Материал: Обработка результатов измерений

Студент допускается к выполнению лабораторной работы только при наличии у него домашней подготовки, содержащей краткий теоретический анализ экспериментальной задачи, описание лабораторной установки и подготовленные таблицы для записи результатов измерений. Для подготовки такой таблицы студент должен определить количество измеряемых величин и необходимое число измерений. Так, в первой лабораторной работе в случае цилиндрического измеряемого тела количество измеряемых величин равно трем: масса, высота и диаметр цилиндра, а в случае параллелепипеда количество измеряемых величин равно четырем: масса, длина, ширина и высота параллелепипеда. Для каждой величины проводится 5 измерений. Для оформления результатов требуется для каждой величины 3 вертикальных колонки.

Таким образом, для цилиндрического тела таблица должна иметь десять колонок в соответствии с примером таблицы (см. таблицу 3).

Записи результатов измерений цилиндрического тела

Таблица 3

В случае, если тело имеет форму параллелепипеда, нужно добавить еще три колонки для третьего линейного размера.

При непосредственном выполнении лабораторной работы студент заполняет последовательно колонки для m, H и D. Внизу таблицы студент указывает приборные погрешности dm, dH и dD, определенные, как указано далее.

2.2 Определение приборных погрешностей

При определении приборных погрешностей необходимо учитывать следующее:

. Для прецизионных, очень точных приборов имеется паспорт на прибор, в котором указана погрешность прибора в любом диапазоне измеряемой величины.

2.      Для промышленно выпускаемых механических измерительных приборов непрецизионного класса (штангенциркули, микрометры, металлические линейки, механические и электрические секундомеры) погрешность прибора равна половине цены наименьшего деления прибора. Так, для микрометра с ценой деления 0,01 мм погрешность прибора равна 0,005 мм, для аналитических весов типа А-200 минимальное деление - миллиметровое деление на высвечиваемой шкале, соответствует 0,1 мг, и приборная погрешность равна 0,05 мг = 5^.10^-5 г.

.        Для устройств неизмерительного назначения, но снабженных для удобства какой-либо шкалой (треугольники, рейсшины), погрешность составляет не менее цены деления. То же правило следует применять ко всем самодельным, не промышленно изготовленным шкалам приборов.

4.      Для электроизмерительных приборов (вольтметры, амперметры, ваттметры) погрешность определяется классом их точности. Класс точности указан на шкале прибора, обычно в нижнем правом углу. В физическом практикуме МГУИЭ использованы приборы с классом точности 4,0; 2,5; 2,0; 1,5; 1,0; 0,5; 0,2. Класс точности указывает, какой процент от максимального значения шкалы прибора составляет погрешность прибора. Так, для микроамперметра класса точности 1,5 с максимальным значением измеряемого тока 300 мкА погрешность составляет:  Относительная погрешность при использовании такого прибора определяется делением абсолютной погрешности 4,5 мкА на измеряемую величину тока.

.        При использовании для измерения метода сравнения необходимо учитывать погрешность изготовления «эталона», используемого в данной работе. Так, при использовании промышленных измерительных мостов для наиболее точного измерения методом сравнения погрешность указана на приборе. Для устройств типа «магазин сопротивлений» погрешность определяется их классом точности, который процент от устанавливаемого значения данной величины. Для нерегулируемых элементов (резисторы, конденсаторы) погрешность их изготовления указана на корпусе элемента в процентах от их номинала.

.        Во многих лабораторных работах в качестве одного из элементов измерительного прибора используется сам экспериментатор. Он вносит определенную физиологическую погрешность в измерения. Так, при определении интервала времени с ручным включением хронометра с погрешностью 0,01 с, физиологическая погрешность для человека с хорошей реакцией составит не менее 0,1 с, а с нормальной реакцией - 0,2 с. В лабораторной работе «Изучение реального соударения шаров» человек не способен зафиксировать вследствие быстроты явления максимальное отклонение шара точнее, чем 2^о. Во всех таких случаях физиологическая погрешность рассматривается как приборная.

2.3 Методика расчета погрешностей прямых измерений

Лабораторная работа считается выполненной после заполнения в таблице колонок для измеренных величин и обязательного утверждения этих результатов преподавателем. Рассмотрим теперь порядок оформления результатов на примере расчета высоты цилиндра в лабораторной работе «Определение плотности твёрдого тела». Сразу отметим, что заполнение остальных колонок таблицы и трудоемкость расчетов существенно зависят от того, какой методикой расчетов будет пользоваться студент. Первый вариант основан на использовании при расчетах среднеарифметического значения измеряемой величины, расчет ведется по наиболее коротким формулам, но требует длительных расчетов даже при применении микрокалькуляторов. Второй вариант более прост, все операции производятся с малыми числами и могут быть проделаны без применения микрокалькуляторов, но формулы несколько более сложные.

Оформление результатов измерения (расчеты по варианту 1)

Таблица 4

Не заполняя колонки 3 и 4, рассчитываем среднеарифметическое значение величины H:

где H_i - каждое из чисел в колонке 2; n - число измерений.

