Материал: Основы динамики космического полета

Запишем на основе второго закона Ньютона уравнения абсолютного движения точек массами m и M:

 (1.2.2)

где  - радиус-вектор, проведенный из начала инерциальной системы координат в точку т, а  - радиус-вектор, проведенный из начала инерциальной системы координат в точку М. Понятно, что

 (1.2.3)

где

Вычитая из первого уравнения (2.1.2) второе, получим с учетом (1.2.3) уравнение движения материальной точки т относительно притягивающего центра М:

 (1.2.4)

; (1.2.5)

если обозначить

 (1.2.6)

произведение постоянной притяжения на сумму масс взаимно притягивающихся материальных точек.

Уравнение (1.2.5) является основным в задаче двух тел. В координатной форме оно эквивалентно трем уравнениям второго

 (1.2.7)

где

Движение непритягивающего спутника. Во многих задачах небесной механики т < М и оказывается возможным пренебречь ускорением, которое спутник т сообщает притягивающему центру М. В результате придем к ограниченной задаче двух тел (или задаче о непритягивающем спутнике). Тогда можно совместить начало инерциальной системы координат с притягивающим центром М ( = ,  = 0) и записать уравнение относительного движения спутника в следующем виде:

 (1.2.8)

 (1.2.9)

произведение постоянной притяжения на массу притягивающего центра.

Из сравнения уравнений (1.2.5) и (1.2.7) следует, что притягивающий спутник с массой т движется относительно притягивающего центра с массой М так, как двигался бы непритягивающий спутник вокруг притягивающего центра с массой М + т.

Интегралы уравнений движения

Движение спутника относительно притягивающего центра описывается системой дифференциальных уравнений шестого порядка

Интеграл площадей. Умножим теперь уравнение движения (1.2.7) векторно на  = , полагая сначала, что  т.е. векторы  и  неколлинеарны. Тогда

 (1.2.10)

Отсюда найдем векторный интеграл площадей

 (1.2.11)

который эквивалентен трем скалярным интегралам

 (1.2.12)

Здесь r = (x, у, z), V = (V_x, V_y, V_z), C = (C_x, C_y, C_z); проекции векторов рассматриваются в системе координат, начало которой совпадает с притягивающим центром, а оси имеют постоянную ориентацию в пространстве.

Если умножить уравнение (1.2.11) скалярно на , то получим

(1.2.13)

Отсюда следует, что вектор  всегда находится в плоскости, проходящей через центр притяжения и определяемой нормальным к ней вектором . Эта плоскость, т.е. плоскость движения спутника, называется неизменяемой плоскостью Лапласа. Чтобы получить уравнение плоскости движения спутника в координатной форме, умножим уравнения (1.2.12) соответственно на х, у, z и сложим. Тогда получим

 (1.2.14)

Уравнение орбиты. Согласно условию (1.2.14) движение спутника происходит в неизменяемой плоскости, т.е. траектория представляет собой плоскую кривую, которую называют орбитой спутника. Для получения уравнения орбиты используем вектор Лапласа. Предварительно найдем скалярное произведение  на :

 (1.2.15)

Но по определению скалярного произведения

 (1.2.16)

где  - уголя между векторами  и , тогда

 (1.2.17)

 (1.2.19)

Вводя обозначения

; (1.2.20)

 (1.2.21)

получим окончательно уравнение орбиты спутника в полярных координатах

(1.2.22)

Здесь р - параметр орбиты, определяющий ее линейные размеры, а е - эксцентриситет орбиты, характеризующий ее форму.

С другой стороны, соотношение (1.2.22) представляет собой уравнение конического сечения в полярных координатах с полюсом в фокусе. Это коническое сечение симметрично относительно вектора Лапласа, а полярный угол , который называют истинной аномалией, определяет поворот текущего радиуса-вектора относительно оси симметрии. Полученный результат отражает первый закон Кеплера:

Движение спутника относительно притягивающего центра всегда совершается по коническому сечению (по эллипсу, окружности, гиперболе, параболе или прямой), в одном из фокусов которого находится притягивающий центр.

Главная, или фокальная, ось орбиты, совпадающая с направлением вектора Лапласа, называется в астрономии линией апсид. Точки пересечения этой линии с орбитой называют апсидалъными, или просто апсидами. Апсиды совпадают с вершинами конического сечения и имеют специальные названия. В общем случае ближайшую к притягивающему центру апсиду называют перицентром, а наиболее удаленную - апоцентром. Заметим, что перицентр существует для любых орбит, а апоцентр - только для замкнутой. В зависимости от притягивающего центра апсиды имеют свои собственные названия. Например, для Земли это перигей и апогей, для Луны - периселений и апоселений, для Солнца - перигелий и афелий и т.д.

Преобразуем теперь формулу (1.2.21)

 (1.2.23)

Из соотношений (1.2.20) и (1.2.23) следует, что по заданным величинам произведения постоянной тяготения на массу центрального тела (µ), постоянной интеграла энергии (h) и постоянной интеграла площадей (С) можно вычислить параметр орбиты и ее эксцентриситет, т.е. задать форму и размеры орбиты в ее плоскости.

