1) выбрать поверхность равного давления - любая горизонтальная плоскость на произвольной глубине;
2) рассмотреть на этой плоскости любые две точки и записать выражение для определения абсолютного давления в этих точках, используя основное уравнение гидростатики. При этом, необходимо обратить внимание на знак перед вторым членом правой части уравнения: знак «+» ставится в случае увеличения глубины (давление возрастает), «-» - при подъеме (давление уменьшается);
3) записать уравнение равенства давлений в точках, приравняв правые части записанных выражений;
4) из полученного уравнения выразить неизвестную величину
При решении задач, в которых даны поршни или система поршней, следует:
1) составить уравнение сил, приложенных к поршню;
2) записать формулы для нахождения каждой из сил, действующих на тело. При этом, давление со стороны жидкости нужно определить, используя основное уравнение гидростатики;
3) подставить полученные зависимости в уравнение равновесия сил и выразить неизвестную величину
Пример решения задачи
Определить давление в резервуаре p0 и высоту подъема уровня воды h1 в трубке 1, если показания ртутного манометра h2=0,15 м и h3=0,8 м.
Решение:
Запишем условие равновесия со стороны ртутного манометра
pа = p0 + g+ g
Откуда получаем
p0= pа -g ( + ) =
=9,81·104 - 9,81(13600·0,15+1000·0,8)=7·104 Па
Таким образом, в резервуаре давление ниже атмосферного (вакуум).
С другой стороны, условие равновесия со стороны трубки 1
pа = p0 + g
откуда выразим высоту подъема воды в трубке
Контрольные вопросы и задания
1. Какие силы действуют на жидкость, находящуюся в состоянии равновесия?
2. Перечислите свойства гидростатического давления.
3. Запишите основное уравнение гидростатики и объясните его физический смысл.
4. В чем заключается практическое использование основного уравнения гидростатики?
5. Дайте формулировку закона Паскаля. Приведите примеры его практического применения.
6.Что такое абсолютное, атмосферное, избыточное давление и давление вакуума? В чем различие между ними?
7. Какие единицы давления используются при технических расчетах. Покажите пересчет давления из одной системы в другие.
8. Что понимают под геометрической, пьезометрической высотой и поверхностью уровня?
Примерные темы докладов и рефератов
1. Приборы для измерения давления, их достоинства и недостатки.
2. Практическое применение законов гидростатики.
3. Гидравлические прессы. Их устройство, принцип действия и область применения.
3. Кинематика и динамика жидкости. Основные уравнения гидродинамики
При решении некоторых простейших задач о движении жидкостей часто в первом приближении делают допущение о том, что движущаяся жидкость является идеальной. Под идеальной понимают жидкость абсолютно несжимаемую и нерасширяемую, не способную сопротивляться растяжению и сдвигу, а также лишенную свойства испаряемости (рнп = 0). Главное, чем отличается жидкость идеальная от жидкости реальной, - это отсутствие у нее вязкости, вызывающей способность сопротивления сдвигу, т.е. возникновению касательных напряжений (трения в жидкости).
Следовательно, в движущейся идеальной жидкости возможен один вид напряжений - напряжение сжатия, т.е. давление р, а касательное напряжение = 0. Основными уравнениями, позволяющими решать простейшие задачи о движении идеальной жидкости, являются уравнение расхода и уравнение Бернулли.
Уравнение расхода представляет собой условие неразрывности (сплошности) потока несжимаемой жидкости или, что то же самое, равенство объемных расходов в каких-то двух поперечных сечениях одного и того же потока, например 1 и 2, т.е. Q1 = Q2 или х1 S1 = х2 S2 . Отсюда следует, что
(3.1)
т.е. скорости обратно пропорциональны площадям поперечных сечений потоков. При этом предполагается, что скорость во всех точках данного сечения одинакова.
Уравнение Бернулли для потока идеальной жидкости выражает собой закон сохранения удельной энергии жидкости вдоль потока. Под удельной понимают энергию, отнесенную к единице веса, объема или массы жидкости. Обычно удобнее бывает относить энергию к единице веса. В этом случае уравнение Бернулли, записанное для сечений 1 и 2 элементарной струйки или потока идеальной жидкости, имеет вид
(3.2)
где z1, z2 - вертикальные координаты центров тяжести сечений или удельная энергия положения;
- пьезометрическая высота, или удельная энергия давления;
- скоростная высота (напор), или удельная кинетическая энергия;
Н - полный напор, или полная удельная энергия жидкости.
