Материал: Основы механики. Рябцев В.А., Воропаев А.А

поступательно, их орты i , j , k не изменяются. Если же система координат Oxyz (рис. 4.6) вращается, кроме того, вокруг какой - либо оси ОР, то орты осей системы станут переменными величинами, так как их направления будут зависеть от времени. В этом случае для определения производной от какого -

А, лежащей на оси Ох на расстоянии единицы длины от начала

рость поворота вокруг оси ОР. Аналогичные соотношения по-

Выражения (4.6) называют формулами Пуассона.

4.4. Общий случай движения свободного твердого тела Рассмотрим наиболее общий слу-

чай движения твердого тела, когда оно является свободным и может произвольно перемещаться относительно системы отсчета Ox1y1z1 (рис. 4.7). Для составления уравнения, определяющего закон рассматриваемого движения выберем произвольную точку А тела в качестве полюса и проведем через нее оси

Рис. 4.7 Axyz , которые при движении тела будут перемещаться вместе с полюсом

30

поступательно. Тогда положение тела в системе отсчета Ox1y1z1 будет известно, если будет известно положение полю-

са А, т. е. его координаты x1A,y1A,z1A и положение тела отно-

можно представить в виде суммы элементарного поступательного перемещения вместе с полюсом А и элементарного поворота вокруг мгновенной оси вращения АР, проходящей через этот полюс. Поскольку движение тела - это совокупность элементарных перемещений, движение свободного твердого тела состоит в общем случае из поступательного движения, при котором все точки тела движутся как произвольно выбранный полюс А со скоростью vA , и из серии элементарных поворотов с угловой скоростью вокруг мгновенных осей вращения, проходящих через полюс А (рис. 4.8).

Поступательная часть движения свободного твердого тела описывается первыми тремя из уравнений (4.7), а вращение относительно полюса - последними тремя из этих уравнений. Основными кинематическими характеристиками движения являются скорость vA и ускорение aA полюса, определяющие скорость и ускорение поступательной части движения, а также угловая скорость и угловое ускорение вращения вокруг полюса. По величинам этих скоростей и ускорений в любой

31

момент времени можно найти по уравнениям (4.7).

В частном случае движение свободного тела может быть плоскопараллельным (глава 3). При этом вектор будет все время перпендикулярен плоскости движения.

Следует помнить, что в общем случае, как и в случае плоскопараллельного движения, вращательная часть движения (в частности и векторы и ) от выбора полюса не зависит.

При определении скоростей и ускорений точек свободно движущегося тела можно использовать результаты 4.2.

Скорость vM любой точки М тела, как и в случае плоско-

параллельного движения, складывается из скорости vA полюса

А и скорости vMA , которую получает точка М, двигаясь вместе

32

Глава 5. СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ

5.1. Относительное, переносное и абсолютное движения До сих пор изучалось движение точки или тела относи-

тельно одной заданной системы отсчета. Однако при решении задач механики целесообразно, а иногда и необходимо рассматривать движение точки (или тела)

одновременно относительно двух систем отсчета, из которых одна считается условно неподвижной, а другая определенным образом движется относительно первой. Движение, совершаемое при этом точкой (или телом), называется составным или сложным.

Например, шар, катящийся по полу движущегося вагона, совершает относительно земли сложное движение, состоящее из качения относи-

тельно пола (подвижной системы отсчета) и движения вместе с полом относительно земли (неподвижной системы отсчета). Так сложное движение шара складывается из двух более простых и легко исследуемых движения. Возможность разложить более сложное движение точки или тела на более простые движения путем введения дополнительной (подвижной) системы отсчета широко используется в науке и определяет практическую ценность теории сложного движения. Кроме того, результаты этой теории используются в динамике для изучения относительного равновесия или движения тел под действием сил.

Следует помнить, что движение по своей сути не может быть простым или сложным, поскольку является объективным процессом. Понятие сложного или простого движения появляется при попытке анализировать или описывать движение. Сложность или простота движения относительны, поскольку зависят от уровня знаний исследователя движения и выбора системы координат для описания движения.

33

Рассмотрим сложное движение точки М, перемещающейся относительно подвижной системы отсчета К (Oxyz ), которая в свою очередь движется относительно другой системы отсчета K1 (O1x1y1z1 ) условно называемой неподвижной (рис. 5.1). Каждая, из этих систем отсчета связана с определенным телом отсчета, не показанным на чертеже.

При описании сложного движения используются следующие определения:

1. Движение, совершаемое точкой М относительно подвижной системы координат K , называется относительным движением. Такое движение будет видеть наблюдатель, связанный с подвижной системой K (неподвижный относительно K ). Траектория АВ, описываемая точкой в относительном движении, называется относительной траекторией. Скорость движения точки М относительно системы K (т. е. вдоль этой кривой АВ) называется относительной скоростью и обознача-

ется vr , а ускорение точки в этом движении - относительным

ускорением и обозначается ar . При определении vr и ar систему K удобно считать неподвижной.

2. Движение, совершаемое подвижной системой отсчета K и всеми связанными с ней точками относительно неподвижной системы K1 называется переносным движением.

Пусть m – точка, неподвижная относительно системы K , с которой в данный момент совпадает движущаяся точка M. Скорость точки m называется переносной скоростью точки М

в этот момент времени и обозначается ve , а ускорение этой

точки - переносным ускорением точки М и обозначается ae . Таким образом,

Если представить, что относительное движение точки М происходит по поверхности (или внутри) твердого тела, с которым жестко связана подвижная система K , то переносной скоростью (или ускорением) точки М в данный момент будет скорость (или ускорение) той точки m тела, в которой в этот

34