Материал: Обработка результатов измерений

 (3)

1.5 Понятие доверительного интервала и доверительной вероятности (надежности)

Среднее арифметическое является приближенной оценкой истинного значения а измеряемой величины. Поэтому, чтобы эта оценка была наиболее полной, надо обязательно указать, какова погрешность полученного результата DX. Величину абсолютного отклонения среднего  из n измерений от истинного значения а называют абсолютной погрешностью или доверительным интервалом среднего. Важно не то, что в результате измерений мы получаем, а важно то, что наряду с  должен быть указан интервал DX, в пределах которого где-то находится истинное значение а.

Однако мы не может достоверно утверждать, что истинное значение а окажется внутри интервала , мы можем сказать лишь следующее: имеется какая-то вероятность того, что а лежит в пределах этого интервала. Следовательно, доверительный интервал DX необходимо указывать вместе с доверительной вероятностью (надежностью) a попадания истинного значения в пределы этого интервала. Без указания вероятности a сам по себе интервал DХ не может быть принят в качестве оценки погрешности результата. Если известен вероятностный закон распределения Р(Х), то вероятность попадания истинного значения в пределы этого интервала может быть рассчитана по формуле:

 (4)

Расчет показывает, что уже при числе измерений выбор погрешности , дает величину надежности a, равную 0,68. Другими словами, если взять интервал надежности , то можно утверждать, что в 68 случаях из 100 истинная величина а попадет в указанный интервал, а в 32 случаях из 100 - не попадет в этот интервал.

В случае, когда , то a получается равной 0,95. Если , a = 0,997, т.е. за пределы доверительного интервала выйдет всего лишь около 3 измерений из 1000.

1.6 Распределение Стьюдента

Формула (3), по которой оценивается среднеквадратичное отклонение s, является справедливой лишь при . Число измерений в реальных опытах не может быть бесконечно большим, поэтому использовать среднеквадратичное отклонение для ограниченного числа измерений нельзя.

Чтобы получить оценку доверительного интервала для величины а в случае малых n, в теории погрешностей вместо отношения , вводят величину

 (5)

Эта величина (коэффициент Стьюдента) является функцией числа измерений n и величины a - доверительной вероятности, которая нам задается или же мы ее выбираем сами.

Оказывается, что случайная величина при малых n распределена не по нормальному закону (1), а по закону, открытому Стьюдентом.

Вид этого закона существенно зависит от выбора n.

Плотность вероятности распределения P(t), соответствующая закону Стьюдента, имеет вид:

,(6)

где  - гамма-функции

На рис.6 приведены кривые распределения Стьюдента для различных значений n.

Рис. 6. Кривые распределения Стьюдента для различных n: 1 - n = ¥; 2 - n = 10; 3 - n = 5; 4 - n = 2

При  распределение Стьюдента переходит в распределение Гаусса. Распределение Стьюдента позволяет оценить величину погрешности результата DX при заданной доверительной вероятности a, или, наоборот, при заданном DX найти величину a. Действительно, если выбрать на оси t(n,a) некоторое значение t^* (рис.6), то вероятность a определяется заштрихованной площадью, причем величина a будет зависеть не только от t, но и от n. Значение коэффициента Стьюдента t для различных значений n и a, рассчитанные в соответствии с законом Стьюдента, приведены в таблице 2.

Задавая надежность a, равную определенной величине, при данном значении n, по табл.2 можно определить коэффициент t. Тогда, определив предварительно  по формуле (3), можно оценить абсолютную погрешность результата (доверительный интервал) DХ по формуле:

(7)

Таблица 2

Истинное значение измеряемой величины а будет находиться в пределах интервала () с вероятностью a, т.е.

(8)

Объективным критерием качества проведенных измерений является относительная погрешность, определяемая отношением абсолютной погрешности к среднему значению измеряемой величины:

(9)

1.7 Выявление промахов

Ранее уже говорилось, что если взять доверительный интервал , то только в 3 случаях из 1000 измерений можно ожидать выход измерений из указанного доверительного интервала. Если не ставится специальная задача, где точность играет основную роль, то можно считать данные, выходящие за доверительный интервал , промахами и их при чистовой обработке не учитывать. В практических расчетах, при ограниченном числе измерений, для оценки промахов предполагается, что .

1.8 Выбор числа необходимых измерений и учет погрешности измерительного прибора

Иногда условия работы требуют получение максимальной точности с использованием определенного измерительного устройства, имеющего цену деления DС.

Считается, что экспериментатор достоверно устанавливает значение показаний прибора с точностью  (здесь d - погрешность измерительного прибора). Если задаться доверительной вероятностью a = 0,68, то можно составить равенство для определения числа необходимых измерений n: . Подставляя  из (3), получаем:

Тогда

(10)

Ясно, что в результате измерений нельзя сделать ошибку меньше, чем та, которая определяется погрешностью измерительного прибора. Поэтому в окончательном результате в качестве абсолютной погрешности принимают случайную погрешность только тогда, когда она существенно превышает приборную. В случае, когда эти требования не выполняются и случайная погрешность оказывается сравнимой с приборной погрешностью d, границы доверительного интервала определяются по формуле:

 (11)

Если же приборная погрешность является определяющей, т.е. ее величина существенно больше величины случайной погрешности, присущей данному методу, то в окончательном результате учитывают только приборную погрешность. В этом случае многократные измерения не выполняют.

