Тем не менее, если реконструировать математическую логику в виде алгебры логики, как основанную на алгебре множеств , в кантовских понятиях ее логической концепции, и предположить вслед за Томасом Зеебомом, что что эти множества нам даны в интуиции и ее понятия есть символические конструкции в интуиции, то следует прийти к следующему выводу: «Если современную логическую теорию или по крайней мере некоторую ее часть можно рассматривать как логику, то это - „логика частного применения рассудка, содержащая правила правильного мышления о предметах определенного рода“, logica specialis. Эти предметы представляют собой множества, а теория множеств представляет собой самую основу математической логики и, следовательно, представляет собой logica specialis математики» [7. C. 69]. Таким образом, в общей чистой логике формулируются основные принципы логики, а в математической логике, как logica specialis, должны быть сформулированы принципы правильного мышления о математических объектах, таких как комбинации символов в алгебре или множества и операции с ними в теории множеств.
Конечно, никакой математической логики или логической алгебры мы у Канта найти не сможем. И наши современные интерпретации идей Канта о «конструировании понятий» и «символических конструкциях» не могли быть известны британским математикам начала XIX в., в среде которых и зародилась революция в логике. Само слово «математическая логика» выглядело тогда просто нелепым, и господствующее мнение как среди математиков, так и среди логиков состояло в том, что алгебра и логика - это абсолютно разные науки с существенно различными предметными областями. А для философов и логиков идея того, что логику можно рассматривать как формальное изучение объемов понятий как множеств (классов), лишенных содержания, или что ее можно сформулировать посредством математических формул, восприни-малась как совершенно бессмысленная.
А вот философия математики Канта оказала на британских математиков, можно сказать, прямое, но весьма своеобразное влияние. В романтический викторианский период зарождения современной науки в Британии математика начинает пониматься как чистая и «божественная» наука, которая использует «язык неба» для поиска единой трансцендентальной истины. Эта истина «божественна», существует в форме небесных символов и законов и доступна только благодаря использованию математики, которая игнорирует все человеческие ограничения. Поэтому математика должна служить Богу, поскольку она есть единственный способ подняться выше наших человеческих эмпирических конструкций. Более того, математическое познание является не пассивным восприятием информации, а инструментом проникновения в божественные истины, лежащие за пределами досягаемости наших органов чувств. А в качестве поддержки и обоснования подобных идей широко привлекается трансцендентальная философия Канта, получающая при этом не совсем неадекватную интерпретацию .
И если Де Морган быстро перешел к септическому отношению к такого рода философскому мировоззрению, близко связанному с теологией, то вот для второго творца современной логики - Джорджа Буля, - по нашему мнению, влияние философских идей Канта было отнюдь не отрицательным. Например, Буль свободно читал труды Канта по-немецки и, видимо, с посто-янным интересом до конца жизни. Уже 1840 г. он познакомился с философией Канта и даже сильно увлекся ею (см. [14. P. 91]). Влияние Канта мы можем, например, увидеть во введении к его революционной работе «Математический анализ логики», вышедшей в 1847 г. : «Если можно трактовать [логику] извне как то, что связывает ее саму через понятие числа с интуицией пространства и времени, то так же законно рассматривать ее изнутри как основанную на фактах иного порядка, тех, которые имеют своим источником структуру нашего сознания» [15. P. 1]. Он также обсуждал работы Канта в переписке с Августом Де Морганом (хотя часть переписки оказалась утерянной) и не оставил изучение кантовских идей в области логики и в поздний период (см., напр.: [16. P. 108]), когда работал над своим знаменитыми «Законами мышления», вышедшими в 1854 г. Трудно сказать, насколько прямым и продуктивным было это влияние. Но несомненно то, что Буль полагал, что возможна строгая наука о разуме, которая подчиняется определенным законам [17. P. 3], и самым подходящим средством для выражения этих законов является язык математически.
