Материал: Оптимизация портфеля ценных бумаг

Оптимизация портфеля ценных бумаг

Оглавление

Введение

Глава 1. Теоретические основы оптимизации портфеля ценных бумаг

1.1 Формирование оптимального портфеля ценных бумаг

1.2 Паевые инвестиционные фонды на российском рынке

1.3 Теоретические основы Копула-функций

Глава 2. Использование копула-функций для оптимизации портфеля ценных бумаг на основе CVaR по российским ПИФ

2.1 Анализ данных по выбранным паевым инвестиционным фондам

2.2 Оптимизация портфелей ценных бумаг на основе CVaR

2.3 Тестирование оптимальных портфелей на контрольных данных и анализ полученных результатов

Заключение

Список литературы

Приложения

Введение

За последние несколько десятков лет мировой финансовый рынок продемонстрировал очень высокие темпы роста, как по объемам торговли, так и по количеству торгуемых инструментов. Сейчас очень сложно представить инвестора, владеющего только лишь одним активом. Как правило, вложение средств производится в набор таких инструментов, называемым портфелем ценных бумаг. В него могут входить как инструменты одного вида, например, только акции или только облигации, так и различные активы: ценные бумаги, производные финансовые инструменты, недвижимость и т.д. Главной целью формирования портфеля ценных бумаг является стремление инвестора получить наиболее высокую доходность при заданном уровне риска или же иметь наиболее низкий риск для заданного уровня доходности. Это достигается, прежде всего, за счет эффекта диверсификации, т.е. распределения средств инвестора между различными активами, а также за счет тщательного подбора финансовых инструментов.

Моделирование портфелей ценных бумаг является специфической задачей составления такого сочетания ценных бумаг, которое бы удовлетворяло выбранной инвестиционной стратегии. Выбор ценных бумаг для инвестирования при этом основывается на двух основных процессах: анализе поведения ценных бумаг на основе их исторических котировок и прогнозировании динамики их котировок в будущем. Прогнозирование, при этом, является процессом с неопределенной степенью вероятности, так как на котировки ценных бумаг влияет множество факторов, от локальных до глобальных, поэтому подготовка адекватной модели является чрезвычайно трудной задачей. Процесс анализа является определенным по своей сути, так как берется уже известная информация о ценных бумагах, которая анализируется по метрикам, оценивающим соотношение доходности и риска. Разнообразие вариантов сочетаний ценных бумаг приводит к тому, что существует значительное количество привлекательных для инвестирования элементов. Это приводит к решению задачи моделирования множества портфелей ценных бумаг из определенной совокупности рыночных элементов по заданному количеству элементов в портфеле.

Повышение эффективности рынка, рост статистической базы, прогресс в области вычислительной техники и развитие научных знаний привели к возникновению современной теории управления портфелем ценных бумаг. Она основана на использовании статистических и математических методов подбора инструментов в портфель, а также на ряде новых концептуальных подходов. Основу современной портфельной теории составляют сформулированные Гарри Марковицем в 1950-х годах идеи по управлению портфелем ценных бумаг. Его подход предполагает анализ ожидаемых средних значений и вариаций финансовых активов и выбор на их основе оптимальных весов, с которыми инвестор должен включить каждую рассматриваемую бумагу в свой портфель [32]. В 90-е годы прошлого века портфельная теория обогатилась концепцией VAR (Value-at-Risk). Изобретение банком J.P. Morgan в 1992 г. данной методики объясняется тем, что во многих случаях дисперсия не может рассматриваться как подходящий показатель измерения риска портфеля. Например, дисперсия не учитывает возможную скошенность в распределении доходности портфеля, если оно не является симметричным [59, c.28]. Таким образом, новая методология благодаря своему преимуществу по сравнению с "Классической теорией" привлекла как научных исследователей, так и практиков и по настоящий момент времени широко используется в различных направлениях, связанных с оценкой рисков.

В мировой научной литературе существует множество работ, посвященных оптимизации портфеля ценных бумаг и управления риском на основе показателя VaR, например, Basak and Shapiro [4], Chen [7] и Goh et al. [19]. Однако, существует ряд недостатков VaR как меры риска. Во-первых, VaR сложно оптимизировать для дискретных распределений (когда его расчет производится при помощи сценариев), поскольку в данном случае он не будет выпуклой и гладкой функцией и будет иметь множество локальных экстремумов. Во-вторых, он не является когерентной мерой риска, в частности может возникнуть ситуация, когда диверсификация портфеля может увеличить величину VaR (будет нарушаться свойство субаддитивности). Для преодоления данного недостатка RockfellerandUryasev предложили альтернативную меру риска - ConditionalValue-at-Risk (CVaR). Pflug [40] показал, что CVaR является когерентной и выпуклой мерой риска (удовлетворяет всем трем вышеперечисленным свойствам). Это послужило причиной тому, что множество исследователей используют именно CVaR в качестве меры риска для управления портфелем ценных бумаг и других экономических и финансовых проблем (например: JohnandHafize [25], Huangetal. [23], Zhu and Fukushima [55], Yau et al. [53], Sawik [44], Claro and Pinho de Sousa [9]).

