Материал: Общая физика_под ред. Белокопытова_2016 -506с

тему координат и получить особую (абсолютную) систему отсчета, в которой, по предположению, справедливы уравнения Максвелла для электромагнитных волн. Однако оказалось, что принцип относительности Галилея несовместим с уравнениями Максвелла (эти уравнения не были инвариантными относительно преобразований Галилея). Кроме того, в 1880 г. американские физики Майкельсон и Морли поставили эксперимент, который опровергал гипотезу неподвижного эфира и доказал, что эфир не может быть принят в качестве абсолютной системы отсчета. Они экспериментально доказали, что скорость света не зависит от скорости источника или приемника излучения. Это также противоречило преобразованиям Галилея.

Указанные противоречия удалось разрешить великому немецкому физику Альберту Эйнштейну (1879—1955). Больше всего его беспокоила несовместимость уравнений Максвелла с классической физикой. Эйнштейн видоизменил определения массы, энергии, импульса, свойства пространства и времени. При построении своей теории он исходил из двух постулатов.

1.Принцип относительности Эйнштейна: все физические законы одинаковы во всех ИСО, а поэтому они должны быть сформулированы в виде, инвариантном относительно преобразований координат, отражающих переход от одной ИСО к другой.

2.Принцип постоянства скорости света: существует предельная скорость распространения взаимодействий, которая во всех ИСО одинакова и равна скорости электромагнитной волны в вакууме и не зависит ни от направления ее распространения, ни от движения источника и приемника.

Ясно, что второй постулат не согласуется с преобразованиями

Галилея. Пусть система (X ′, Y ′, Z′) движется со скоростью º отно- v

сительно системы (X , Y , Z) вдоль оси ОY (рис. 7.1). Пусть источник света М, находящийся в системе (X ′, Y ′, Z′ ) посылает световой сиг-

Z

Z'

M c

O'

Y'

v

O

Y

X'

X

Рис. 7. 1

91

согласно преобразованиям Галилея, скорость света относительно

º º

системы (X , Y , Z) должна быть равна v + c , что согласуется со «здравым смыслом». Заслуга Эйнштейна как раз и состоит в том, что он первый пришел к выводу об изменяемости свойств пространства и времени и о зависимости этих свойств от движения тел, с которыми связываются ИСО. Таким образом, мы вынуждены отказаться от преобразований Галилея и использовать другие преобразования, относительно которых скорость света оставалась бы инвариантной величиной.

7.3. Преобразования Лоренца

Получим новые преобразования координат, исходя из следующих предположений. Поскольку любая новая теория, которая имеет более широкую область применения, чем старая теория, должна включать последнюю как предельный случай (принцип соответствия), то получаемые преобразования должны отличаться от галилеевских на некоторый коэффициент. Кроме того, учтем возможное изменение

свойств времени в разных ИСО, т.е. t′ ≠ t . Поскольку прямые и обратные преобразования Галилея имели вид

x = x′ + vt ; x′ = x – vt ,

то будем искать новые прямые и обратные преобразования в виде x = γ(x′ + vt′) ; x′ = γ(x – vt) .

Коэффициент γ в этих уравнениях одинаков в силу равноправия и эквивалентности прямых и обратных преобразований (ИСО равноправны). Дополним последние выражения уравнениями движения света в двух ИСО, учтя постоянство скорости света: x = ct; x′ = ct′ . Мы получили систему четырех уравнений. Решая ее, можно найти

Эти выражения были впервые получены в 1892 г. голландским физиком Х.А. Лоренцем (1853—1928). Уравнения Максвелла инвариантны относительно данных преобразований, но впервые физическую интерпретацию математических результатов Лоренца дал Эйнштейн.

92

7.4.Следствия преобразований Лоренца

1.Относительность одновременности событий

Пусть в системе (X , Y , Z) в точках с координатами x1 и x2 одновременно (t1 = t2) произошли два события (допустим, зажглись две лампочки). Зажгутся ли они одновременно в системе (X ′, Y ′, Z′)? Для ответа на вопрос найдем разность t2′ – t1′ :

Таким образом, два события, одновременные в одной ИСО, могут быть не одновременными в другой ИСО. В связи с этим возникает вопрос: не может ли случиться так, что в одной из ИСО следствие предшествует причине ? Можно доказать, что при условии, что никакое материальное воздействие не может передаваться со скоростью большей, чем скорость света в вакууме, следствие никогда не может предшествовать причине.