1.9 Порядок обработки результатов прямых измерений

Когда физическая величина а определяется непосредственно с помощью того или иного измерительного прибора (прямые измерения), оценка истинного значения измеряемой величины и погрешности может быть осуществлена в следующем порядке:

. Составляется таблица результатов измерений.

2.      Вычисляется среднеарифметическое значение из n измерений:

3.      Определяются погрешности отдельных измерений:

4. Вычисляются квадраты погрешностей отдельных измерений:

5.      Вычисляется средняя квадратичная погрешность результата серии измерений:

6. Если имеются резко отличающиеся от остальных значения, выясняют, не являются ли они промахами.

7.      Задаются значением доверительной вероятности a (в лабораторных работах физического практикума обычно принимают a в пределах от 0,8 до 0,9).

.        Определяют по таблице 2 коэффициент Стьюдента t(a, n) для заданной надежности a и числа проведенных измерений n.

.        Определяют границы доверительного интервала:

10.    Рассчитывают относительную погрешность результата серии измерений:

11.    Окончательный результат записывается в виде:

1.10 Расчет погрешностей косвенных измерений

Как уже указывалось, косвенные измерения физической величины определяются прямыми измерениями других физических величин, которые находятся в определенной функциональной зависимости от искомой величины. Для определения надежности результата косвенных измерений необходимо применять распределение вероятностей рассматриваемой функции. Однако, такой строгий подход во многих случаях можно заменить упрощенным.

Пусть искомая величина Х является функцией только одной переменной, т.е. , причем, х определяется из прямых измерений . При изменении х на dх произойдет изменение функции Х на dX. Применяя разложение функции  в ряд Тейлора:

,

откуда

Заменяя значок дифференциала d значком ошибки D, получаем формулу для абсолютной погрешности результата косвенных измерений:

Окончательный результат можно представить в виде:

Относительная погрешность равна:

Пусть Х является функцией нескольких переменных, т.е. X = f(x, y, z). Для каждой величины x, y, z,…мы имеем в результате прямых измерений следующие данные:  Доверительные интервалы Dx, Dy, Dz для прямых измерений находятся методом, указанном в порядке обработки результатов прямых измерений, придерживаясь строгого правила: все доверительные интервалы Dx, Dy, Dz определяются в соответствии с табл. 2 для одного и того же значения доверительной вероятности a. Оценка доверительного интервала DC в этом случае, как это следует из теории [1, 2, 4], производится по формуле:

где  - частные производные f(x, y, z, …) по переменным x, y, z соответственно, вычисленные для их средних значений.

Частная производная функции многих переменных по одной переменной, скажем х, является обычной производной функции по х, причем все остальные переменные y, z,… считаются постоянными параметрами. Относительную ошибку величины Х легко вычислить, написав

Так как

то для относительной погрешности получаем:

1.11 Порядок обработки результатов при косвенных измерениях

1.      Вычислить среднее значение искомой величины по результатам прямых измерений .

.        Вычислить относительную погрешность косвенных измерений, учитывая абсолютные погрешности прямых измерений

.        Вычислить абсолютную погрешность косвенных измерений по формуле:

4. Окончательный результат записывается в виде:

величина доверительный вероятностный погрешность

2. ПРАКТИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

.1 Подготовка таблиц в лабораторном журнале и проведение лабораторных измерений

Необходимость получения достаточно точного значения измеряемой физической величины требует повторения измерения в одних и тех же условиях. Обычно необходимое число измерений указано в описании к данной лабораторной работе или указывается преподавателем. Однако, во всех случаях необходимо помнить, что с ростом числа измерений возрастает и точность полученного результата. Поэтому в большинстве лабораторных работ физического практикума необходимо проводить 5 - 10 измерений в равных условиях. Исключения допускаются только в том случае, если есть полная уверенность в том, что измеряемая величина имеет, в принципе, точное значение и для ее измерения используют очень точные приборы. Так, в первой лабораторной работе по определению плотности твердого тела масса тела является такой величиной, если для ее определения используют достаточно точный прибор - аналитические весы с погрешностью 0,05 мг. В случае хорошо налаженных аналитических весов массу тела можно было бы определять один раз, но неаккуратное обращение с весами студентов, ранее выполнявшими взвешивание, приводит к тому, что чувствительность весов резко ухудшается, и они уже не являются достаточно точным прибором. Поэтому массу тела необходимо измерять многократно. В первой же лабораторной работе линейные размеры (длину, высоту и ширину) или диаметр и высоту измеряемого тела необходимо измерять многократно, что вызвано как неточностью измерительных приборов, неточностью линейных размеров в разных местах измеряемого тела.