Материал: Общая физика_под ред. Белокопытова_2016 -506с

проходящей через центр масс, и произведения массы тела на квадрат расстояния между этими осями. Знание моментов инерции тела относительно осей, проходящих через центр масс тела, позволяет найти момент инерции тела и описать вращение тела относительно любой произвольной оси.

4.6. Теорема Кёнига

Определим, как изменяется кинетическая энергия тела при переходе из одной системы координат в другую. Поскольку ранее уже были показаны особые свойства центра масс, то свяжем одну из систем отсчета с центром масс С (рис. 4.10) и рассмотрим кинетическую энергию материальной точки массой dm в системе отсчета (X,Y,Z).

ºr — радиус-вектор точки. Положение центра масс в этой системе

определяется радиусом-вектором ºrC , а положение точки относи-

тельно центра масс — радиусом-вектором ºr1 . Поскольку ºr =

º

теме (X,Y,Z), а v1 — скорость материальной точки относительно

центра масс. Тогда кинетическая энергия точки в системе (X,Y,Z) вычислится следующим образом:

61

Определим кинетическую энергию тела массой М, состоящего из совокупности материальных точек:

Вспомним, что, согласно § 2.5, в произвольной системе координат скорость центра масс равна

Тогда

º

где vC1 — скорость центра масс относительно центра масс, очевидно равная нулю. Поэтому

Кинетическая энергия системы материальных точек есть сумма кинетической энергии ее движения относительно центра масс и кинетической энергии, которой обладала бы она, двигаясь поступательно со скоростью центра масс. Это утверждение получило название теоремы Ф. Кёнига (1774 — 1833).

4.7. Кинетическая энергия вращающегося тела

Рассмотрим вращение тела вокруг оси, проходящей через центр масс, и определим кинетическую энергию тела. Воспользуемся доказанной теоремой Кёнига. Поскольку центр масс при таком движении тела не совершает поступательного движения, то Wк ц.м = 0. Поэтому

Wк = Wк отн — кинетическая энергия вращения относительно центра масс. Вычислим ее согласно (4.19):

62

º

где v1 — линейная скорость материальной точки dm при ее вращении вокруг центра масс. Если вращение совершается по окружности

M

Используя свойство смешанного произведения векторов, получаем

M

Поскольку при вращении тела угловые скорости всех его материальных точек одинаковы, то

M

Так как Lz = Iz ωz , то

Таким образом, кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг оси, проходящей через центр масс, равна половине произведения момента инерции тела относительно этой оси на квадрат угловой скорости вращения вокруг этой оси.

Попробуем получить этот результат иначе, исходя из теоремы об изменении кинетической энергии. Разобьем тело на элементарные

º

массы, каждая из которых при вращении имеет скорость v i и

º

совершает за время dt перемещение d l i . Тогда элементарная работа равнодействующей силы по перемещению i-й точки будет dA =

определяется векторной суммой внешних и всех внутренних сил, действующих на i-ю точку, то

63

что следует из свойства смешанного произведения векторов.

Просуммируем последнее выражение по всем точкам тела. Вычислим сумму всех первых слагаемых (4.21):

поскольку суммарный момент внутренних сил системы материальных точек равен нулю (см. § 4.2). Тогда

где dºϕ — угловое перемещение тела за время dt.

Работа по вращению тела вокруг оси Z:

Проинтегрировав полученное выражение, найдем полную работу

По теореме об изменении кинетической энергии (3.6) A = Wк = = Wк 2 – Wк 1, поэтому

64

4.8. Плоское движение твердого тела (качение)

Рассмотрим кинематику и динамику частного случая плоского движения, а именно качения. Плоским называется такое движение твердого тела, при котором все его точки перемещаются в параллельных плоскостях. Примером плоского движения является качение симметричного тела (цилиндра, шара, диска) по плоскости (рис. 4.11). Пусть качение происходит без проскальзывания. В этом случае скорость точек катящегося тела, соприкасающихся с плоско-

º

стью, равна нулю ( v A = 0 ). Как уже говорилось (см. § 1.6), любое

движение твердого тела можно представить как совокупность двух движений: поступательного и вращательного. Например, качение цилиндра (рис. 4.12, а) можно представить как сумму поступательного движения его со скоростью, равной скорости центра масс С (рис. 4.12, б), и одновременного вращения относительно оси, перпендикулярной плоскости рисунка и проходящей через центр масс (рис. 4.12, в).

Скорость любой точки катящегося цилиндра можно представить

ния, которая одинакова для любой точки и равна скорости центра

правлены, то модули этих векторов одинаковы: vп = vв . В точке D

Найдем кинетическую энергию катящегося цилиндра. Для этого разобьем цилиндр на множество элементарных масс и найдем кине-

Рис. 4. 12

65