2. Длительность события в разных ИСО

Пусть в системе (X ′, Y ′, Z′) в точке с координатой x′ произошло событие длительностью t′ = t2′ – t1′ , где t1′ и t2′ — начало и конец

события по часам, покоящимся в системе (X ′, Y ′, Z′). Наблюдатель в системе (X , Y , Z) по своим часам отметит начало и конец этого события в моменты времени t1 и t2 , которые равны:

Длительность события в системе (X , Y , Z) составит

Время, которое измеряется по часам, связанным с движущимся телом, называется собственным временем. В нашем случае это интервал t′ . Поскольку γ > 1, то t > t′ , т.е. в движущейся ИСО время идет медленнее.

Эффект замедления времени в движущейся системе отсчета хорошо согласуется с опытными наблюдениями над элементарными частицами (π-мезонами), которые движутся в космических лучах со скоростями, близкими к скорости света.

93

3. Длина отрезка в разных ИСО

Рассмотрим стержень, расположенный вдоль оси OX ′ системы (X ′, Y ′, Z′) и неподвижный относительно этой системы координат.

Собственной длиной стержня называется величина l0 = x2′ – x1′ ,

т.е. длина, измеренная в системе отсчета, относительно которой стержень покоится. Длина его в системе (X , Y , Z) будет l = x2 – x1,

причем измерения координат x1 и x2 проводятся в один и тот же

момент времени по часам системы (X , Y , Z). Поскольку эти два события — измерения координат x1 и x2, одновременные в системе

(X , Y , Z), — будут неодновременными в системе (X ′, Y ′, Z′), то удобнее воспользоваться обратными преобразованиями Лоренца (второе уравнение в выражении (7.7)). Тогда

Поэтому длина стержня в системе отсчета, относительно которой он движется, составит

l = l01 – (v ⁄ c)2 .

Наблюдатель в системе ( X , Y , Z) находит, что длина движущегося стержня в 1 – (v ⁄ c)2 раз меньше его собственной длины.

4. Закон сложения скоростей

Пусть материальная точка движется в системе ( X ′, Y ′, Z ′). Поскольку ее координата вдоль оси OX ′ в данной системе определяется соотношением

где и — скорость точки относительно системы (X , Y , Z).

94

Из последнего выражения (7.7) определим

Подставив (7.10) и (7.11) в (7.9), получим:

Напомним, что в классической физике выражениям (7.12) и (7.13) соответствовали u′ = u – v и u = u′ + v (см. (1.18)).

Применим релятивистский закон сложения скоростей к движению света в разных ИСО. Пусть свет распространяется в системе ( X , Y , Z): u = c. Тогда

Таким образом, в любой инерциальной системе отсчета скорость света постоянна и равна с, что и требуется вторым постулатом Эйнштейна.

Пусть в системе ( X ′, Y ′, Z ′) материальная точка движется со скоростью u′ < c, а сама система движется относительно ( X , Y , Z) со скоростью v < c. Если, например, u′ = 0,9c и v = 0,9c, то классический закон сложения скоростей даст нам, что скорость точки относительно системы ( X , Y , Z) составит u = u′ + v = 1,8c. Теория относительности дает другой результат:

откуда следует, что u < c, т.е. в любой ИСО скорость тела не может превысить с.

5. Пространственно-временной интервал

Поскольку пространство и время в СТО являются взаимосвязанными, то время выступает в преобразованиях Лоренца как равноправная четвертая координата. Можно представить существование четырехмерного пространства-времени, в котором оси X , Y , Z, ct взаимно перпендикулярны. Заметим, что координата по оси времени берется с множителем с, чтобы все координаты имели одинаковую размерность. Геометрическому расстоянию между двумя точками в

95