Основной закон мышления: от Канта к Булю
А.Г. Пушкарский
Проводятся параллели между поиском оснований логики и мышления у И. Канта и Дж. Буля и определением ими основных операций мышления. Оказывается, что ход рассуждений Буля удивительным образом напоминает таковой у раннего Канта. Сначала он формулирует основной закон мышления, основанный на некотором варианте закона тождества для классов, а затем выводит из него закон противоречия и элементарные действия мышления.
Ключевые слова: основной закон мышления, принцип тождества, философия математики Канта, алгебра логики Буля.
The fundamental law of thought: from Kant to Boole
Anatoly G. Pushkarsky
In some matters, the philosophical significance of historical and logical research cannot be overestimated. First, because any significant philosophical system is based on a certain logic, rarely pronounced, and its explication helps to clarify the main points, reveal the genesis of this system and, possibly, avoid its frankly false interpretations. Immanuel Kant's doctoral thesis “A New Elucidation of the First Principles of Metaphysical Cognition (Principiorum primorum cognitionis metaphysicae nova dilucidatio)”, presented at the Faculty of Philosophy at the University of Kцnigsberg in September 1755, can be considered his first serious work devoted to the actual problems of metaphysics. This treatise is remarkable, for, in it, Kant criticized two fundamental principles of the then dominant Leib- niz-Wolff metaphysics, namely, the principles of contradiction and sufficient reason. He proposes to replace them with the principle of identity for the basis and criterion of all truths and the principle of the determining basis for finding the source of true knowledge. In his critical philosophy, Kant considers reason and mind as cognitive abilities that constitute rational thinking in general.
Logic is the science of thinking, and general pure logic contains its basic and necessary, a priori principles. Any thinking, according to Kant, is based on the law of identity because no thinking about the world would be possible, firstly, if we could not perceive the identity of the objects of thinking in the process of perceiving the diverse in time and, secondly, without the identity of the perceiving subject. Thus, it must be admitted that the status of the law of identity has not changed much in Kant's critical philosophy, just like his idea of distinguishing between logical and real foundations of knowledge. Despite the fact that the origin of the first systems of symbolic logic is not associated with traditional metaphysics, it seems that it is not accidental; the course of George Boole's reasoning about the basic principle of logic surprisingly resembles that of early Kant. First, he formulates the fundamental law of thought, based on some version of the law of identity for classes and then deduces from it the law of contradiction. Then he turns to one of the most important tasks of Kant's critical philosophy to identify the elementary actions of thinking to create conditions for the construction of an adequate theory of consciousness. In his unpublished notes on the nature of logic, Boole writes that it is absolutely wrong to define logic as an art or a science of reasoning, since it is impossible to define the process of reasoning in any way without first analyzing the process of thinking, conceptualizing and judging. In addition, it is not enough just to recognize the existence of such processes and describe their objects. Their laws must be estab-
lished. According to Boole, logic is the science of thought and its laws, expressed in operations on the concepts of judgments and reasoning and in language.
Keywords: basic law of thought; principle of identity; Kant's philosophy of mathematics; Boole's algebra of logic.
В некоторых вопросах философское значение историко-логических исследований трудно переоценить. Прежде всего, потому что в основе любой значимой философской системы лежит определенная логика, редко явно выраженная, и ее экспликация помогает разъяснить основные положения, раскрыть генезис данной системы и, возможно, избежать откровенно ложных ее интерпретаций.
Основной принцип метафизики
Первой серьезной работой Канта, посвященной собственно проблемам метафизики, можно считать его диссертацию «Новое освещение первых принципов метафизического познания», представленную на философском факультете в Кёнигсбергском университете в сентябре 1755 г. Написанная на латыни и в традиционной для того времени трактатов по метафизике форме, она тем не менее примечательна тем, что в ней Кант выступил с критикой двух фундаментальных принципов господствующей тогда лейбнице- вольфовской метафизики, а именно принципов противоречия и достаточного основания. Он предложил заменить их на принцип тождества для основания и критерия всех истин и принцип определяющего основания для определения источника истинного знания. Несмотря на то, что аргументация кантовского трактата выдержана в духе критикуемой им метафизики и даже усилена в этом смысле (см.: [1. С. 191]), в проводимом им различении основания истины и действительности, в идее о том, что из логической возможности вещи невозможно вывести ее существование, можно усмотреть источник его последующей критической философии.
