Материал: Общая физика_под ред. Белокопытова_2016 -506с

где A — амплитуда колебаний (максимальное значение колеблющейся величины A = smax > 0).

Значение s в произвольный момент времени определяется значением фазы колебаний ϕ(t) = ωt + ϕ0 ; ϕ0 — начальная фаза, т.е. значение ϕ(t) в момент времени t = 0.

Из (6.1) видно, что первая и вторая производные s (t) по времени также совершают гармонические колебания той же частоты:

Aω2. Видно, что ds ⁄ d t опережает s по времени на T / 4, а по фазе на

π / 2; d 2s ⁄ d t 2 опережает s(t) по времени на T / 2, а по фазе на π . Графики s(t) и ds ⁄ d t при ϕ0 = 0 приведены на рис. 6.1. Из (6.2) следует,

что гармонически колеблющаяся величина s удовлетворяет дифференциальному уравнению

которое называется дифференциальным уравнением гармонических колебаний.

s

t

ds

dt

Tt

Рис. 6. 1

76

6.2. Векторные диаграммы

Гармонические колебания параметра s(t), которые описываются уравнением s(t) = A cos (ωt + ϕ0 ) , можно изобразить графически с помощью вращающегося на плоскости вектора (рис. 6.2). Для этого

º

из начала координат на плоскости проводят вектор A , модуль кото-

º

рого равен амплитуде колебаний. Вектор A составляет с осью ОХ угол ϕ = ωt + ϕ0, равный фазе колебаний в данный момент времени t.

С течением времени угол увеличивается так, что вектор вращается вокруг центра координат с угловой скоростью, равной циклической частоте гармонических колебаний. Проекция вектора на ось ОХ совершает гармонические колебания по закону s(t) = A cos (ωt + ϕ0 ) . Гра-

фическое изображение гармонических колебаний с помощью вращающегося вектора амплитуды называется методом векторных диаграмм. Им широко пользуются, например, при сложении одинаково направленных гармонических колебаний.

Рассмотрим сложение двух колебаний, одно из которых совершается по закону s1(t) = A1 cos (ωt + ϕ01 ) , а другое по закону s2 = = A2 cos (ωt + ϕ02 ) . В результате сложения этих колебаний получа-

ется тоже гармоническое колебание вида s(t) = A cos (ωt + ϕ0 ) . Это

нетрудно доказать с помощью метода векторных диаграмм (рис. 6.3). Если каждому из данных колебаний поставить в соответствие вращающийся вектор, то результирующее колебание определится вращением суммы векторов. Из рис. 6.3 видно, что амплитуда результирующего колебания находится по теореме косинусов следующим образом:

Рис. 6. 3

77

Начальную фазу результирующего колебания можно определить из соотношения

Сумма двух векторов, вращающихся с одинаковыми угловыми скоростями, будет вращаться с той же угловой скоростью. Таким образом, мы доказали, что в результате сложения двух гармонических колебаний одинаковой частоты, происходящих в одном направлении, получается гармоническое колебание той же частоты, причем его амплитуда удовлетворяет условию A1 – A2 ≤ A ≤ A1 + A2 .

6.3. Динамика гармонических колебаний

Получим дифференциальное уравнение гармонических колебаний из уравнений, описывающих колебательный процесс. Рассмотрим колебания пружинного маятника — груза массой т, подвешенного на идеальной невесомой пружине жесткостью k (рис. 6.4). На

º

той пружины Fупр . В положении равновесия модули этих сил одинаковы: mg = Fупр . Если обозначить через l статическое растяже-

ние пружины от недеформированного состояния, то, согласно закону Гука, в положении равновесия Fупр = k l = mg. При выведении груза

из положения равновесия модуль силы упругости изменяется с учетом деформации пружины. Растянем пружину вниз на длину х, тогда Fупр = k ( l + x ). Если пренебречь действием сопротивления воз-

духа, то при отпускании груза он начнет совершать гармонические колебания. Докажем это. Уравнение второго закона Ньютона для

груза можно записать следующим образом:

ma = mg – Fупр = mg – k ( l + x ) = = mg – k l – kx = – kx.

Рис. 6. 4 нение (6.5) совпадает с дифференциальным уравне-

78

нием (6.3), т.е. является уравнением собственных колебаний пружинного маятника. Частота собственных колебаний

При отсутствии трения пружинный маятник колеблется по гармоническому закону с периодом T = 2π m ⁄ k .

Рассмотрим физический маятник — твердое тело, которое совершает колебания под действием силы тяжести вокруг неподвижной оси, не проходящей через центр тяжести тела и называемой осью качания маятника (рис. 6.5). Центр тяжести маятника совпадает с его центром масс С. Точка О пересечения оси качания маятника с вертикальной плоскостью, проходящей через центр тяжести маятника, называется точкой подвеса маятника. Если пренебречь силами трения в подвесе маятника и силой трения о воздух, то момент относительно оси качания создает только сила тяжести

mº . При отклонении маятника на угол α от положения равновесия g

момент силы численно равен mg l sin α, где l — расстояние между центром масс и точкой подвеса. Этот момент возвращает маятник в положение равновесия, поэтому его направление противоположно угловому перемещению. Тогда основное уравнение динамики вращательного движения (4.16) для физического маятника имеет вид:

где Iz — момент инерции маятника относительно оси качания.

Z

αlпр

l

C

O1

mg

Рис. 6. 5

79

Рассматривая малые колебания тела, при которых sin α ≈ α, получаем уравнение

т.е. угол α удовлетворяет дифференциальному уравнению гармонических колебаний (6.3). Следовательно, при отсутствии трения малые колебания физического маятника являются гармоническими, причем в уравнении колебаний в качестве параметра колебаний выступает угол отклонения маятника от положения равновесия.

Частота собственных колебаний физического маятника

период колебаний T = 2π Iz ⁄ (mgl) .

«Материальная точка», подвешенная на невесомой нерастяжимой нити, совершающая колебания в вертикальной плоскости под действием силы тяжести, называется математическим маятником. Математический маятник — частный случай физического маятника, вся масса которого сосредоточена в его центре масс, так что

Iz = ml 2, поэтому для математического маятника

Если сопоставить (6.8) и (6.9), то видно, что математический маятник с длиной нити подвеса lпр = Iz ⁄ (ml) имеет тот же период

колебаний, что и физический маятник массой т, моментом инерции Iz и расстоянием между точкой подвеса и центром масс l. Длина

математического маятника, имеющего тот же период колебаний, что и данный физический маятник, называется приведенной длиной физического маятника. Точка О1, лежащая на прямой ОС на

расстоянии lпр от точки подвеса маятника (рис. 6.5), называется

центром качаний маятника. Центр качаний и точка подвеса обладают свойством взаимности: если маятник подвесить так, чтобы его ось качаний проходила через точку О1, то точка О будет совпадать с

новым центром качаний маятника, т.е. приведенная длина и период колебаний маятника останутся прежними.

80