Материал: Общая физика_под ред. Белокопытова_2016 -506с

Скачать

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Из (13.1) и (13.2) получаем

cуд p(m1 + m2 ) = cуд p1m1 + cуд p2m2 ,

откуда

c

 

= c

 

 

 

m1

 

+ c

 

 

 

m2

 

(13.3)

уд p

уд p1

---------------------

уд p2

--------------------- .

 

 

m

1

+ m

2

 

m

1

+ m

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Аналогично получаем выражение для удельной теплоемкости смеси в изохорном процессе:

c

 

= c

 

 

m1

 

+ c

 

 

 

m2

 

(13.4)

уд V

уд V 1 m--------------------

 

+ m

-

уд V 2

--------------------- .

 

 

1

2

 

m

1

+ m

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Учтем, что из соотношений (10.8) и (10.10) следуют выражения для удельных теплоемкостей идеального газа при постоянном объеме и постоянном давлении:

 

 

 

 

 

i

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i + 2

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

уд V =

----

---

,

 

cуд p

=

 

-----------

---

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 μ

 

 

2 μ .

 

 

 

 

Для смеси получаем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

i1

 

 

 

i

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cуд V

= -----------------------------

 

 

 

 

 

 

 

 

------

m1

+

-------

m2

 

;

 

 

(13.5)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2(m1

+ m2)

 

 

 

μ1

 

 

 

μ

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

 

=

R

 

 

 

 

 

i

1

+ 2

m

 

 

i2

+ 2

 

 

 

 

.

(13.6)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

уд p

2-----------------------------(m1 + m2)

 

 

--------------

1

+ -------------- m

2

 

 

 

 

 

 

 

 

μ1

 

 

 

μ 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Поскольку неон — одноатомный газ, то i1 = 3; так как водород — двухатомный газ, то i2 = 5. Подстановка числовых данных задачи дает:

cуд V = 2,58æ103 Дж/(кгæК); cуд p = 3,76æ103 Дж/(кгæК).

Пример 13.3. Кислород находится в сосуде объемом V1 при давлении p1 и температуре T1. В некотором политропном процессе его

объем увеличивается в 2 раза, а давление падает в 4 раза. Определите показатель политропы в данном процессе, массу кислорода, конечную температуру, удельную теплоемкость кислорода в данном процессе, изменение внутренней энергии газа, количество теплоты, сообщаемой газу (или отдаваемой газом) в этом процессе.

В соответствии с уравнением политропного процесса (10.13) можно записать: p1V1n = p2V2n , где n – показатель политропы. Тогда

166

n

1

p1(2V1 )

n

 

 

 

 

 

 

p1V1 =

----

 

, откуда получаем n = 2. Поэтому данный поли-

4

 

тропный процесс описывается уравнением

 

 

 

 

 

 

 

 

 

pV 2 = const .

 

(13.7)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

Массу газа определим из уравнения состояния p1V1 =

---

RT1 :

μ

 

 

 

 

 

 

 

 

p1V1μ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m =

----------------

 

 

 

 

 

 

 

 

 

RT1 .

 

(13.8)

Конечную

температуру

газа

найдем из уравнения

состояния

 

m

 

 

 

 

p2V2μ

 

 

 

 

p2V2 =

---

RT2

: T2

=

----------------

. Подставляя сюда p2 = p1 / 4,

V2 = 2V1 и

μ

mR

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(13.8), получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T2 =

----

 

(13.9)

 

 

 

 

 

 

 

2 T1 .

 

Поскольку в соответствии с (10.14) молярная теплоемкость газа в политропном процессе связана с показателем политропы соотношением

c

 

= c

 

R

,

(13.10)

m

mV

– ------------

 

 

n – 1

 

 

а удельная теплоемкость газа связана с молярной теплоемкостью

газа выражением c

 

= c

 

/ μ, то c

 

= c

 

R

. Учтем, что

уд

m

уд

уд V

– ---------------------

 

 

 

 

μ(n – 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i R

 

 

 

 

 

 

c

---- ---

 

 

 

 

 

 

уд V = 2 μ , число степеней свободы молекулы кислорода i = 5 и в

данном процессе n = 2. Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

5 R

R

3

R

 

 

 

cуд =

---- ---

---

----

---

 

(13.11)

 

2 μ

– μ

= 2

μ .