Однако наше внимание к данной работе обусловлено тем, что с точки зрения истории логики в ней присутствует ряд любопытных идей и рассуждений. Остановимся только на двух. Во-первых, Кант дает весьма необычную формулировку закона тождества, который он противопоставляет лейбницев- скому закону противоречия как основному принципу метафизики: «Существуют два безусловно первых принципа всех истин: один для утверди-тельных истин, a именно положение: „все, что есть, есть“; другой для отрицательных истин, a именно положение: „все, что не есть, не есть“, Оба эти положения, взятые вместе, называются принципом тождества» [2. С. 268] . Далее он утверждает, что «принцип тождества надлежит предпочесть принципу противоречия как высший по сравнению с ним принцип выведения истины...» [Там же. С. 271], поскольку закон противоречия, по Канту, сводится к заключению о невозможности противоположного, а это дает нам возможность утверждать только то, что «нечто скорее есть, чем не есть», что не исключает тем не менее возможности противоположного этому «нечто», т.е. не необходимой, а случайной связи между субъектом и предикатом. Все это не дает нам требуемой от основного закона логики логической необходимости, и, таким образом, по Канту, закон противоречия должен сводиться к закону тожества, правда, «двойному».
Сформулировав свой принцип тождества как основной закон логической сферы метафизики, Кант обрушивается с довольно язвительной критикой в адрес комбинаторного искусства Г.В. Лейбница. Приведем его комментарий (схолию) целиком, ввиду того что сегодня он выглядит просто вызывающе архаичным: «Вот, правда, небольшой, но не лишенный некоторого значения пример „знаковой комбинаторики“, ибо те простейшие выражения, которыми мы пользуемся при объяснении этих принципов, почти ничем не отличаются от знаков. По этому поводу я открыто выскажу то, что думаю об этом искусстве, которое Лейбниц выдавал за свое изобретение и о котором все сведущие люди сожалеют, что оно сошло в могилу вместе с этим великим мужем. Я признаюсь, что вижу в этом суждении великого философа лишь нечто подобное завещанию того отца y Эзопа, который, лежа на смертном одре, поведал своим детям, что на своем поле он зарыл клад, однако, прежде чем успел указать им точно это место, внезапно скончался. Он побудил этим сыновей к неустанному раскапыванию и разрыхлению почвы, пока они, хотя и обманутые в своих надеждах, не оказались тем не менее бесспорно разбогатевшими благодаря тому, что повысили плодородие почвы. Это, конечно, единственная польза, которую можно ожидать, на мой взгляд, от исследования этой знаменитой системы, если только кто-нибудь еще захочет тратить на это свой труд. Я не стану отрицать, что, после того как безусловно первые принципы уже найдены, можно кое-где применить знаковую комбинаторику, так как в этом случае представляется возможность использовать в качестве знаков и наиболее простые понятия, a следовательно, и простейшие выражения; однако там, где при помощи этих знаков должно быть выражено сложное познание, вся проницательность ума оказывается как бы внезапно повисшей над пропастью и наталкивается на неразрешимые трудности» [Там же. С. 269-270].
Это высказывание Канта удивительно прежде всего тем, что оно оказалось пророческим. Правда, совсем не в том смысле, который он хотел в него вложить. Действительно, если мы обратимся к творчеству Лейбница в деле построения новой символической логики, то обнаружим поразительную судьбу его логических работ, напоминающую историю из басни Эзопа «Крестьянин и его сыновья». Идея Лейбница о том, что логику следует строить по образцу математики, с одной стороны, и идея о том, что и математику можно свести к логике, с другой стороны, были хорошо известны. Из-за этого, и вполне справедливо, он считается предшественником логицизма, одного из трех направлений в основаниях математики, сформировавшихся в начале ХХ в. благодаря работам Б. Рассела. А вот сами работы Лейбница в области математической логики никто не видел практически до начала ХХ в., когда они были опубликованы усилиями французского математика Луи Кутюра только в 1903 г. (см.: [4. С. 659]).
К тому же с современной точки зрения на историю логики такие кантовские «безусловно первые принципы» комбинаторного искусства были найдены спустя почти столетие в работах Де Моргана и Дж. Буля, и заключались они в применении методов символической алгебры. Это стало началом радикального изменения представлений о науке логики и означало не просто применение более удобного способа выражения и более эффективных методов решения логических проблем, а изменение, по существу, самого способа логического мышления.
Интересно, однако, что и сам Кант в «Критике чистого разума» писал о символическом конструировании как об универсальном математическом методе, правда, только по отношению к современным ему арифметике и алгебре. Его представления об алгебраическом методе и символическом конструировании мы рассмотрим ниже.
