Материал: Общая физика_под ред. Белокопытова_2016 -506с

Fx

Fупр

F

Рис. 2. 3

например, при растяжении или сжатии пружин) подчиняются закону Гука, который гласит, что

где ºr — радиус-вектор, характеризующий смещение частицы из положения равновесия; k — коэффициент жесткости, численно равный модулю силы, вызывающей единичное удлинение.

Знак « – » в законе Гука показывает, что упругая сила и перемещение пружины (ее деформация) имеют противоположные направления. На рис. 2.3 а, б показаны направление силы упругости при одномерном растяжении пружины и зависимость проекции силы упругости на направление деформации пружины от деформации.

2.4. Импульс материальной точки и системы материальных точек. Закон сохранения импульса

Рассмотрим выражение второго закона Ньютона (2.2) для материальной точки, на которую действуют несколько сил. Если учесть

Данное соотношение представляет собой иную форму записи второго закона Ньютона. В правой его части находится произведение суммы всех сил, действующих на материальную точку, на временной интервал их действия. Эта величина носит название импульса сил.

26

В левой части (2.7) стоит изменение векторной физической величины, равной произведению массы тела на его скорость. Эта величина называется импульсом тела:

Таким образом, второй закон Ньютона можно сформулировать следующим образом: изменение импульса материальной точки равно суммарному импульсу всех сил, к ней приложенных.

Рассмотрим теперь систему N материальных точек массами m1, m2, …, mN, которые могут взаимодействовать одна с другой и с внешними телами, не входящими в данную систему (рис. 2.4). Положение каждой материальной точки в системе задается радиусом-вектором

º

действует сила f ik . Тогда по третьему закону Ньютона на k-ю точку

которыми тела, входящие в рассматриваемую систему тел, взаимодействуют одно с другим называются внутренними силами. Силы, с которыми тела, не входящие в рассматриваемую систему тел, действуют на материальные точки рассматриваемой системы называются внешними силами (на рис. 2.4 такие силы обозначены

º

Fi ). В общем случае на любую материальную точку системы могут

27

действовать как внутренние, так и внешние силы. Запишем второй закон Ньютона для каждой точки:

º

где Fi — равнодействующая всех внешних сил, действующих на i-ю

точку.

Сложив эти уравнения, получим:

причем во втором слагаемом правой части полученного выражения отсутствуют члены с индексами i = k. Импульсом системы материальных точек называется геометрическая сумма импульсов всех ее тел:

i = 1 k = 1

Из (2.10) следует, что импульс системы материальных точек могут изменить только внешние силы, если их геометрическая сумма не равна нулю. Система называется замкнутой, если на систему не

28

действуют внешние силы. Сформулируем закон сохранения импульса системы материальных точек: в замкнутой системе и в случае, когда внешние силы, действующие на систему, скомпенсированы, импульс системы материальных точек сохраняется:

где º — импульс системы тел до начала рассматриваемого вза-

pсист 1

имодействия; º — импульс системы тел после окончания рас-

pсист 2

сматриваемого взаимодействия.

Часто внешние силы не скомпенсированы, но сумма их проекций на какое-либо направление равна нулю. Такая система тел называется условно замкнутой в данном направлении, и справедлив закон сохранения проекции импульса на это направление. В некоторых задачах взаимодействие тел происходит за очень малое время (удар, взрыв), причем внешние силы малы. Тогда начальный импульс системы примерно равен конечному импульсу системы.

Таким образом, импульс системы тел сохраняется со временем при любых процессах взаимодействия тел внутри замкнутой системы или в определенном классе процессов. Законы сохранения в физике позволяют предсказать поведение системы тел после некоторых сложных процессов в ней, когда для нас не важны детали этих процессов.

Существуют строгие законы сохранения (например, общефизический закон сохранения энергии, законы сохранения импульса, момента импульса, заряда и т.п.) и законы сохранения, справедливые только для ограниченного класса явлений и систем (например, законы сохранения в физике элементарных частиц). Как показала в 1918 г. немецкий математик Э. Нетер, законы сохранения связаны со свойствами симметрии физических систем, которая понимается как инвариантность каких-либо величин по отношению к некоторым математическим преобразованиям.

Следовательно, если известны свойства симметрии физической системы, значит, для нее можно указать закон сохранения. Так, закон сохранения импульса связан с симметрией пространства, в котором движутся тела. Это пространство однородно, а значит, инвариантно относительно переноса начала отсчета. Закон сохранения импульса относится к числу строгих законов, которые справедливы как в макромире, так и в микромире.

29

2.5. Центр масс системы материальных точек. Уравнение движения центра масс системы материальных точек

В любой системе тел (рис. 2.4) имеется одна замечательная точка, называемая центром масс, которая обладает рядом интересных и важных свойств. Положение центра масс относительно начала О

координатной системы определяется радиусом-вектором ºr C :

i = 1

где mi и ºr i — масса и радиус-вектор i-й материальной точки; М —

масса всей системы тел.

Центр масс системы совпадает с ее центром тяжести, если поле сил тяжести в пределах данной системы тел можно считать однородным.

Найдем скорость центра масс, продифференцировав (2.12) по времени:

i = 1

Если скорость центра масс равна нулю, то говорят, что система в целом покоится. Сама же скорость центра масс имеет смысл скорости движения всей системы как целого. Из последней формулы следует, что

т.е. импульс системы равен произведению массы системы на скорость ее центра масс.

Понятие центра масс позволяет придать уравнению (2.10) иную форму, которая часто бывает более удобной. Для этого достаточно подставить (2.13) в (2.10) и учесть, что масса системы тел — постоянная величина. Тогда получим

º

где F внеш — результирующая всех внешних сил, действующих на

систему.

Выражение (2.14) называется уравнением движения центра масс системы тел. Согласно этому уравнению центр масс любой системы тел движется так, как если бы вся масса системы была

30