Материал: Оптимальное непроизводственное потребления в односекторной модели экономического роста

Как видно из расчетов при увеличении объемов инвестиций и потребления в динамике за 30 лет фондовооруженность увеличивается, что соответствует первому режиму изменения фондовооруженности.

Рисунок 3.1 - График изменения фондовооруженности k

Вычислим стационарное значение фондовооруженности.

Найдем значение стационарной фондовооруженности по формуле:

 (3.8)

В нашем случае k*= 15,58846.

Вычислим теоретические значения критической фондовооруженности  по формуле:

 (3.9)

Получим: = 4,346916

Подберем начальные значения K, L таким образом, чтобы смоделировать два режима изменения фодовооруженности.

Зададим начальные параметры K=13570000 и L=1425000, остальные параметры оставим без изменения.

Таблица 2 - Расчет параметров модели для начальных значений К и L

Эти данные соответствуют второму режиму фондовооруженности.

Рисунок 3.3 - График фондоворуженности k1*

Вычислим K2, L2 и k2* аналогично, взяв за начальные параметры K=13000000 и  L=670000.  Результаты расчетов приведены в приложении  А.

Из таблицы видно, что эти данные соответствую третьему режиму фондовооруженности.

Рисунок 3.3 - График  фондоворуженности k2*

Фондовооруженность асимптотически стремится к значению

 (3.10)

Фондовооруженность убывает при большем начальном значении и возрастая при меньшем.

Возрастание является ускоренным при малых значениях фондовооруженности и замедленным при больших.

Покажем данное свойство графически:

Рисунок 3.3 - "Золотое правило" накопления

Проверим полученную модель на соответствие  «золотому правилу накопления»

Данная имитационная схема позволяет менять параметры исходной модели, рассматриваемые там как постоянные величины. Так, регулируя норму накопления, можно добиться увеличения в перспективе нормы потребления. «Золотое правило накопления», выводимое на основе аналитического решения, дает для нормы накопления наилучшее значение .

Найдем норму потребления с для каждого значения p, принадлежащий промежутку (0,1;0,9) (с шагом 0,1), на пять периодов:

Рисунок 3.3 - Норма  непроизводставенного потребления

Выполнение правила "золотого накопления", которое заключается в том, что при полной занятости и полной загрузке производственных мощностей в растущей с постоянным темпом экономике средняя норма потребления достигает максимума при равенстве нормы сбережения и эластичности выпуска по капиталу и выглядит следующим образом (Рисунок 3.5).

Рисунок 3.5 - Норма непроизводственного потребления

Наибольшее непроизводственное потреблении достигается при ставке процента, равной эластичности выпуска по капиталу.

В результате работы построена однофакторная модель экономического роста и прослежена ее динамика, начислено стационарное значение фондовооруженности, найдены при различных значениях K и L три режима фондовооруженности, проверено "золотое правило накопления".

.2 Построение имитационной модели средствами пакета MatLab

является высокопроизводительным языком для технических расчетов. Он может использоваться для:

−       математических вычислений,

−       создания алгоритмов,

−       моделирования,

−       анализа, исследования и визуализации данных,

−       научной и инженерной графики,

−       разработки приложений, включая создание графического интерфейса.

В MatLab важная роль отводится специализированным наборам инструментов Toolboxes, которые позволяют изучать и применять специализированные методы: обработка сигналов, системы управления, идентификация систем, построение и анализ нейронных систем, поиск решений на основе нечеткой логики и т.д. Одной из наиболее важных сопутствующих программ является Simulink, который позволяет моделировать нелинейные динамические системы. Он имеет библиотеку стандартных графических блоков со встроенными математическими функциями, причем создание модели происходит с помощью мыши, то есть блоки соединяются информационными связями, что позволяет наглядно представить структуру модели. Именно поэтому Simulink часто называют средством визуального моделирования.

Рисунок 3.6 - Окно системы MatLab

Основной панелью является Command Window. В ней набираются команды пользователя, подлежащие немедленному выполнению. Здесь же выдаются результаты исполняемых команд.

Сначала создадим М-функцию с описанием правых частей дифференциального уравнения. Для этого в главном меню следует выбрать File→New→M-file, и в окне редактора М-файлов написать следующий текст:

function dkdt = solou (t,k)s alfa A n=s*A*(k^alfa)-n*k;

Для использования функции необходимо ее сохранить. Команда global делает переменные, перечисленные за ней, глобальными (то есть их значения можно изменить как внутри функции, так и в командном окне).