Для истории логики определение источников генезиса возникновения современной символической логики является одной из наиболее важных проблем. Разработка алгебры логики Де Морганом вписывается, так сказать, в «стандартную модель» возникновения современной логики, в которой центральную роль играют развитие математики в Британии начала XIX в. и появление в ней оригинальной теории символической алгебры, тогда как концепция символической алгебры зародилась в школе «кембриджских символистов», британских математиков, членов «Аналитического общества», основанного математиком Чарльзом Бэббиджем вместе с математиком и астрономом Джоном Гершелем в 1812 г., и изначально предполагала изучение необычных числовых систем и соответствующих им алгебр, одну из которых Де Морган просто экстраполировал в область логики. А толчком к публичному появлению новой концепции логики, выраженной на языке математики, как раз и послужил упомянутый выше спор математика Де Моргана и философа Уильямом Гамильтоном, причем последний, обвиняя Де Моргана в плагиате своей теории квантификации предикатов, придерживался, по его мнению, кантовских положений в своей философской концепции логики. Таким образом, хотя, как мы уже заметили, философия математики Канта сыг- рала не последнюю роль в формировании понимания математики и ее эволюции в викторианскую эпоху, для Де Моргана математический фактор в его разработках в области математической логики сыграл решающую роль. Но для Буля, хотя он тоже был членом «Аналитического общества» и непосредственным участником исследований по символической алгебре, скорее всего, наиболее существенную, если не центральную, роль в его стремлении к применению новых алгебраических методов в логике сыграли не математические и даже не логические факторы, а философские и теологические (см., напр.: [18]). Прежде всего им двигало желание создать строгую науку о человеческом мышлении, чтобы «изучить основные законы тех операций ума, посредством которых осуществляются рассуждения; в том, чтобы дать выражение этих законов в символическом языке логического исчисления» и «проложить путь к выдвижению некоторых вероятностных указаний, касающихся природы и структуры человеческого мышления» [17. P. 1--2]. Подобные высказывания до сих пор дают повод упрекать Буля в психологизме в логике, особенно крамольные в силу наступившего в ХХ в. почти полного господства антипсихологической концепции в философии логики [16. P. LIV].
Джордж Буль и его основной закон мышления
На одной логической конференции, прошедшей в Санкт-Петербурге в 2016 г., довольно известный в наше время логик Жан Ив Безьё процитировал Пропозицию IV из главы III знаменитых булевских «3аконов мышления», которая утверждает буквально следующее:
«Аксиома метафизиков, которая называется принципом противоречия и которая утверждает, что для любой сущности невозможно, что она может обладать определенным свойством и в то же время не обладать им, является следствием фундаментального закона мышления, выражением которого является х2 = х» [17. P. 49].
Далее Буль приводит пошаговый вывод этого положения из фундаментального закона мышления, сначала получая х - х2 = 0, а затем получая уравнение х(1 - х) = 0, в котором как раз и выражается закон противоречия, отмечая при этом, что «эти трансформации удовлетворяют аксиоматическим законам комбинирования и транспозиции (II.13)» [Ibid.].
Докладчик назвал это положение странным и даже сравнил со знаменитым спором, который произошел в 1770-х гг. в Санкт-Петербурге между Л. Эйлером и Д. Дидро. В этом споре Эйлер привел такой аргумент: «Если (a + bn) / n = х, то, следовательно, Бог существует». Поскольку «алгебра была для Дидро все равно что китайская грамота, он был осмеян и бежал, поджав хвост, назад в Париж». По мнению Безьё, «это утверждение странно ввиду двух главных причин. Во-первых, до Буля никто не полагал, что X = х - это фундаментальный закон мышления. Во-вторых, неясно, как мы можем вывести принцип противоречия из этого фундаментального закона» [19. C. 10]. Конечно, с позиции современной математической логики данное утверждение и построения Буля выглядят совершенно искусственными, необоснованными и потому столь странными. Но, как справедливо замечает Безьё, «можно рассматривать эту пропозицию как устанавливающую взаимосвязи между двумя разнородными областями исследований - метафизикой, с одной стороны, и математикой - с другой» [Там же. C. 10]. И нас в данном случае интересуют источники мысли Буля, которые и привели к революции в логике.
Как мы уже отмечали, начиная с середины XIX в. в Британии сформировалась «школа символической алгебры», в рамках которой «были высказаны в первоначальной несовершенной форме фундаментальные идеи, освоение которых составляет эпоху в истории математики, продолжающуюся и по настоящее время» [20. C. 70]. Основателем данной школы стал Джордж Пикок, опубликовавший в 1830 г. «Трактат по алгебре», в котором он разделил всю алгебру на числовую и символическую. По Пикоку, новая символическая алгебра - это «...наука, которая рассматривает комбинации произвольных знаков и символов с помощью определенных, хотя и произвольных законов: ибо мы можем принимать любые законы... до тех пор, пока наши предположения являются независимыми и, следовательно, не противоречат друг другу.» [21. P. 70]. В данную школу входили и Де Морган и Дж. Буль, а также друг Буля Дункан Ф. Грегори, который, кстати, и ввел Буля в круг продвинутых британских математиков XIX в.
