Материал: Общая физика_под ред. Белокопытова_2016 -506с

мы должны учитывать движение только тех молекул, которые удалены от x0 на расстояние, не превышающее l . Пусть при таком

В положительном направлении выбранной оси ОХ движется только 1/6 часть всех молекул системы, поэтому окончательно

Первые три сомножителя полученного выражения определяют коэффициент диффузии:

Это формула закона диффузии, который был выведен А. Фиком в 1855 г.: плотность диффузионного потока частиц пропорциональна градиенту концентрации частиц. Знак « – » в (12.8) имеет физический смысл: при диффузии поток частиц направлен в сторону убыва-

Если умножить обе части (12.9) на массу одной молекулы m0, то определим выражение для потока массы:

где ρ = m0n — плотность вещества.

156

Проанализируем выражение коэффициента диффузии (12.7). С учетом (12.4) получим:

Из этого соотношения видно, что при увеличении давления диффузия должна ослабляться, так как D уменьшается. Другими словами, через «плотную толпу» частиц пробираться сложнее. Также диффузия ослабляется и при увеличении эффективного размера частиц R (через «толпу толстяков» тоже сложнее пробираться).

Единица измерения коэффициента диффузии в СИ [ D ] = м 2æс– 1. Оценим время диффузии τD ≈ L2 ⁄ D , где L — характерное расстоя-

ние, на которое продвинулись молекулы в результате диффузии. Сопоставим время диффузии с временем пролета молекулами расстояния L: t = L ⁄ v .

Тогда получим

Если задать L = l , т.е. рассмотреть диффузию на расстоянии, равном средней длине свободного пробега молекул, то с учетом (12.7) выражение (12.11) позволяет получить τD ⁄ t = 3 , т.е. диффу-

зия на расстояние l происходит в 3 раза медленнее, чем свободное движение молекул. Оценим отношение (12.11) при L = 1 см. В соответствии с (9.15) средняя скорость движения молекул идеального

Поскольку в нашем примере l = 2æ10– 7 м (см. § 12.1), то коэффициент диффузии, согласно (12.7), составит:

157

Таким образом, диффузия на расстояние 1 см происходит в 200 000 раз медленнее, чем перемещение молекул при хаотичном движении в результате соударений.

Эти примеры показывают, что необходимо существенно различать хаотичное перемещение молекул по объему системы в результате теплового движения и направленное перемещение молекул в сторону уменьшения концентрации частиц в результате диффузии.

12.3. Теплопроводность

Опыт показывает, что неравномерное распределение температуры в пространстве системы приводит к ее выравниванию и установлению состояния теплового равновесия (это является следствием второго начала термодинамики). Молекулярный перенос теплоты в сплошной среде, обусловленный наличием градиента температуры, называется теплопроводностью. Рассматривая этот процесс, можно ввести понятие плотности теплового потока, аналогично плотности потока частиц (12.5):

т.е. плотностью теплового потока назовем количество теплоты, проходящее через единичную поверхность за единицу времени.

Плотность потока частиц, согласно (12.8), выразим так:

Сравнение формул (12.5) и (12.12) показывает, что по аналогии с (12.13) можно записать

Поскольку при теплопроводности не изменяется объем системы, то dQ = mcV dT, где cV — удельная теплоемкость системы при постоян-

ном объеме, а т — ее масса. Тогда из последнего выражения получим, что

Первые сомножители в полученном равенстве — постоянные величины, зависящие от свойств и состояния системы. Введем понятие

коэффициента теплопроводности:

158

Тогда

Полученное выражение — закон теплопроводности Ж.-Б. Фурье (1822 г.): плотность теплового потока при теплопроводности пропорциональна градиенту температуры в системе. При этом перенос теплоты осуществляется в направлении снижения температуры. Из (12.15) следует физический смысл коэффициента теплопроводности: он численно равен плотности теплового потока при единичном градиенте температуры. В системе единиц СИ единицей измерения λ служит Вт / (мæК ).

Рассмотрим зависимость λ от давления для идеального газа. При низких давлениях, когда средняя длина свободного пробега l сопоставима с характерным размером сосуда L (см. рис. 12.4), из (12.14) следует, что

где m0 — масса молекулы. Поскольку первые четыре сомножителя —

постоянные величины, то это выражение показывает, что при низких давлениях газа коэффициент теплопроводности пропорционален концентрации молекул, а значит давлению газа.

При средних и высоких давлениях газа, когда l << L, из (12.14) получим:

Таким образом, при средних и высоких давлениях газа его теплопроводность не зависит от давления.

Сравнение выражений (12.7) и (12.14) позволяет установить связь

отсюда следует, что скорость теплопроводности соответствует скорости диффузии молекул.

12.4. Вязкость жидкостей и газов

Свойство жидкостей и газов, характеризующее сопротивление действию внешних сил, вызывающих их течение, называется вязкостью (внутренним трением) Рассмотрим ламинарное течение жидкости (газа), т.е. такое, при котором жидкость (газ) перемещается

159

скими. Таким образом, в ньютоновских жидкостях возникает сопротивление перемещению слоев одного относительно другого.

При перемещении всей жидкости в каком-то направлении каждая молекула жидкости участвует в двух движениях: хаотичном тепловом, средняя скорость которого v , и направленном упорядоченном, скорость которого u. Следует отметить, что v >> u (см. пример расчета v в § 12.2). Следовательно, в силу теплового движения молекул будет происходить их перемещение из слоя в слой, при этом молекулы будут обмениваться своими импульсами. Таким образом, можно рассматривать вязкость как перенос импульса.

Для количественного описания переноса импульса из одного слоя молекул в другой рассмотрим два соседних слоя толщиной d z каждый (рис. 12.6). Скорости направленного движения молекул в этих слоях различны, их модули равны соответственно u1 и u2 . Через пло-

щадку dS, разделяющую слои, в обе стороны идет поток частиц, вызванный их тепловым движением со скоростью v . Плотность

число частиц, переносимое через эту площадку за время d t, состав-

= dN mu1, а «приносится» из слоя II импульс d p′′ = dN mu2 . Следовательно, общий баланс изменения импульса в слое составит

Плотность потока импульса определим следующим образом:

Эта формула описывает плотность потока импульса молекул, переносимого из слоя со скоростью u2 в слой со скоростью u1 , если

эти скорости не изменяются в результате столкновений молекул при

160