Основной закон мышления
Логику Кант определяет как науку «о правилах рассудка вообще» [5. С. 155]. Однако следует иметь в виду, что он подразделяет всю логику на логику частного применения рассудка, которая является пропедевтикой наук, поскольку «содержит правила правильного мышления о предметах определенного рода» [Там же], и на логику общего применения рассудка, которая «содержит безусловно необходимые правила мышления, без которых невозможно никакое применение рассудка, и потому исследует его, не обращая внимания на различия между предметами, которыми рассудок может заниматься» [Там же]. Общую логику Кант подразделяет на чистую и прикладную. Прикладная логика «рассматривает правила применения рассудка при субъективных эмпирических условиях, указываемых психологией», и «представляет рассудок и правила его необходимого применения in concreto, Т.Є. при случайных условиях субъекта, которые могут препятствовать или содействовать применению рассудка и даются только эмпирически» [Там же. С. 157]. Общая чистая логика «имеет дело исключительно с априорными принципами и представляет собой канон рассудка и разума, однако только в отношении того, что формально в их применении, тогда как содержание может быть каким угодно (эмпирическим или трансцендентальным)» [Там же. С. 156]. В приведенном выше высказывании речь идет именно об общей чистой логике, в которой как раз и были собраны и систематизированы самые общие принципы чистого разума, и система этих принципов полна и неизменна. Именно эта логика, будучи каноном рассудка и разума, является законченной и совершенной наукой разума. Кант называет ее формальной, поскольку имеет дело только с чистыми формами мышления и отвлекается от всякого их содержания. Отметим также, что рассудок Кант понимает не только как отдельную познавательную способность, но и фактически как синоним мышления вообще. Разум не является самостоятельной познавательной спо-собностью, а в некотором смысле «вырастает» из рассудка. Хотя само понятие разума Кант также часто понимает в широком смысле как любую способность мышления вообще. Поэтому совместно рассудок и разум, выделяемые обычно как отдельные познавательные способности, и будут, по Канту, составлять мышление и его познавательные способности. Логика - это и есть наука о мышлении, а общая чистая логика содержит ее основные и необходимые, априорные принципы. Можно ли выделить основной и центральный принцип этой логики? Любое мышление, по Канту, основывается на законе тождества. Почему? Потому что никакое мышление о мире не было бы возможно, во-первых, если бы мы не могли воспринимать тождество предметов мышления в процессе восприятия многообразного во времени, и во- вторых, без тождества воспринимающего субъекта [6. С. 351-352]. Таким образом, надо признать, что статус закона тождества не сильно изменился и в критической философии Канта, как и его идея различия логических и реальных оснований познания.
Кант о логике и алгебре
Тем не менее именно общая чистая логика Канта в последующей традиции стала пониматься как собственно логика, ничем не отличающаяся от логики аристотелевской ; именно она нам сегодня известна под названием «формальная традиционная логика» . И эта формальная логика, понимаемая как наука об основных законах мышления и, соответственно, познания вообще, оказалась не просто тесно связанной с философией, она стала рассматриваться как центральная часть гносеологии. Т акое понимание логики заняло господствующие позиции как минимум в немецкой философии, имеющей, однако, часто решающее влияние на развитие всей мировой философии в XIX в. Но на рубеже веков положение изменилось. Революционные изменения в логике, произошедшие в середине XIX в. и связанные с созданием и развитием математической логики, постепенно захватили целые философские направления. Новая логика стала пониматься как мощнейшее средство решения если не всех философских проблем, то по крайней мере наиболее принципиальных. А вот традиционная формальная логика, которая зачастую напрямую связывалась с философией Канта, начала подвергаться разнообразной и зачастую уничижительной критике, самая минимальная из которой состояла в том, что традиционная логика - это просто небольшой фрагмент новой математической логики, а именно исчисление классов, т.е. одноместное исчисление предикатов (см.: [8. С. 68-80]). Кроме того, концепция «старой» логики, понимаемая как наука о формах мышления, по мнению родоначальников новых философских направлений, таких как, например, логический позитивизм, оказалась неизлечимо больна психологизмом. Дошло до того, что Бертран Рассел, один из самых известных и значительных философов ХХ в., предлагал вообще выбросить традиционную логику как устаревшую дисциплину как из науки и философии, так и из преподавания. По его мнению, она непригодна для современной науки, поскольку не удовлетворяет необходимым для нее критериям строгости доказательств. В философии она приводит нас к принятию ложной метафизической картины мира, так как, по его мнению, «логика есть сущность философии» и «логика фундаментальна для философии» [9. С. 146], а философские «школы следует характеризовать, скорее, по их логике, чем по их метафизике» [Т ам же].