 

 

Изменение внутренней энергии

газа

определим из

формулы

 

 

 

 

 

 

1

 

(10.5). В нашем случае i = 5,

T = T2 – T1 = –

----

 

2 T1 , а масса газа т

определена соотношением (13.8). Окончательно получаем:

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

U = –

----

 

 

 

(13.12)

 

4 p1V1 .

 

 

Количество теплоты, получаемое (отдаваемое) газом определяется выражением Q = cуд m T. Подставим сюда (13.8) и (13.11), получим:

 

3

R

p

1V1μ

 

 

1

 

 

3

 

 

 

---- ---

----------------

 

----

 

----

 

 

Q =

2

μ

 

RT1

 

–

2

T1

= –

4

p1V1 .

(13.13)

Знак « – » в выражении (13.13) показывает, что в данном политропном процессе количество теплоты отводится от газа.

167

Пример 13.4. Определите КПД цикла, представленного на рис. 13.1, если он совершается одним молем идеального одноатомного газа. Процесс 1-2 описывается линейной зависимостью p(V ), процесс 2-1 — адиабатный. Известны объемы газа в начальном и конечном состояниях V1 и V2 , а также температура газа в начальном

состоянии T1.

Если предположить, что в процессе 1-2 к газу подводится количество теплоты Q12 , то, в соответствии с выражением (11.3), КПД

заданного цикла

η = 1 –

 

Q21

 

 

 

------------

 

= 1 ,

 

Q12

поскольку в адиабатном процессе Q21 = 0. Этот вывод противоречит

второму началу термодинамики, согласно которому КПД любого цикла всегда меньше единицы. Следовательно, предположение о том, что на протяжении всего процесса 1-2 к газу подводится некоторое количество теплоты, неверно. На участке 1-0 количество теплоты Q10 подводится к газу, а на участке 0-2 некоторое количество

теплоты Q02 должно отводиться от газа (рис. 13.1). В этом случае

противоречие со вторым началом термодинамики пропадает, и КПД цикла может быть рассчитан по известным соотношениям (11.2) или (11.3).

Определим объем V0. Для этого рассмотрим элементарный процесс на участке 1-2 вблизи точки 0. Запишем уравнение первого начала термодинамики для 1 моля: δQ = cmV dT + p dV , где cmV —

p

 

 

 

 

p1

1

Q1

Подвод тепла

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q2

 

p0

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отвод тепла

p2

 

 

2

 

 

 

 

 

0

V1

V0

V2

V

 

 

Рис. 13. 1

 

168

молярная теплоемкость газа в изохорном процессе. Так как δQ = 0 в окрестности точки 0 с объемом V0, то

(cmV dT + p dV)

 

= 0 .

(13.14)

 

 

 

V0

 

 

 

 

Уравнение процесса 1-2 имеет вид p = a + bV, где a и b — постоянные коэффициенты. Учитывая уравнение состояния pV = RT, получаем (a + bV )V = RT, откуда T = (a + bV )V / R. Из последнего выражения

определим dT =

1

 

 

 

 

 

---- (a dV + 2bV dV) . Подставим последнее соотно-

 

R

 

 

 

 

 

шение в (13.14):

 

 

 

 

 

 

 

cmV

(a + 2bV0 ) +

(a + bV0 ) = 0 .

