Материал: Общая физика_под ред. Белокопытова_2016 -506с

то дифракция от N щелей не является простой суммой дифракционных картин от каждой щели в отдельности. Для расчета такой картины необходимо учитывать взаимную интерференцию колебаний, приходящих от разных щелей.

Главные максимумы дифракционной картины отвечают таким углам дифракции, при которых соответственные лучи, идущие от разных щелей, приводят к перераспределению интенсивности в сторону ее увеличения (колебания взаимно «усиливают» одно другое). Поэтому результирующая амплитуда колебания в данной точке на экране

где амплитуда Аi соответствует колебанию, приходящему от одной

щели. Так как все щели занимают по отношению к углу дифракции совершенно одинаковое положение, то

A1 = A2 = … = AN = A и Aрез = NA.

Поэтому:

Iрез = N 2I,

где I — интенсивность, создаваемая одной щелью. Таким образом, интенсивность главного максимума картины, наблюдаемой от диф-

ракционной решетки, в N 2 раз больше интенсивности максимума картины от одной щели.

Разность фаз колебаний δ связана с разностью хода соотношением

δ = 2π --λ-- ,

где λ — длина световой волны.

Из рис. 27.34 видно, что = d sin ϕ. Подставим это выражение в последнюю формулу и учтем, что в максимумах интенсивности колебания должны происходить синфазно, т.е. d = ± 2mπ, где m = = 0, 1, 2, 3 … Как результат имеем:

Условие (27.18) определяет положения главных максимумов интенсивности.

401

Главные минимумы соответствуют таким направлениям дифрагирующих лучей, при которых получается условие минимума для одной щели (см. (27.14)):

где b — ширина щели, k = 1, 2, 3, …

Дело в том, что главные минимумы соответствуют результату интерференции лучей в пределах каждой отдельной щели. И если каждая щель в данном направлении света не посылает, то и от N щелей в этом направлении света не будет.

Добавочные минимумы соответствуют таким углам, при которых в данном направлении каждая щель свет посылает. Но вследствие интерференции колебаний, приходящих от разных щелей, результирующая амплитуда оказывается равной нулю. Эти колебания взаимно

i = 1

Воспользуемся графическим методом сложения амплитуд. Сло-

соответственно первого и второго колебательного процессов). Но

º

совершенно аналогично A рез можно получить из сложения тех же амплитуд по правилу треугольника (рис. 27.36). На рисунке δ = ϕ2 – ϕ1 является разностью фаз колебаний.

Если колебаний не два, а N (от N щелей), причем с одинаковыми амплитудами A1 = A2 = … = AN = A, то картина сложения амплитуд

чтобы амплитуды складывались в виде замкнутого многоугольника.

402

I

Условие главных максимувов

Рис. 27. 38

При данном отношении, d / b = 3, как видно из рисунка, главные максимумы третьего, шестого и т.д. порядков приходятся на минимумы интенсивности от одной щели, вследствие чего эти максимумы пропадают. Из формул (27.18) и (27.19) вытекает, что главный максимум m-го порядка приходится на k-й минимум от одной щели, если будет выполнено условие m / d = k / b или m / k = d / b.

Это возможно, если d / b равно отношению двух целых чисел.

пропадают.

Положение главных максимумов зависит от длины волны λ. Поэтому при пропускании через решетку белого света все максимумы, кроме центрального, разложатся в спектр. Фиолетовый цвет спектра ближе

кцентру дифракционной картины, красный — к периферии.

Сучетом того, что модуль sin ϕ не может превысить единицу, из анализа формулы дифракционной решетки для главных максимумов вытекает, что

sin ϕ = mλ ⁄ d ≤ 1 .

Отсюда следует, что дифракционная картина будет отсутствовать, если d < λ. Если d >> λ, картина перестает быть отчетливой, так как угловое расстояние между соседними максимумами станет столь малым, что они начнут перекрываться. Наилучшие результаты получаются тогда, когда d незначительно превышает λ.

Чтобы максимумы близких длин волн различались как разные (разрешались) нужно, чтобы выполнялся критерий Рэлея (Д.У. Рэлей

404

(1842—1919)). Согласно этому критерию максимумы (спектральные линии) считаются полностью разрешенными, если середина одного максимума совпадает с краем другого, т.е. два близких максимума воспринимаются глазом раздельно, если интенсивность в промежутке между ними составляет не более 80 % интенсивности максимума.

На рис. 27.39 представлены два варианта взаимного расположения двух соседних максимумов. В варианте рис. 27.39, а они сливаются для глаза, в варианте рис. 27.39, б считаются полностью разрешенными. Для варианта рис. 27.39, б запишем условия, дающие положения максимумов m-го порядка для волн с λ1 и λ2:

Для перехода от m-го максимума для длины волны λ1 к соответ-

ствующему минимуму (краю максимума) необходимо изменить направление дифрагирующего луча так, чтобы разность изменилась на λ1 / N, где N — число штрихов решетки. Таким образом, минимум

для света с длиной волны λ1 наблюдается в направлении ϕmin.

λλ+δλ

Рис. 27. 39

405