Материал: Общая физика_под ред. Белокопытова_2016 -506с

6.4. Механическая энергия гармонических колебаний

Рассмотрим механические колебания пружинного маятника, совершающего свободные гармонические колебания, описываемые уравнением x(t) = A cos (ωt ). Полная механическая энергия такого маятника в произвольный момент времени является суммой потенциальной энергии упругой деформации пружины Wп и кинетической

энергии груза Wк .

Выразим кинетическую энергию груза на пружине:

Найдем потенциальную энергию упругодеформированной пружины:

Графики зависимостей потенциальной и кинетической энергии гармонических колебаний от времени показаны на рис. 6.6. Следует

отметить, что частота колебаний энергии ω* = 2ω , а ее максимальное значение пропорционально квадрату амплитуды смещения материальной точки.

x

Tt

Wк

Tt

Wп

Tt

Рис. 6. 6

81

Wп

B

W

Wк

Wп

Рис. 6. 7

Полная механическая энергия при свободных колебаниях не изменяется:

W = Wк + Wп = mω2A2 ⁄ 2 = kA2 ⁄ 2 = const , поскольку в системе отсутствуют диссипативные силы.

Рассмотрим движение шарика в гладком параболическом желобе. На рис. 6.7 показано соотношение между потенциальной и кинетической энергиями в зависимости от положения шарика в «потенциальной яме». Если смещение шарика от положения устойчивого равновесия x = 0, то его кинетическая энергия достигает максимума, а потенциальная обращается в нуль. Когда смещение шарика x = ± A (точки поворота), кинетическая энергия обращается в нуль, потенциальная же энергия достигает максимума. При движении смещение шарика может принимать значения x ≤ A . С позиций закона сохранения энергии шарик не может оказаться за пределами этой области, например в точке В. В этом случае его кинетическая энергия приняла бы значение Wк = W – Wп < 0, что невозможно.

6.5. Затухающие колебания

mx = mg – k( l + x) – μx .

82

Тогда дифференциальное уравнение затухающих колебаний выглядит следующим образом:

где μ / m = 2β (β — коэффициент затухания); k / m = ω20 (ω0 —

собственная частота свободных гармонических колебаний).

Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний линейной системы имеет вид

Если затухание невелико (β < ω0 ), решением этого однородного линейного дифференциального уравнения является функция

x(t) = A0e– βt sin (ωt + ϕ0 ) ,

т.е. затухающие колебания не являются периодическими, однако величина x(t) обращается в нуль, а также достигает максимальных и минимальных значений через равные промежутки времени

где T — период затухающих колебаний; ω = ω20 – β2 — частота затухающих колебаний.

Величина x(t) = A0e– βt называется амплитудой затухающих колебаний; A0 — начальная амплитуда. Амплитуда затухающих

колебаний уменьшается с течением времени тем быстрее, чем больше коэффициент затухания β.

Если сравнить амплитуды колебаний системы в моменты времени t и t + τ, то можно получить, что

Если за промежуток времени τ амплитуда колебаний уменьшается в е раз, то β = 1/τ, т.е. коэффициент затухания — величина, обратная промежутку времени τ, в течение которого амплитуда затухающих колебаний уменьшается в e раз.

83

зом, логарифмический декремент — безразмерная величина, обратная числу колебаний N, в течение которых амплитуда уменьшается в e раз.

Из выражения (6.10) следует, что при ω20 ≤ β2 колебания в сис-

теме не возникают. В этом случае наблюдается апериодический процесс (рис. 6.8), в результате которого вся запасенная в системе механическая энергия расходуется на работу против сил сопротивления. Каким из двух способов, показанных на рис. 6.8, система вернется в положение равновесия, зависит от начальных условий.

6.6. Вынужденные колебания. Резонанс

Вынуждающей силой называется переменная внешняя сила, приложенная к системе и вызывающая ее вынужденные механические колебания. Пусть вынуждающая сила изменяется по гармоническому закону F = F0 cos (ωt). Тогда дифференциальное уравнение вынуж-

денных колебаний запишем следующим образом:

Общее решение этого уравнения имеет вид

x(t) = A0e– βtcos (ω′t + α) + A cos (ωt – ϕ0 ) ,

где ω′ = ω20 – β20 . В этом выражении первое слагаемое играет роль

только на начальной стадии установления процесса колебаний. В дальнейшем этой составляющей решения можно пренебречь. Второе слагаемое описывает установившиеся вынужденные колебания (рис. 6.9).

84

Подставим x(t) = A cos (ωt – ϕ0) в уравнение (6.11). Для этого найдем

левую часть последнего уравнения в виде суммы трех векторов (рис. 6.10), модули которых указаны на рисунке. Результат сложения этих трех векторов — вектор, модуль которого равен f0. Из рис. 6.10

следует, что (при ω0 > ω)

По теореме Пифагора найдем амплитуду вынужденных колебаний:

Из (6.12) следует, что при ω = 0 в системе происходит статическое смещение из положения равновесия под действием постоянной силы

F0 на величину f0/ω20 (рис. 6.11).

При неограниченном возрастании частоты внешнего воздействия (ω → ×)?амплитуда колебаний стремится к нулю, tg ϕ0 → 0 и ϕ0 → – π.

Дифференцируя выражение (6.12) по переменной ω и приравнивая полученную производную нулю, определяем такую частоту внешнего воздействия ω = ωp , при которой амплитуда колебаний

85