 

 

---------

 

 

R

 

После преобразований получаем

 

 

 

 

V

 

a

γ

(13.15)

 

 

0

= – ---- ------------ ,

 

 

 

b

γ + 1

 

где γ — показатель Пуассона [см. (10.16)]. Коэффициенты a и b определим из системы уравнений

p1

= a + bV1;

 

 

 

 

p2

= a + bV2,

 

 

 

 

решив которую получим:

 

 

 

 

 

 

p1V2 – p2V1

 

p1

– p2

 

 

a = --------------------------------V2 – V1

; b =

-------------------

,

(13.16)

V1

– V2

где p1 = RT1 ⁄ V1 , p2 = RT2 ⁄ V2 . Конечную температуру T2 определим, использовав уравнение Пуассона:

T2 = T1(V1 ⁄ V2 )γ – 1 .

Таким образом, значение объема V0 полностью определено. Другие параметры газа в состоянии «0» легко определяются:

 

p0 = a + bV0 ,

 

 

(13.17)

 

p0V0

 

a + bV

0

 

 

T0 =

------------

=

-------------------

V0 .

(13.18)

R

R

 

Коэффициент полезного действия цикла находим по соотношению (11.2).

169

Работа газа за цикл равна сумме работ в процессах 1-2 и 2-1: Aц = = A12 + A21. Для процесса 1-2:

V2

 

 

 

b

2

2

 

 

 

 

A12 = ∫ (a + bV) dV = a(V2

– V1 ) +

----

(V2 – V1 ) .

2

V1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для адиабатного процесса 2-1:

 

 

 

 

A21 = – U21 = – cmV(T1 – T2 ) = cmV(T2 – T1 ) .

Таким образом

 

 

 

 

 

 

 

b

2

2

 

 

 

Aц = a(V2 – V1 ) +

----

(V2 –

V1 ) + cmV(T2 – T1 ) . (13.19)

2

Для определения количества теплоты, подводимого на участке 1-0, воспользуемся первым началом термодинамики:

Q10 = U10 + A10 ,

где A10 =

– T1).

V0

 

b

2 2

 

 

∫ (a + bV) dV = a(V0

– V1 ) +

----

(V0 – V1 ) ; U10 = cmV(T0 –

2

V1

 

 

 

 

 

Окончательно

 

 

 

 

 

 

b

2

2

Q10 = cmV (T0 – T1 ) + a(V0 – V1 ) +

----

(V0

– V1 ) . (13.20)

2

С учетом (13.19) и (13.20) получаем

 

 

 

 

 

 

 

b

2

2

 

 

 

Aц

a(V2 – V1 ) +

----

(V2

– V1 ) + cmV(T2 – T1 )

2

η = ---------

 

= --------------------------------------------------------------------------------------------------------------

b

 

 

 

 

.

Q

10

 

2

2

 

 

 

 

a(V0 – V1 ) +

----

(V0

– V1 ) + cmV (T0 – T1 )

 

 

2

Пример 13.5. Расстояние между стенками сосуда Дьюара L = 5 мм. Оцените давление воздуха между стенками, ниже которого средняя длина свободного пробега молекул газа при температуре t = 20 °C будет больше расстояния между стенками. Диаметр эффективного

сечения молекул воздуха принять равным 3æ10– 8 см.

Для решения задачи воспользуемся соотношением (12.4):

l

 

kT

 

kT

=

4------------2 ------------pπR2

= ---------

2 -----------pπd2 .

Из этой формулы следует, что при уменьшении давления средняя длина свободного пробега молекул возрастает и при некотором пре-

170

Смотрите также:

2019 ESC acute pulmonaryembolism
FE34kIHFh8
Арбитражный процесс_билеты
ГЛАВА19 учебник
Електронний довідник у С++
К вопросу о разграничении понятий функциональный стиль и орфоэпический стиль в свете современных социолингвистических учений
Конвенционализм и инструментализм в свете теории научно-исследовательских программ Имре Лакатоса
Лизинговые операции коммерческих банков
Линейные преобразования и их свойства
Методические указания к лабораторным работам по производству отливок из чугуна и стали для студентов направления Металлургия. Печенкина Л.С