Для процедуры оптимизации портфеля ценных бумаг на основе CVaR ключевую роль играет задача выбора и оценки совместного распределения доходностей ценных бумаг - "претендентов" на включение в портфель. Исследования показывают, что для финансовых данных наблюдается отклонение их совместного распределения от многомерного нормального закона. Примером может служить асимметрия доходностей рыночных активов, которая больше в периоды спада на рынке, чем в периоды подъема на рынке (Erbetal., 1994 [11]; Longin, Solnik, 2001 [30]; Ang, Chen, 2002 [1]; Patton, 2004, 2006 [37,38]). Таким образом, многомерное нормальное распределение не является хорошей моделью для описания совместного распределения многих экономических и финансовых проблем, что приводит к проблеме поиска более адекватных многомерных моделей. Теория копула-функций - один из лучших способов ее решения. Теория копула-функций берет свое начало с работ Hoeffding в 1940г. [22] и Sklar в 1959 г. [47,48], однако свое развитие и широкое использование она получила лишь к концу 1990‑х гг. Количество исследований с применением копула-функций увеличивается достаточно быстро, см. (Wang, 1998 [49]; Frees, Valdez, 1998 [16]; Embrechtsetal., 1999 [10]). Несмотря на то, что теория копула-моделей исследована относительно полно, проблема оценивания и статистические выводы для копула-моделей, в определенном контексте, все еще требуют дальнейших исследований, см. Genest, Favre, 2007 [17]. За последние годы предложены различные методы оценивания параметров копула-функций, начиная с параметрических (Jondeau, Rockinger, 2003 [26]; Patton, 2004, 2006а, б [37,38]; Fantazzini, 2009б [12]), полупараметрических (Genest et al., 1995 [17,18]; Breymann et al., 2003 [5]; Fantazzini, 2010 [13,14), и заканчивая непараметрическими методами (Fermanian, Scaillet, 2003 [15]).

Новым направлением развития является использование копул к моделированию многомерных распределений в задачах оптимизации структуры портфеля. Здесь стоит отметить такие работы, как (Hennessy, Lapan, 2002 [21]; Алексеев и др., 2006 [56]). Кроме того, большинство исследователей в данном направлении используют в качестве меры риска именно CVaR из-за его преимуществ описанных выше. Lauprete, Samarov, Welsch, 2002 [28]; Autchariyapanitkul, Chanaim, Sriboonchitta, 2015 [3] на основе исторических данных оценивали портфели минимального риска с использованием распределения Стьюдента для копулы. ManyingBaiandLujieSun [31] в своей работе применяли 3-х мерные Архимедовы копулы для анализа данных, а (PuHuang, DharmashankarSubramanian, JieXu, 2010 [41]) - Нормальные копулы. Помимо данных работ существует много исследований по оптимизации портфеля ценных бумаг на основе несимметричных мер риска, см. (Xubiao He, Pu Gong, 2009 [51]; Iakovos Kakouris, Berç Rustem, 2014 [24]) идругие.

Таким образом, данная тема является очень популярной и привлекает внимание исследователей по всему миру. Кроме того отсутствуют работы по оптимизации портфеля ценных бумаг, состоящего из паев российских ПИФ на основе копула функций. Все это говорит об актуальности выбранной тематики исследования.

Целью настоящей работы является получение оптимального портфеля ценных бумаг на основе CVaR с использованием копула-функций для оценки многомерного распределения на примере российского рынка открытых ПИФов.

Для достижения данной цели были поставлены следующие задачи, определившие состав и логику настоящей работы:

Проверить используемые данные на "нормальность" с помощью теста Колмогорова-Смирнова и на "тяжелые хвосты" при помощи ядерных оценок функции плотности

Построить копула-функции и выбрать лучшие из них на основе критерия Акаике

Смоделировать множество портфелей ценных бумаг на основе метода Случайных портфелей

Построить прогноз распределения доходности ценных бумаг на трех временных горизонтах инвестирования: месяц, квартал и полугодие

Оценить ожидаемую доходность и CVaR для каждого сгенерированного портфеля и построить достижимые множества для всех рассматриваемых временных горизонтов

Выбрать оптимальные портфели и сравнить их с результатами "Классической теории" Марковица на контрольных данных

Объектом исследования являются открытые Паевые Инвестиционные фонды российского рынка, входящие в десятку фондов с наибольшей стоимостью чистых активов.

Предметом исследования выступают оптимальные портфели, составленные из паев объектов исследования.

Методология исследования основана на применении копула-функций, метода Случайных портфелей, метода непараметрической оценки CVaR, метода Маровица, метода Монте-Карло

Структура работы состоит из введения, двух глав, заключения и списка использованных источников.

