Материал: Обработка результатов измерений

Обработка результатов измерений

Обработка результатов измерений

ВВЕДЕНИЕ

Каждая лабораторная работа посвящена экспериментальному изучению определенного физического явления и связана с измерением физических величин, характеризующих это явление. Любую физическую величину невозможно измерить абсолютно точно, т.е. в опытах, как бы точно они не проводились, невозможно определить истинное значение измеряемой величины. Измеряемая физическая величина может быть оценена лишь с той или иной степенью точности. Поэтому реально задача измерений заключается не в определении истинного значения измеряемой величины, а в установлении интервала, внутри которого находится истинное значение этой величины. Ответ на вопрос: что взять за наилучшую оценку истинного значения измеряемой величины, дает теория погрешностей - наука о том, как правильно производить обработку результатов измерения.

. ТЕОРИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ

1.1 Классификация измерений

Существуют два типа измерений физических величин: прямое и косвенное.

В случае прямых измерений искомая величина определяется непосредственно с помощью сравнения этой величины с соответствующей единицей измерения. Примерами прямых измерений могут служить: измерения длины (линейкой, штангенциркулем, микрометром), измерение массы (весы с разновесами), измерение временных интервалов (секундомером), измерение силы тока (амперметром), измерение температуры (термометром).

В случае косвенных измерений определяемая величина вычисляется из полученных прямых измерений других физических величин, находящихся в известной функциональной зависимости от искомой величины. Примерами косвенных измерений может служить определение плотности тела по прямым измерениям массы и размеров тела (после определения объема тела) или определение сопротивления участка электрической цепи по прямым измерениям силы тока и напряжения и т.д.

1.2 Классификация погрешностей

При выполнении различных измерений неизбежно возникают погрешности. Это связано с неточностью измерительных приборов, несовершенством органов чувств, с влиянием внешних факторов, с неидеальностью самой измеряемой величины. Погрешности подразделяются на систематические и случайные.

Систематическими называются погрешности, обусловленные одной и той же причиной, которая может быть определена заранее. Например, шкала измерительной линейки неравномерна, стрелка амперметра, при отсутствии тока через него, не стоит на нуле. При многократных измерениях систематическая ошибка имеет одно и то же значение, т.е. ошибка систематически повторяется. Такие погрешности можно учесть и устранить.

Случайными называются погрешности, вызванные весьма большим числом отдельных факторов, действующих в каждом случае различным образом. Случайные погрешности могут возникать из-за неточности измерительных приборов, несовершенства органов чувств, в результате сотрясения стола, фундамента, движения воздуха, изменения температуры и т.д. Случайные погрешности можно выявить и уменьшить путем проведения ряда измерений определяемой величины. Для строгого обоснования величины случайных погрешностей используют методы теории вероятностей.

Среди случайных погрешностей иногда могут попадаться и грубые ошибки (промахи) величина которых заметно превышает любые значения в рассматриваемом ряду измерений. Такие ошибки могут возникать из-за невнимательности наблюдателя, резкого изменения условий проведения опыта, неразборчивости записи показаний и т.д. При вычислении измеряемых величин такие ошибочные данные следует отбрасывать и проделывать повторные (контрольные) измерения.

1.3 Оценка истинного значения измеряемой величины по результатам эксперимента. Понятие случайной величины и вероятностного распределения

Предварительное ознакомление с классификацией погрешностей показывает, что измерение любой физической величины a необходимо проводить многократно.

Допустим, что проведена серия n независимых, одинаково тщательных, прямых измерений, в результате которых получены значения x₁, x₂, x₃,...x_n физической величины a. Тогда, как правило, наблюдается разброс данных около истинного значения, обусловленный существованием различных случайных факторов. Нанесем на числовую ось полученный ряд значений x₁, x₂, x₃,...x_n в виде черточек (рис. 1а). На числовой оси этот ряд значений займет определенное место, и, очевидно, все значения как-то сгруппируются около искомого истинного значения измеряемой величины, положение которого отмечено вертикальной линией. Задача состоит в том, чтобы по данным x₁, x₂, x₃,...x_n произвести оценку истинного значения измеряемой величины. Для решения этой задачи можно применить законы, установленные теорией вероятности по отношению к многократному повторению случайных явлений. В курсе теории вероятностей доказывается, что самой лучшей оценкой истинного значения является среднее арифметическое из числа измерений:

,(1)

т.е. можно записать, что .

Рис. 1. Изображение трех серий измерений физической величины

Эта запись означает, что истинное значение измеряемой величины а приближенно, но наилучшим образом оценивается по среднему арифметическому значению. Если повторить опыт, произведя вторую серию измерений, то, очевидно, получится новый ряд значений   (рис. 1б), причем полученные значения сгруппируются около истинного, но не повторят картину первой серии измерений.

Поскольку на результат измерений влияют только случайные факторы, то мы не можем утверждать, что наилучшей оценкой а будет то же, что и в первой серии измерений, значение :

Вероятнее всего, из расчета получится другое значение

,

которое, также как и , является наилучшей оценкой а, но в новой серии измерений. Наконец, из результатов третьей серии n измерений (рис. 1в) наилучшей приближенной оценкой истинного значения а будет

Это значение, вообще-то, не совпадает с двумя предыдущими средними значениями измеряемой величины. Таких серий равноточных независимых друг от друга измерений можно провести сколько угодно. Что же в конце концов послужит оценкой величины а? Ведь каждый раз мы будем получать среднее значение , лежащее где-то недалеко от а. Как видно из рис. 1, приближенные оценки  всегда более или менее отличаются друг от друга, т.е. испытывают случайное рассеивание, несмотря на кажущуюся неизменность условий в отдельных опытах.