Для данных таблицы 4:

Затем находим отклонение каждого измерения от среднеарифметического значения с учетом знака:

Эти расчеты нужно занести в колонку 3 таблицы 4. Во избежание большого количества нулей с последующей трудностью их учета, не следует заносить в таблицу результаты в виде промежуточного значения (-0,006), а следует порядок (10^-3)вынести в верхнюю графу таблицы, а в самой таблице указывать только само число (-6). В нижней строке заносится сумма отклонений (при правильном выполнении расчета она должна быть равна нулю!). Затем находим  для каждого измерения и  и результаты заносим в колонку 4 таблицы 4. Затем находим квадрат среднеквадратичного отклонения

Квадрат погрешности измерений за счет случайного разброса равен (коэффициент Стьюдента выбран из таблицы 2 для a = 0,9 и n = 5 t(a, n) = 2,13)

Тогда квадрат границы доверительного интервала (приборная погрешность определена заранее в соответствии с указаниями, изложенными выше) равен:

Извлекая квадратный корень, окончательно записываем результат в виде:

Обращаем внимание на точность самих расчетов. Количество цифр после запятой в исходных данных - 2. Такое повышение количества значащих цифр оправдано, так как это значение H в дальнейшем будет использовано для расчета плотности. Если бы H было конечной целью работы, то необходимо было оставить столько цифр, сколько было получено в результате измерений - 2 цифры после запятой и записать ответ в виде:

Увеличение сверх трех количества цифр после запятой приводит только к ненужным затратам времени и не дает никакой информации.

Вариант 2. При расчетах по этому варианту таблицу 4 заполняют сразу, не проводя основных расчетов. Для этого выбирают опорную, базовую величину, H₀, не сильно отличающуюся от среднеарифметического значения. Так, для нашего примера такой величиной являлось бы одно из чисел: 18,37 или 18,38 или 18,39. Примем H₀ = 18,39. Тогда DH₁ = 18,37 - 18,39 = -0,02. Эти расчеты выполняют в уме и сразу заполняют таблицы 5 с учетом замечаний о записях результатов, т.е. разность увеличивают в сто раз, а множитель 10² заносят в верхнюю стоку таблицы. Затем заполняют колонку 4, занося множитель 10⁴ в верхнюю стоку таблицы. Находят сумму.

Оформление результатов измерения (расчеты по варианту 2)

Таблица 5

Далее проводят расчеты по формулам:

2.4 О приближенных вычислениях

При выполнении вычислений необходимо всегда руководствоваться практически необходимой точностью. Вести вычисления с точностью большей, чем это допускают данные задачи - бессмысленно.

Числовые данные бывают двух типов. Одни в точности задают истинную величину, другие - приблизительно. Первые называются точными, вторые - приближенными. Например, батарея конденсаторов состоит из 5 конденсаторов емкостью по 50 пФ. Число 5 - точное, а число 50 пФ - приближенное.

Теория приближенных вычислений позволяет:

1. Зная степень точности данных, оценить степень точности результатов еще до выполнения числовых операций;

2.      Брать для расчетов данные с надлежащей степенью точности, достаточной, чтобы обеспечить требуемую точность результата, и в то же время не слишком большой, чтобы избавиться от бесполезных вычислений.

При записи приближенных чисел следует иметь в виду, что значащими называют все цифры числа, кроме нулей, стоящих впереди числа. Например, в числе 0,00013405 пять значащих цифр; в числе 0,1200 и 5010 - четыре. Число значащих цифр некоторого числа называется его значимостью.

В приближенных вычислениях часто приходится округлять числа как приближенные, так и точные, т.е. отбрасывать одну или несколько цифр. Чтобы обеспечить наибольшую близость округленного числа к округляемому, следует соблюдать следующие правила:

1. Если первая из отбрасываемых цифр больше, чем 5, то последняя из сохраняемых цифр увеличивается на единицу. Увеличение совершается и тогда, когда первая из отбрасываемых цифр равна 5, а за ней одна или несколько значащих цифр. Например, округляя приведенные ниже числа до трех значащих цифр, получаем:

2. Если первая из отбрасываемых цифр меньше, чем 5, увеличение не делается. Например, округляя приведенные числа до трех значащих цифр, получим

3. Если отбрасывается цифра 5, а за ней нет значащих цифр, то округление производится на ближайшее четное число, т.е. последняя, сохраняемая цифра остается неизменной, если она четная и увеличивается, если она нечетная. Это связано с тем, что при многочисленных округлениях избыточные числа будут встречаться примерно столь же часто, как и недостаточные. Взаимная компенсация погрешностей обеспечит наибольшую точность результата. Например, округляя числа до первого десятичного знак, получаем:

2.5 Правила приближенных вычислений

При сложении и вычитании приближенных чисел окончательный результат округляют так, чтобы он не имел значащих цифр в тех разрядах, который отсутствуют хотя бы в одном из приближенных данных. Например, при сложении чисел получим