1.3 Основные элементы орбиты

Движение спутника относительно притягивающего центра описывается тремя уравнениями второго порядка (1.2.7). Следовательно, чтобы полностью определить движение спутника, надо задать шесть производных постоянных. Например, можно задать три координаты и три составляющие скорости в некоторой точке траектории. Обычно в астрономии используются специальным образом подобранные постоянные, с помощью которых удается наиболее просто и наглядно определить движение спутника

Выбор элементов орбиты. Шесть произвольных постоянных, которые позволяют полностью определить положение спутника в любой момент времени, называют элементами орбиты спутника.Ω - долгота восходящего узла (или просто долгота узла). Этот угол фиксирует положение восходящего узла относительно некоторого начала отсчета (рис. 1.2) и может изменяться в диапазоне

 (1.3.1)

Рис. 2

угол i между плоскостью орбиты спутника и основной координатной плоскостью

 (1.3.2)

Этот угол часто называют наклонением орбиты. Если  то движение спутника называют прямым, а орбиту восточной, если же , то - обратным, а орбиту - западной. В случае i = 0 и i =  плоскость орбиты спутника совпадает с основной координатной плоскостью; тогда понятие долготы восходящего узла теряет смысл. Такую орбиту называют экваториальной. При i = /2 плоскость орбиты совпадает с меридиональной плоскостью. Это - полярная орбита.

Для гиперболической и параболической орбит возможны случаи, когда существует только один узел, восходящий или нисходящий, т.е. траектория пересекает линию узлов только в одной точке. В подобных случаях полагают, что второй узел расположен на линии узлов в бесконечно удаленной точке.

С помощью углов Ω и i однозначно фиксируется положение плоскости орбиты в выбранной системе координат (экваториальной или эклиптической). Чтобы определить положение линии апсид орбиты в ее плоскости, следует задать угол  между восходящим узлом и радиусом-вектором перицентра орбиты. Этот угол часто называют аргументом перицентра, он может изменяться в пределах

 (1.3.3)

Орбита в своей плоскости характеризуется эксцентриситетом е и параметром р. Для привязки движения спутника по времени задают момент времени t_п, когда спутник находится в перицентре.

Таким образом, для задания пространственного движения спутника в астрономии обычно используют следующие элементы орбиты:

 (1.3.4)

2. Околоземельные спутники

2.1 Круговая орбита спутника

Эллиптическая орбита. Наиболее часто встречаются орбиты эллиптического типа (h < 0, 0 < е < 1). Как известно, эллипс представляет собой геометрическое место точек, для которых сумма расстояний от двух заданных точек (фокусов) есть величина постоянная. В одном из фокусов эллипса находится притягивающий центр, а второй фокус оказывается «пустым»

Рис 3

Основными параметрами эллиптической орбиты (рис. 1.3) являются большая полуось a

 (2.1.1)

определяющая среднее расстояние до притягивающего центра, и малая полуось b. Фокусное расстояние сназывают еще линейным эксцентриситетом.

Из (1.2.22) расстояние от притягивающего центра до спутника в перицентре

 (2.1.2)

 (2.1.3)

подставив радиусы в (2.1.1)

 (2.1.4)

 (2.1.5)

 (2.1.6)

спутника в перицентре и апоцентре:

 (2.1.7)

 (2.1.8)

Установим связь между большой полуосью а и постоянной интеграла энергии h. С этой целью запишем интеграл энергии для спутника, находящегося в перицентре орбиты

 (2.1.9)

 (2.1.10)

а интеграл энергии принимает вид

 (2.1.11)

Воспользуемся уравнением (2.1.11) для определения скорости спутника в точке, соответствующей концу малой полуоси (точка В на рис. 1.3). В этой точке r = а и V² = а = , т.е. скорость спутника равна местной круговой скорости.

Круговая орбита. Эта орбита является частным случаем эллиптической (е = 0). Чтобы спутник двигался по круговой орбите, его скорость должна равняться по величине местной круговой скорости  и быть направленной перпендикулярно радиусу - вектору. Нарушение любого из двух указанных условий приводит к эллиптической орбите.

Уравнение круговой орбиты r_кр = const, а понятия перицентра и истинной аномалии теряют смысл, поскольку все точки круговой орбиты одинаково удалены от притягивающего центра. Поэтому вместо истинной аномалии обычно рассматривают полярный угол, отсчет которого ведут от некоторого фиксированного направления.

В отличие от параболической орбиты, круговая орбита часто используется в модельных задачах механики космического полета. Это объясняется тем, что для задания круговой орбиты достаточно одного параметра (радиуса орбиты или ее высоты над поверхностью центрального тела).

.2 Суточный спутник

Суточный спутник. Если сидерический (звездный) период обращения спутника равен звездным суткам (Т = 23 час 56,07 мин), то спутник называют суточным, или синхронным. Трасса невозмущенного движения суточного спутника является замкнутой кривой, т.е. трассы всех последующих витков совпадают с трассой первого витка. В этом случае можно получить простое соотношение, связывающее текущие координаты трассы.

Пусть в начальный момент времени t_Q спутник находится в восходящем узле круговой суточной орбиты (рис 2.1). В момент времени t трасса пройдет через точку О, для которой

Рис 4

 - долгота, отсчитываемая от восходящего узла В, и  - широта.

 (2.2.1)

 (2.2.2)

Орбитальная угловая скорость суточного спутника равна угловой скорости вращения Земли . Отсюда можно найти время перемещения по трассе из точки В в точку О:

 (2.2.3)

За это время Земля в свою очередь повернется на угол

 (2.2.4)