Таким образом, можно сделать очень важный вывод о том, что результат измерения является случайной величиной. Результат каждого отдельного измерения  или результат расчета оценки истинного значения  невозможно заранее предсказать, однако, это еще не означает, что повторные измерения не обнаруживают никакой закономерности. Закономерность в распределении измерений существует и достаточно хорошо изучена. Она описывается законом нормального распределения Гаусса [1].

Результаты серии измерений одной величины можно наглядно представить, построив диаграмму, которая показала бы, как часто получались те или иные результаты. Такая диаграмма называется гистограммой. В качестве примера рассмотрим построение гистограммы по данным измерений величины ускорения силы тяжести методом математического маятника. В табл. 1 приведены средние значения искомой величины g(с точностью до сотых, всего 112 значений). Результаты измерений распределены по группам в интервале .

Таблица 1

Рис. 2. Гистограмма данных, приведённых в таблице

На рис. 2 отчетливо отображена тенденция большинстваизмерений группироваться вблизи некоторого значенияизмеряемой величины, которое и можно принять за наилучшую оценку истинного значения.

Теперь представим себе, что число измерений неограниченно возросло и стало очень большим. Ширину интервалов можно сделать очень малой, но чтобы в каждом интервале было бы много отсчётов. Если теперь вместо гистограммы построить график, который давал бы относительную долю полного числа измерений , то получится гладкая кривая, называемая кривой распределения.

В рассмотренном примере мы имели дело с последовательностью случайных событий, которые обнаруживают при неограниченном увеличении их числа характерную статистическую устойчивость. Обобщая сказанное, введем понятие случайной величины Х, как переменной величины, принимающей различные значения, зависящие от случайных факторов. На графике по оси абсцисс будем откладывать значения Х₁, Х₂, …Х_n, полученные в результате n измерений физической величины, а по оси ординат - частоту появления  полученных значений в заданном интервале , приходящуюся на единицу этого интервала. Тогда в пределе при  и  получим плавную кривую распределения для функции .

Функция P(X) называется плотностью вероятности распределения. Смысл введенной функции P(X) состоит в том, что P(X)^.dX представляет относительную долю полного числа измерений n, приходящуюся на интервал (X, X+dX). Другими словами, P(X)^.dX есть вероятность того, что отдельное значение измеряемой величины находится в пределах интервала (X, X+dX).

На рис. 3 изображена типичная кривая распределения результатов измерения физической величины, причем P(X)^.dX площадью фигуры, заштрихованной наклонными линиями.

Рис. 3. Типичная кривая распределения измеренных значений

Следовательно, вероятность того, что отдельное значение измеряемой величины окажется в интервале от X₁ до X₂, равна  и представлена на рис. 3 площадью фигуры, заштрихованной горизонтальными линиями.

Как показывает опыт, в больших совокупностях равноправных объектов, которые называются статистическими ансамблями, существуют присущие им вероятностные распределения (распределение Максвелла для молекул идеального газа, распределение Ферми для электронов в металле, распределение Пуассона для распада радиоактивных атомов, распределение Бозе - Эйнштейна для теплового излучения, распределение Гаусса в случае большого числа измерений). Каждое из этих распределений математически описывается своей функцией плотности вероятности распределения P(X), имеющей конкретный математический вид в зависимости от характера случайной величины.

.4 Распределение Гаусса и его основные характеристики

В случае большого числа измерений (), случайный разброс значений измеряемой величины подчиняется закону, открытому Гауссом.

Рис. 4. Гауссово распределение

Функция P(X) симметрична относительно а, достигает максимума при Х = а (рис.4).

Кроме параметра а функция P(X) задается еще параметром s, который называется стандартным отклонением.

Величина D = s² называется дисперсией распределения и имеет смысл среднего значения квадрата отклонения Х от истинного значения а, т.е. , где - средний квадрат отклонения измеряемой величины от истинного значения.

Р(Х) быстро стремится к нулю, когда Х становится большим по сравнению с s.

Функция нормального распределения имеет вид:

(1)

Из рис. 5 видно, что основная часть результатов измерений группируется около центрального значения а - истинного значения измеряемой величины.

Рис. 5. Изменение формы кривой при измерениях одной и той же величины методами различной точности: 1 - s ₁; 2 - s ₂; 3 - s ₃;         s ₃>s ₂>s ₁

Отклонения по обе стороны от центра распределения наблюдаются тем реже, чем больше абсолютная величина таких отклонений.

Если изменить метод измерения величины а и измерять ее другим прибором, например, более совершенным, более точным, то разброс результатов измерений будет около центра с прежней абсциссой а, но разброс результатов существенно уменьшится (рис. 5, кривая 1). Если же точность метода измерений ниже, чем для кривой 2, то разброс результатов увеличится и кривая станет более пологой (рис. 5, кривая 3). Трем кривым на рис. 5 соответствуют разные значения стандарта отклонения s, который характеризует размах (разброс) случайных отклонений, присущих данному методу измерения. При этом площадь под кривыми распределения для разных s одна и та же. Параметры а и s в распределении Гаусса, как правило, неизвестны и их нужно искать по данным значениям Х₁, Х₂, …Х_n, полученным из опыта. В теории погрешностей существует метод (максимального правдоподобия), который позволяет установить связь между параметрами распределения Гаусса а и s и набором результатов измерений физической величины. Используя этот метод, можно строго математически доказать, что наиболее правдоподобной оценкой истинного значения измеряемой величины является среднее арифметическое из данных измерений, т.е.

(2)

а наилучшей оценкой второго параметра s является средняя квадратичная погрешность среднего . Расчет осуществляется по формуле: