Материал: Общая физика_под ред. Белокопытова_2016 -506с

Sконтуре

EОбъединив выражения (21.1) и (21.5),

Фигурирующий здесь магнитный поток может изменяться по ряду причин: благодаря изменению формы контура и его расположения в поле, а также из-за того, что магнитная индукция зависит от времени. Полная производная dФ/dt учитывает все эти причины. В случае неподвижного контура магнитный поток изменяется только вследствие зависимости магнитной индукции от времени, поэтому вместо dФ/dt следует брать частную производную ∂Ф/∂t. Точно также следует поступить, когда проводящий контур вообще отсутствует и мы рассматриваем вихревое электрическое поле, порождаемое изменяющимся во времени магнитным полем (рис. 21.6). Здесь L — воображаемый контур, по которому вычисляется циркуляция напряженности электрического поля.

º º

Уравнение (21.6) с учетом того, что dΦ = B d S , записывают в виде

LS

Стороннее электрическое поле не является кулоновским. Его принципиальные отличия от изученного нами ранее электростатического поля таковы:

это поле создается не электрическими зарядами, а изменяющимся во времени магнитным полем;

силовые линии поля являются замкнутыми, т.е. такое электрическое поле является вихревым.

Физический смысл уравнения (21.7) заключается в том, что изменяющееся во времени магнитное поле порождает в пространстве вихревое электрическое поле.

21.4. Самоиндукция. Индуктивность

Рассмотрим контур с электрическим током силой I (рис. 21.7). Ток создает полный магнитный поток Ψ, пронизывающий поверхность, ограниченную контуром. Этот магнитный поток называется собственным магнитным потоком. При изменении силы тока в контуре

296

поле. Откуда вытекает, что сила тока в цепи пропорциональна создаваемому этим током потокосцеплению:

Коэффициент пропорциональности L между силой тока в цепи и полным магнитным потоком называется индуктивностью цепи. Индуктивность L — скалярная величина, численно равна отношению

Индуктивность элемента электрической цепи (например, провода, соленоида, коаксиального кабеля и т.п.) зависит только от его формы, геометрических размеров, числа витков и магнитных свойств среды, в которой этот элемент находится. При неизменности этих величин ЭДС самоиндукции Es согласно закону Фарадея определяется выра-

жением

Таким образом, величина ЭДС самоиндукции для любой системы пропорциональна скорости изменения силы тока в ней. В роли коэффициента пропорциональности выступает индуктивность системы. В СИ для измерения индуктивности принята единица, называемая генри (обозначение Гн) в честь американского физика Дж. Генри. Независимо от М. Фарадея, но позже него, он открыл закон электромагнитной индукции. В соответствии с (21.9) 1 Гн — это индуктивность такой проводящей системы, в которой при силе тока 1 А создается потокосцепление 1 Вб.

Определим для примера индуктивность длинного соленоида. Пусть его длина l, площадь поперечного сечения S и число витков в нем N. Зададим силу тока I в соленоиде. Магнитная индукция на оси соленоида в его среднем сечении определяется формулой

μ N

B = 0I --l- .

297

Следует отметить, что магнитная индукция в соленоиде убывает как в радиальном направлении (от оси к периферии), так и в осевом (от среднего сечения к торцам соленоида). Сделаем следующие предположения. Во-первых, будем считать магнитную индукцию постоянной по поперечному сечению соленоида. Во-вторых, пренебрежем уменьшением магнитной индукции вблизи торцов соленоида (для длинного соленоида число витков, находящихся вблизи торцов в области, где магнитная индукция по модулю уменьшается, много меньше числа витков, находящихся в области с постоянной магнитной индукцией). Тогда потокосцепление равно произведению магнитной индукции в среднем сечении на площадь поперечного сечения и число витков соленоида:

Для определения индуктивности разделим потокосцепление Ψ на силу тока в соленоиде I

Анализ формулы (21.11) показывает, что индуктивность элемента электрической цепи не зависит от силы тока в нем.

21.5. Токи при размыкании и замыкании цепей, содержащих индуктивность

По правилу Ленца дополнительные токи, возникающие в проводниках, обладающих индуктивностью, вследствие самоиндукции, всегда направлены так, чтобы воспрепятствовать изменениям силы тока, текущего в проводниках. Это приводит к тому, что установление тока при замыкании и размыкании цепи происходит не мгновенно, а постепенно.

Найдем законы изменения силы тока при замыкании или размыкании электрической цепи.

Допустим, что источник с ЭДС E замыкается ключом К на цепь, содержащую резистор сопротивлением R и катушку индуктивностью L (рис. 21.8).

Поскольку сила тока в цепи будет возрастать, в катушке возникнет явление самоиндукции, и в процессе изменения тока в цепи будут существовать две ЭДС — источника E и самоиндукции Es . Запишем

E + Es

закон Ома для замкнутой цепи: I = ---------------- , здесь I — мгновенное

R

298

где С — постоянная интегрирования, которая может быть найдена из начальных условий. Потенцирование и преобразование этого выражения дает

При замыкании цепи в начальный момент времени при t = 0 сила тока равна нулю I(0) = 0 и формула (21.12) преобразуется к виду

Отсюда C = E. Тогда уравнение (21.12) принимает вид

При t → × сила тока в цепи I0 = E /R, и в результате

Функция (21.13) описывает нарастание силы тока в цепи после подключения к ней источника ЭДС. График зависимости силы тока от времени для двух электрических цепей, содержащих катушки с различными значениями индуктивности (L1 > L2), приведен на рис. 21.9.

299

Сила тока в цепи нарастает по экспоненциальному закону. Скорость нарастания определяется имеющей размерность времени величиной

которую называют постоянной времени цепи. С учетом формулы (21.14) формуле (21.13) можно придать вид

Теперь рассмотрим случай размыкания цепи (рис. 21.10). Перебросим ключ К из положения 1 в положение 2, тем самым отключим источник и замкнем цепь, включающую резистор сопротивлением R и катушку индуктивностью L. В момент замыкания цепи в катушке существовал ток силой I0.

Начальные условия для решения уравнения в этом случае будут выглядеть следующим образом: t = 0; I(0) = I0; E(0) = 0. Подставим

Cила тока в цепи при t → × будет стремиться к нулю по экспоненциальному закону. На рис. 21.11. приведены графики зависимости силы тока от времени при двух различных значениях индуктивности. Из уравнения (21.16) следует, что за время τ = L / R сила тока убывает в e раз. С использованием постоянной времени τ закон изменения силы тока можно записать следующим образом:

300