Воспользуемся решателем ode45. В командном окне следует написать следующие команды, которые решат дифференциальное уравнение с заданными начальными параметрами и построят график полученной траектории (рис. 1.4)

>> global s alfa A n

>> A=0.9;

>>alfa=0.5;

>>s=0.8;

>>n=0.05;

>>[t,k]=ode45(‘solou’,[0 500],[1]);

>>plot(t,k)

Рисунок 3.7 - Зависимость фондовооруженности от времени

Из рисунка видно, что k стабилизируется на уровне 207 единиц. Убедимся в том, что это значение (k*) является устойчивым. Для этого рассчитаем траекторию для различных начальных условий.

>> hold on

>> for i=0:100:500

[t,k]=ode45('solou',[0 500],[i]);

plot(t,k)

График на рисунке 1.5 иллюстрирует устойчивость состояния равновесия k*.

Рисунок 3.8 - Устойчивость состояния равновесия k*

Далее изложим процесс имитации в программном пакете Simulink . Программа Simulink является приложением к пакету MatLab, которая реализует принципы визуального программирования, т.е. пользователь создает на экране модель с помощью встроенных стандартных блоков. При этом пользователю не нужно досконально изучать язык программирования и численные методы, а достаточно общих знаний о программе и в той области исследования, в которой он работает. При работе с Simulink пользователь может пользоваться как встроенной библиотекой блоков, так и создавать свои собственные не только блоки, но и целые библиотеки блоков.

Для запуска программы необходимо сначала запустить MatLab. После этого можно либо набрать команду Simulink в окне команд, либо нажать на кнопку на панели инструментов. Чтобы запустить уже готовую модель можно воспользоваться командой Open из меню File и открыть файл модели (mdl). После запуска приложения появится окно обозревателя разделов библиотеки Simulink (рисунок 3.1).

Рисунок 3.9 - Окно обозревателя разделов библиотеки

Для того чтобы построить модель нужно сначала создать новый файл модели (рис. 3.10) с помощью команды File→ New→ Model или соответствующей кнопки на панели инструментов.

Рисунок 3.10 - Новое окно для разработки модели

Далее нужно расположить блоки в окне модели, т.е. курсором перетащить нужные блоки из библиотеки в окно модели. Чтобы удалить блок, его нужно выбрать и нажать клавишу Delete. Далее, если это требуется, нужно изменить параметры блока, щелкнув два раза мышкой на изображении блока.

После установки на схеме всех блоков их нужно соединить. Для этого нажать мышкой на выход из блока (при этом курсор будет в виде большого креста из тонких линий), и вести стрелку, не отпуская мыши, до нужного входа в блок (курсор примет вид креста из сдвоенных линий). В случае правильного соединения изображение стрелки на входе в блок поменяет цвет. Для создания точки разветвления в соединительной линии нужно подвести курсор к предполагаемому узлу и, нажав правую клавишу "мыши", протянуть линию. Для удаления линии требуется выбрать линию (так же, как это выполняется для блока), а затем нажать клавишу Delete на клавиатуре. После составления схемы необходимо сохранить ее в виде файла на диске

Построим модель Экономического роста, используя встроенные блоки Simulink. Для этого воспользуемся следующими блоками [24]:

Библиотека Sources - источники сигналов и воздействий.Constant - константа, задает постоянный по уровню сигнал. Параметры: Constant value - Постоянная величина.

Interpret vector parameters as 1-D - Интерпретировать вектор параметров какодномерный (при установленном флажке). Данный параметр встречается у большинства блоков библиотеки Simulink. Значение константы может быть действительным или комплексным числом, вычисляемым выражением, вектором или матрицей.

Step - шаг, прирост, ступень. формирует ступенчатый сигнал. Параметры:

−       Step time - Время наступления перепада сигнала (с);

−       Initial value - Начальное значение сигнала;

−        Final value - Конечное значение сигнала.  Перепад может быть как в большую сторону (конечное значение больше чем начальное), так и в меньшую (конечное значение меньше чем начальное). Значения начального и конечного уровней могут быть не только положительными, но и отрицательными (например, изменение сигнала с уровня -5 до уровня -3).

Библиотека Sinks - регистрирующие устройства, приемники сигналов. Scope - осциллограф, индикатор, графопостроитель, строит графики исследуемых сигналов в функции времени.