Если энергию жидкости отнести к единице ее объема, то члены уравнения Бернулли будут иметь размерность давления, а само уравнение (2.2) примет вид, которым также часто пользуются:
Если же энергию жидкости отнести к единице массы, то можно получить третью форму записи уравнения (3.2):
Для потока реальной (вязкой) жидкости уравнение Бернулли следует писать в таком виде:
(3.3)
где - средняя по сечению скорость, равная = Q/S;
б - коэффициент Кориолиса, учитывающий неравномерность распределения скоростей по сечениям и равный отношению действительной кинетической энергии потока к кинетической энергии того же потока, но при равномерном распределении скоростей;
Уh - суммарная потеря полного напора между сечениями 1 и 2, обусловленная вязкостью жидкости.
Различают два вида гидравлических потерь напора: местные потери и потери на трение по длине.
Местные потери напора происходят в так называемых гидравлических сопротивлениях, т.е. в местах изменения формы и размеров русла, где поток так или иначе деформируется: расширяется, сужается, искривляется - имеет место более сложная деформация. Местные потери выражают формулой Вейсбаха
(3.4)
где - средняя скорость потока в сечении перед местным сопротивлением (при расширении) или за ним (при сужении) и в тех случаях, когда рассматривают потери напора в гидроарматуре различного назначения;
жм - безразмерный коэффициент местного сопротивления.
Числовое значение коэффициента ж в основном определяется формой местного сопротивления, его геометрическими параметрами, но иногда влияет также число Рейнольдса, которое для труб диаметром d выражается формулой
(3.5)
Здесь - кинематическая вязкость жидкости, выражаемая в [м2/с] или [см2/с]. Для некруглых труб
где Dr - гидравлический диаметр, равный отношению площади сечения трубы к 1/4 периметра сечения.
Число Рейнольдса определяет режим движения жидкостей (и газов) в трубах.
При соотношении Rе<Reкр, где Reкр?2300, режим движения является ламинарным, т.е. слоистым, без перемешивания жидкости и без пульсаций скоростей и давлений.
При соотношении Re>Reкр имеет место турбулентный режим течения, т.е. с перемешиванием жидкости и с пульсациями скоростей и давлений.
Можно считать, что при турбулентном режиме коэффициенты местных сопротивлений ж от числа Рейнольдса не зависят, следовательно, как видно из формулы (2.4), потеря напора пропорциональна квадрату скорости (квадратичный режим сопротивления). При ламинарном режиме считают, что
(3.6)
где А - число, определяемое формой местного сопротивления;
- коэффициент местного сопротивления на режиме квадратичного сопротивления, т.е. при Rе>.
При турбулентном режиме в случае внезапного расширения трубы происходит вихреобразование, и потеря напора определяется формулой Борда [1]
(3.7)
где и - скорости до и после расширения трубы соответственно;
жрасш - коэффициент сопротивления, равный для данного случая
(3.8)
где S1 и S2 - площади сечений трубы соответственно до и после внезапного расширения.
При внезапном сужении трубы без закругления коэффициент сопротивления определяют по формуле Идельчика [1]:
(3.9)
где S1 и S2 - площади сечений трубы соответственно до и после сужения.
Коэффициенты сопротивлении для постепенно расширяющихся (конических) труб - диффузоров, плавно сужающихся труб - сопл, поворотов и других, более сложных местных гидравлических сопротивлении (кранов, фильтров и т.п.), - находят в справочной литературе. В задачах данного сборника коэффициенты ж обычно задаются.
Потери на трение определяются по формуле Вейсбаха-Дарси
(3.10)
где l - длина трубопровода;
d - внутренний диаметр трубы;
л - коэффициент гидравлических потерь на трение (коэффициент Дарси).
