, а угловая скорость этого движения

6.5. Кинематические уравнения Эйлера Пользуясь результатами предыдущего параграфа, найдем

угловую скорость тела, движущегося вокруг неподвижной точки О, если это движение задано уравнениями (4.1).

На рис. 6.5 указаны оси неподвижной Ox1 y1z1 системы координат K1, оси Oxyz системы K , жестко связанной с телом и движущейся вместе с ним, и углы Эйлера , и . При

Соотношения (6.9) называются кинематическими уравнениями Эйлера. Они определяют проекции вектора угловой скорости тела на подвижные оси системы Oxyz , связанные с телом, через углы Эйлера, то есть определяют положение мгновенной оси вращения тела. Для использо-

Рис. 6.5

вания (6.9) необходимо по

уравнениям (4.1) движения тела, выражающим зависимости углов Эйлера от времени, определить соответствующие производные.

44