Материал: Общая физика_под ред. Белокопытова_2016 -506с

дельном значении pп становится равной расстоянию между стенками сосуда Дьюара, т.е. l = L . Тогда предельное давление можно

kT

найти как pп = --------------------- . После подстановки числовых значений полу-

2 Lπd2

чаем: pп = 1,5æ10–2 мм рт. ст. Таким образом, начиная с давления около

10–2 мм рт. ст. и ниже, молекулы проскакивают между стенками сосуда и практически не взаимодействуют одна с другой.

Пример 13.6. Найдите отношение числа молекул водорода, скорости которых лежат в пределах от 1990 до 2000 м / с к числу молекул, скорости которых лежат в пределах от 990 до 1000 м / с, при температуре 400 К.

Для решения задачи используем максвелловское распределение молекул газа по скоростям (9.13), которое определяет, какое число dN молекул газа из общего числа его молекул N в единице объема имеет при данной температуре скорости, заключенные в интервале от v до v + dv:

В рассматриваемой задаче заданный интервал скоростей достаточно мал по сравнению с абсолютным значением скоростей молекул, поэтому без большой погрешности можно перейти к конечным разностям:

где v1 и v2 — среднеарифметические значения скоростей в соответствующих интервалах. Тогда

171

Для получения окончательного ответа необходимо найти массу молекулы водорода m0. Вспомним, что масса одного моля молекул

(молярная масса) складывается из одинаковых масс NA молекул:

μ = NAm0 , где NA — число Авогадро. Тогда m0 = μ ⁄ NA . Учитывая,

Подстановка численных значений дает N1 ⁄ N2 = 1,6 .

172

Г л а в а 14

РЕАЛЬНЫЕ ГАЗЫ

Свойства не сильно разреженных газов отличаются от свойств идеальных газов, подчиняющихся уравнению Клапейрона — Менделеева (8.9). Например, из этого уравнения следует, что отношение

pV

---------- , называемое фактором сжимаемости, для идеальных газов

νRT

всегда равно единице. Однако опыты показывают, что факторы сжимаемости для всех газов зависят от давления и температуры. При достаточно высоких давлениях все реальные газы независимо от их температуры менее сжимаемы, чем идеальные.

Экспериментальные исследования удельной теплоемкости, вязкости и других свойств газов показали, что эти свойства тоже значительно отличаются от соответствующих свойств идеальных газов. Более того, приближенная теория идеальных газов часто не в состоянии объяснить даже качественно характер зависимости свойств газов от их параметров состояния. Например, реальные газы могут быть переведены в жидкое и твердое состояния. Уравнение Клапейрона— Менделеева не описывает подобные процессы.

Отступления от законов идеальных газов связаны с тем, что между молекулами газа действуют силы, которые в теории идеальных газов не принимаются во внимание. Поведение молекул реальных газов отлично от того, какое приписывается частицам идеальных газов. Во всех реальных телах (твердых, жидких и газообразных) молекулы взаимодействуют одна с другой. Силы взаимодействия между молекулами в сильной степени зависят от расстояния между ними. Эти силы имеют электромагнитную, а также особую квантовую природу.

14.1. Молекулярные силы

Своеобразные свойства поверхностного слоя жидкостей, а также способность твердых тел сопротивляться растяжению свидетельствуют о том, что между молекулами вещества действуют силы взаимного притяжения. Малая сжимаемость сильно уплотненных газов, а также способность твердых тел и жидкостей сопротивляться сжатию указывают на то, что между молекулами действуют и силы взаимного отталкивания. Важно, что силы притяжения и отталкивания

173

молекул действуют одновременно. Иначе молекулы, образующие тела, или разлетались бы в разные стороны, или «слипались».

Кроме того, зависимость сил взаимного притяжения и отталкивания молекул от расстояния между ними должна быть различной: на очень близких расстояниях преобладают силы отталкивания, а на более далеких — силы притяжения. На рис. 14.1 показан примерный характер зависимостей Fпр(r) и Fот (r). Так обозначены проекции сил

проведенного в точку нахождения рассматриваемой молекулы из точки, где находится другая молекула, действующая на первую. Здесь же показана зависимость F(r), где F(r) = Fпр(r) + Fот (r).

º º

При r = r0 силы Fпр и Fот взаимно уравновешиваются и резуль-

º

тирующая сила F = 0. Если r > r0, то преобладают силы взаимного притяжения, а если r < r0, то преобладают силы отталкивания. Таким образом, r0 — это такое расстояние между двумя молекулами, на котором они находились бы при отсутствии теплового движения, нарушающего это равновесие.

Найдем выражение потенциальной энергии взаимодействия двух молекул Uп . При увеличении расстояния между молекулами на d r

174

= – dUп . Тогда dUп = Fdr . Интегрируя это выражение по r от r до ×,

×

получаем Uп(r) – Uп(×) = ∫ F dr .

r

На бесконечно большом расстоянии одной от другой молекулы не взаимодействуют. Поэтому удобно принять Uп(×) = 0. Окончательно,

r

Из рис. 14.1 видно, что при r > r0 взаимная потенциальная энергия отрицательна, так как F < 0. При r = r0, как видно из (14.1),

т.е. функция Uп ( r ) достигает минимума. При сближении молекул до расстояния r0 их взаимная потенциальная энергия уменьшается,

а кинетическая увеличивается. Происходит это за счет положительной работы сил взаимного притяжения молекул (F < 0 при r > r0,

рис. 14.1). При дальнейшем сближении молекул сила взаимного отталкивания молекул совершает отрицательную работу (F > 0 при r < r0, рис. 14.1). Поэтому потенциальная энергия начинает расти.

Характер зависимости Uп ( r ) показан на рис. 14.2.

Зависимость потенциальной энергии двух молекул реального газа от расстояния между ними может быть описана формулой Ленарда — Джонса:

где a1 и a2 — положительные постоянные коэффициенты, зависящие от вида газа.

Дифференцируя (14.2) по r, находим зависимость проекции результирующей силы взаимодействия двух молекул реального газа:

Первое слагаемое в (14.3) соответствует силам молекулярного притяжения, которые часто называют ван-дер-ваальсовыми силами по имени нидерландского физика Я.Д. Ван-дер-Ваальса, который впервые начал учитывать межмолекулярное взаимодействие в газах. Второе слагаемое в (14.3) соответствует силам взаимного отталкивания молекул. Эти силы играют определяющую роль на малых рассто-

175