Методические рекомендации к решению задач
Для того чтобы определить режим движения жидкости, необходимо рассчитать число Рейнольдса Re для труб круглого сечения и для трубы произвольного сечения. Затем сравнить полученное значение Re c критическим Reкр=2320.
Для решения задачи с применением уравнения Бернулли следует:
1) выбрать два сечения, для которых записывается уравнение. В качестве сечений рекомендуется брать:
- выход в атмосферу, где абс = ра;
- свободную поверхность в резервуаре, где скорость V = 0
- сечение, в котором присоединен прибор для измерения давления (манометр, вакуумметр, пьезометр и др.).
2) записать уравнение Бернулли в общем виде для идеальной жидкости и для реальной жидкости;
3) переписать уравнение для заданных сечений с заменой его членов заданными буквенными величинами и исключить члены, равные нулю.
При этом необходимо помнить:
- уравнение Бернулли записывается по течению жидкости;
- вертикальная ордината z всегда отсчитывается от произвольной горизонтальной плоскости вверх;
- давление р, входящее в правую и левую части уравнения, должно быть задано в одной системе отсчета (абсолютной или избыточной);
- коэффициент Кориолиса в задачах на движение потока реальной жидкости следует учитывать только при ламинарном режиме течения б = 2, для турбулентных потоков можно принимать б = 1;
- суммарная потеря напора записывается в правой части уравнения со знаком «+» и складывается из местных потерь, которые определяются формулой Вейсбаха, и потерь на трение по длине, определяемых формулой Дарси.
Пример решения задачи
Определить расход воды, вытекающий из трубы. Уровень в резервуаре постоянный, глубина h = 10 м. Длина верхней трубы диаметром d1 = 200 мм равна l1 = 20 м. Длина нижней трубы диаметром d2=150 мм равна 4 м (рис.7.10). При расчете скоростным напором в резервуаре пренебречь. Коэффициент Кориолиса б1 = б2 = 1.
Решение.
Составим уравнение Бернулли двух сечений 1 - 1 и 2 - 2 относительно плоскости сравнении 0 - 0.
l2+ l1+ h+ = ++
или
34=+
Определим потери напора
= вх + л1+ вс+л2
Выразим все потери через скорость , для чего найдем скорость из уравнения неразрывности. Имеем:
и
Подставим найденные значения в уравнение, принимая коэффициенты потерь: вх = 0,5; вс = 0,28. Коэффициенты Дарси л вычисляем по приближенной формуле:
Таким образом, имеем:
= (0,5•0,316+0,0225•100•0,316+0,28+0,0233•26,7) =1,771
Подставим найденное значение в уравнение Бернулли
34=(1+1,771)=2,771.
Скорость при выходе
Расход
= 0,0176625•15,5=0,274 м3/с
где
=0,785•0,152=0,0176625 м2
Проверка:
; = 0,785 • 0,22 = 0,0314 м2;
Q = 0, 0314•8,72=0,274 м3/с.
Контрольные вопросы и задания
1. Напишите уравнение Бернулли для элементарной струйки движущейся жидкости и объясните, какие параметры оно связывает.
2. Объясните геометрический и энергетический смысл уравнения Бернулли?
3. Чем отличается уравнение Бернулли для потока реальной жидкости от уравнения, составленного для элементарной струйки идеальной жидкости?
4. Чем обусловлены потери напора в потоке реальной жидкости?
5. Что такое гидродинамический напор? Чему он равен?
6. От чего зависит скоростной напор и чему он равен?
Примерные темы докладов и рефератов
1. Использование уравнения Бернулли в приборах для измерения скорости.
2. Трубчатый расходомер Вентури.
3. Устройство и принцип действия струйного насоса.
4. Гидравлический расчет трубопроводов
При гидравлических расчетах рассматривается несколько видов трубопроводов.
Простые трубопроводы - это трубопроводы, которые не содержат разветвлений, они могут быть соединены так, что образуют последовательные или параллельные соединения. Если трубопровод имеет несколько труб, выходящих из одного места, он называется разветвленным. Трубопровод, содержащий как последовательные, так и параллельные соединения труб или разветвлений, называется сложным.
В основе расчета трубопроводов лежат формула Дарси для определения потерь напора на трение по длине и формула Вейсбаха для местных потерь.