Можно сказать, что с появлением символической алгебры в руках британских математиков оказались практически все элементы для создания логической алгебры, но такая теория для большинства из них просто не была целью, достойной усилий. Пока, исходя совсем не из математических соображений, Де Морган и Буль не обратили по разным причинам свое внимание на современную им философскую логику. Так вот, для Буля такой причиной стала идея создания науки, исследующей законы мышления, структуру сознания и интеллектуальные способности познания. И разработка новой символической логики, основанной на математических методах, была только начальной частью этого проекта.
Свою небольшую работу под названием «Логическое исчисление», опубликованную в 1848 г., он начинает так: «В недавно опубликованной работе я продемонстрировал применение новой и оригинальной формы математики для выражения операций мышления в процессе рассуждения» [22. P. 183]. Затем Буль приводит 6 положений своей новой системы, которые должны «предоставить правильный взгляд на природу разработанной системы». Приведем некоторые из них:
«(2) Прежде чем мы распознаем существование пропозиций, действуют законы, объектом рассмотрения которых является понятие класса, это законы, которые зависят от строения интеллекта и определяют характер и форму процесса рассуждения.
(3) Эти законы имеют свое математическое выражение и, таким образом, составляют базис интерпретируемого исчисления.
(5) Формы пропозиций, выраженных в соответствии с принципами данного исчисления, по существу, аналогичны таковым для философского языка» [Ibid.].
Далее Буль формулирует 3 закона своей логики, основанные на «первичном и самом элементарном понятии» Универсума (1 или целого (unity)) и элементарной мыслительной операции выбора элементов класса, которые следуют из самой «природы ментальных операций». Третий закон имеет следующий вид: xn = x. Буль называет его «индексным законом (index law)», который и «характерен исключительно для элективных символов», т.е. для символов, обозначающих операцию выбора произвольного элемента из определенного класса, репрезентирующего данный класс. Индексный закон Буля, по существу, является интерпретацией индексных законов, впервые появившихся в работах по символической алгебре. Например, Д.Ф. Грегори в своей работе 1840 г. «О природе символической алгебры» пытается выделить наиболее примитивные отношения, которые должны существовать между операциями, поскольку, хотя существуют различные виды операций, разные теории могут содержать операции, удовлетворяющие одним и тем же законам, и поэтому свойства этих операций можно установить в общем случае на основании этих законов [23. P. 1--13]. Он определяет пять классов таких операций, второй из которых и включает в себя два вида индексных законов .
Теперь мы видим, что упомянутый выше фундаментальный закон мышления Буля, который выражается уравнением x = x, является просто частным случаем индексного закона символической алгебры. Примечательно, однако, что в основании законов логической алгебры Буля лежит общая аксиома: «Эти законы связаны с общей аксиомой. Мы видели, что алгебраические операции, производимые с элективными символами, репрезентируют ментальные процессы. Таким образом, соединение двух символов знаком «+» представляет собой объединение двух классов в один класс, а соединение двух символов ху как умножение представляет собой ментальную операцию выбора из класса Y тех членов, которые принадлежат также к другому классу X, и т.д. С помощью таких операторов модифицируется понятие класса. Кроме того, мышление обладает способностью воспринимать отношения равенства классов. Аксиома, которая имеется здесь в виду, состоит в следующем - если между двумя классами установлено отношение эквивалентности, то оно остается неизменным, когда они оба одинаково модифицируются с помощью описанных выше операций (А). Именно эта аксиома, а не „dictum Аристотеля“2, является реальной основой всех процессов рассуждений...» [22. P. 185]. Пожалуй, эту аксиому можно трактовать как своеобразный принцип тождества для исчисления классов, на котором строится алгебра логики Буля.
«Логическое исчисление» интересно для нас еще и тем, что это единственная опубликованная работа, где Буль напрямую касается логики Канта. В ней он «исправляет» классификацию основных форм суждений Канта, на которой основана его метафизическая дедукция априорных категорий рассудка. По Канту, основополагающим действием мышления является суждение. Он выделяет 12 основных форм суждений в соответствии с основными логическими функциями мышления. В результате предметного истолкования этих логических функций Кант выводит 12 априорных чистых понятий рассудка - категорий [5. С. 167-168]. В результате трактовки категорических суждений с помощью своей логической системы Буль приходит к следующим выводам: «Отношения, которые логики обозначают терминами „услов- ное“, „дизъюнктивное“ и т.д., Кант рассматривает как отдельные условия мышления (различные виды мысли). Однако в высшей степени примечательным фактом является то, что выражение всех этих отношений можно дедуктивно вывести одно из другого путем простого аналитического процесса. Из уравнения y = vx, выражающего условную пропозицию: „Если пропозиция Y истинна, то пропозиция X истинна“, мы можем вывести уравнение, yx + (1 - y)x + (1 - y)(1 - x) = 1,