Но, так или иначе, в истории логики укрепилась вполне определенная точка зрения о негативном влиянии традиционной формальной логики, сформировавшейся как раздел гносеологии в виде науки, изучающей формы мышления, в развитии и эволюции логики вообще. Подобное мнение и ныне является преобладающим среди историков логики и математики. Приведем, например, такую, довольно показательную, цитату: «С наступлением эпохи Возрождения судьба этих двух дисциплин изменилась: математика ожила и преуспела, а логика - именно потому, что она стала областью философов, а не математиков, - мало повлияла на большие успехи научной мысли шестнадцатого и семнадцатого веков» [10. P. 39]. Далее автор, Джон Доусон, приводя упомянутое выше высказывание Канта о том, что логика со временен Аристотеля не сделала «ни одного шага вперед», выделяет исключительно одного Лейбница как предшественника современной логики, который не просто выдвинул идею математизации логики и предполагал возможность свести всю математику к логике, но предпри-нял определенные попытки реализации своих идей. Что касается Канта, то его иногда упрекают ни много ни мало в том, что его концепция логики оказалась препятствием на пути прогресса в становлении новой математической логики: «Если Кант ограничился лишь утверждением о невозможности превзойти аристотелевский логический формализм, то Гегель в своей критике Плукэ попытался высмеять саму идею математизации логики. Позиция двух крупнейших философов того времени (в особенности кантовская) не могла не подорвать доверия части ученых к зарождающейся логико-математической теории. Те мыслители, которые тем не менее имели смелость вновь вернуться к разработке алгебро-логических идей, выступали теперь лишь от собственного имени, предпочитая не ссылаться ни на Ламберта, ни на Плукэ » [11. С. 272].
Что же касается Канта, то, как мы заметили выше, он подразделяет всю логику на логику общего применения рассудка и логику частного применения рассудка, которая должна быть пропедевтикой любой науки, в том числе и математики. И для того чтобы понять, какое место должны была бы занимать современная математическая логика в логической концепции Канта, которая сама по себе не одномерна и нетривиальна, следует обратится к его философии математики. Одним из основных вопросов кантовской философии был вопрос: «Как возможна математика?», т.е. как возможны всеобщие и необходимые математические суждения? И одна из главных идей его философии математики состояла в том, что «математическое знание есть познание посредством конструирования понятий» [5. С. 600]. В своем сочинении, известном как «Против Эберхарда», Кант дает самое элементарное разъяснение этого процесса, поэтому приведем этот отрывок полностью: «Для предотвращения неправильного применения выражения „конструирование“ понятий, которому столь много места уделено в „Критике чистого разума“ и тем самым впервые указано различие между методами в математике и философии, может служить следующее. В самом общем значении всякая демонстрация понятия с помощью (самостоятельного) производства корреспондирующего ему созерцания может называться кон-струированием. Если это происходит с помощью простой силы воображения согласно понятию apriori, то оно называется чистым (которое математик должен класть в основу всех своих демонстраций, поэтому он и может на примере окружности, начерченной им на песке, какой бы несовершенной она ни была, столь совершенно доказать свойства окружности вообще, как будто она выгравирована самым лучшим художником). Если же оно будет выполнено на каком-либо материале, то оно будет называться эмпирическим конструированием. Первое может быть названо схематическим, а второе - техническим. Последнее, действительно, так называемое несобственное конструирование (потому что оно относится не к науке, а к искусству и произво-дится с помощью инструментов), является или геометрическим (с помощью циркуля и линейки), или механическим, для чего необходимы другие инструменты, например для вычерчивания других конических сечений, отличных от окружности» [13. С. 43-44]. Обоснование возможности чистой математики Кант дает в трансцендентальной эстетике «Критики чистого разума». Но в ней речь идет только об арифметике и геометрии, а современная логика появилась в виде алгебры логики, которая понималась ее создателями как исчисление классов или множеств. Об алгебре и алгебраическом методе Кант упоминает только в двух местах «Учения о методе» «Критики чистого разума». Вот один из них: «...действия алгебры с уравнениями, из которых она посредством редукции получает истину вместе с доказательством, представляют собой. конструирование с помощью символов, в котором понятия, в особенности понятия об отношении между величинами, выражены в созерцании знаками, и, таким образом. все выводы гарантированы от ошибок тем, что каждый из них показан наглядно» [5. С. 614]. Было бы заманчиво трактовать «конструирование с помощью символов» с современной точки зрения как идею символической и универсальной алгебры, т.е. как теорию операций над символами, отвлекающуюся от каких-либо значений самих символов.