Во введении определены актуальность, цель и задачи, объект и предмет исследования, характеристика степени разработанности темы, методическая и информационная база.

В первой главе рассматриваются теоретико-методологические основы процесса построения оптимальных портфелей для ПИФ. В ней изложена Классическая теория управления портфелем ценных бумаг, а также новые направления в данной области - использование CVaR и VaR в качестве мер риска, описаны основы функционирования ПИФ на российском рынке, рассказано об теоретических основах построения и использования копула-функций для моделирования многомерного распределения.

Во второй главе подробно изучены и проанализированы исходные данные на предмет подчинения нормальному распределению и толщины хвостов распределения, приведена методология и построены оптимальные портфели разных типов на трех временных горизонтах, протестированы результаты данных портфелей на контрольной выборке и проанализированы полученные результаты.

В заключении подведены итоги исследования, содержатся выводы и практические рекомендации.

портфель оптимизация ценная бумага

Глава 1. Теоретические основы оптимизации портфеля ценных бумаг

1.1 Формирование оптимального портфеля ценных бумаг

Основу современной портфельной теории составляют сформулированные Гарри Марковицем в 1950-х годах идеи по управлению портфелем ценных бумаг. Его подход предполагает анализ ожидаемых средних значений и вариаций доходности финансовых активов и выбор на их основе оптимальных весов, с которыми инвестор должен включить каждую рассматриваемую бумагу в свой портфель. В классической теории в качестве ожидаемого значения доходности может выступать среднее арифметическое, среднее геометрическое, медиана или модельное значение, например, на основе модели CAPM, а также некоторые другие [32]. Для определения доходности портфеля используется следующая формула:

 (1)

где

 - доля  актива в портфеле,  - доходность  актива.

В качестве меры риска или изменчивости (вариации) актива Марковец предложил использовать дисперсию, которая характеризует разброс доходности относительно ее средней величины.

 (2)

Для определения общего риска портфеля (его дисперсии) формула расчета такова:

 (3)

 - ковариация (мера линейной зависимости) доходности  актива с доходностью  актива, где:

 (4)

Если объединить в портфель некоторое число активов (рассмотрим случай с четырьмя активами), то можно построить портфельное множество с различными сочетаниями параметров риска и доходности, варьируя удельные веса инструментов в портфеле. Таким образом, мы получим фигуру ABCDE, изображенную на рисунке 1, которая представляет собой все достижимое множество портфелей.

Рисунок 1: Достижимое множество

Рациональный инвестор будет стремиться минимизировать риск и увеличить доходность, поэтому всем возможным портфелям, представленным на рис. 1, вкладчик предпочтет только те, которые расположены на отрезке ВС, поскольку они являются доминирующими. Доминирующий портфель - это портфель, который имеет наибольшую доходность для заданного уровня риска или минимальный риск для заданного значения доходности. Набор портфелей на отрезке ВС называют эффективным набором. Эффективный набор портфелей - это набор, состоящий из доминирующих портфелей. Набор портфелей на участке ВС называют еще эффективной границей или эффективной границей Марковца. Она была открыта Г. Марковцем в 50-х годах. Чтобы определить данную границу, необходимо на основе уравнения (3) рассчитать удельные веса активов в портфеле, при которых минимизируется значение его дисперсии для каждого данного уровня доходности при условии, что  и . Данный метод называется методом Марковца [58, c.6-60].

Для выбора оптимального портфеля из эффективной границы используется функция полезности инвестора или его склонность к риску. Это означает, что более склонный к риску инвестор будет выбирать портфель с более высоким риском и с более высокой доходностью и наоборот. Оптимальным портфелем будет тот, который задан точкой касания кривой безразличия инвестора и эффективной границы.

В 90-е годы прошлого века портфельная теория обогатилась концепцией VAR (Value-at-Risk). VaR - это показатель риска, который показывает, какую максимальную сумму денег может потерять портфель инвестора в течение определенного периода времени с заданной доверительной вероятностью (показатель, говорящий о том, какое количество раз из каждых 100 раз потери в стоимости портфеля не превысят данного уровня). Появление методики VaR (она была представлена публике банком J. P. Morgan в 1992 г.) объясняется тем, что во многих случаях дисперсия не может рассматриваться как подходящий показатель измерения риска портфеля. Например, дисперсия не учитывает возможную скошенность в распределении доходности портфеля, если оно не является симметричным [58, c.6-60]. Однако, существует ряд недостатков VaR как меры риска. Во-первых, VaR сложно оптимизировать для дискретных распределений (когда его расчет производится при помощи сценариев), поскольку в данном случае он не будет выпуклой и гладкой функцией и будет иметь множество локальных экстремумов. Во-вторых, он не является когерентной мерой риска [42,43]. Мера риска называется когерентной, если она удовлетворяет следующим свойствам: