Как видим, гравитационное ускорение, полученное из поля скорости освобождения, совпадает с ускорением, получаемым непосредственно из закона всемирного тяготения.
7. Поле скорости освобождения и поле тяготения
Значения поля скорости освобождения,
являются однозначной функцией положения в пространстве, так же, как и значения гравитационного ускорения g(r) или напряженности гравитационного поля E(r) (которые есть фактически одно и то же):
и так же, как и значения гравитационного потенциала:
(Гравитационный потенциал равен отношению потенциальной энергии
материальной точки, помещённой в рассматриваемую точку гравитационного поля, к массе m этой материальной точки:
Значения скорости освобождения просто выражаются через значения гравитационного ускорения, напряженности гравитационного поля, или гравитационного потенциала, и наоборот:
Заметим, что выражение , стоящее в правой части последнего равенства есть удельная кинетическая энергия (т.е. кинетическая энергия, отнесённая к единице массы) тела, движущегося со скоростью освобождения. Таким образом, удельная кинетическая энергия тела, движущегося со скоростью освобождения, равна по абсолютной величине и противоположна по знаку потенциалу поля тяготения.
Очевидно, что скорость освобождения, наряду с гравитационным ускорением, напряженностью и потенциалом поля тяготения, тоже является характеристикой поля тяготения и равносильна им.
8. Поле скорости
Общий вид функции скорости свободного движения в поле тяготения можно получить из закона сохранения энергии. Закон сохранения энергии в виде:
умножением на 2/m приводится к виду:
Заметим, что в этом равенстве выражения вида 2GM /r - суть квадраты скорости освобождения на расстоянии r:
и закон сохранения можно записать также в виде:
Поэтому мы можем сформулировать закон сохранения, применительно к движению тел в поле тяготения, в новой форме следующим образом:
Разность квадратов собственной скорости и скорости освобождения есть величина постоянная.
Если скорость тела превышает параболическую скорость, т.е. если это гиперболическая скорость, то при удалении в бесконечность оно будет иметь остаточную скорость (другое название гиперболический избыток скорости) большую нуля, которая обозначается как v?. Остаточную скорость для некоторой начальной скорости v0 можно найти из закона сохранения (8.2):
Это равенство справедливо в любой точке траектории тела. Таким образом, это еще одно выражение закона сохранения:
или же в виде со скоростью освобождения:
Теперь мы можем уточнить, о какой постоянной величине говорится в формулировке закона сохранения приведенной выше - эта постоянная величина есть квадрат остаточной скорости. С учетом этого сделаем и соответствующее уточнение закона сохранения:
Разность квадратов собственной скорости и скорости освобождения есть величина постоянная и равна квадрату остаточной скорости.
Из равенства (8.4), связывающего v? и v0, видно, что, для данного поля тяготения, начальная и остаточная скорости - это две константы, выражающиеся одна через другую, и они по выбору могут использоваться в качестве начального (краевого) значения. Отличие, конечно, в том, что остаточную скорость нельзя замерить, можно только вычислить через начальную.
Однако в некоторых случаях остаточная скорость оказывается удобнее. Во-первых, начальная скорость всегда привязана к своему начальному положению r0, которое, в общем, может быть различным. Остаточная скорость такого недостатка лишена - различные остаточные скорости привязаны к одной точке, бесконечности, и поэтому позволяют сравнение друг с другом. Из факта привязанности к бесконечности проистекает ещё одно удобство - выражения содержащие остаточную скорость иногда оказываются более простыми в сравнении с такими же, но содержащими начальную скорость - слагаемые с r? в знаменателе обращаются в нуль.
Заметим, что поскольку для параболической скорости остаточная скорость v? равна нулю, то для эллиптических скоростей, которые меньше параболической, закон сохранения даёт отрицательное значение квадрата остаточной скорости , и мнимое значение самой остаточной скорости. Что имеет свой смысл, поскольку тела с эллиптической скоростью не могут удалиться в бесконечность.
Из закона сохранения получаем для квадрата скорости в любой точке траектории:
Это и есть искомое определение функции скорости v(r) в общем случае.
Подставив вместо остаточной скорости v? её выражение через начальную скорость:
получим функцию скорости в виде с начальной скоростью:
Так же, как это было в случае параболической скорости, в общем случае значение скорости тела (с определенной остаточной скоростью) в любой точке пространства определяется только расстоянием от центра тяготения, и не зависит от направления скорости, которое тело будет иметь в этой точке. Таким образом, и в общем случае значения скорости тел имеющих одну и ту же остаточную скорость образуют скалярное поле скорости. Т.е. для каждой точки пространства определено значение скорости, одинаковое для всех направлений. Повторим, что такое скалярное поле скорости индивидуально для каждой остаточной скорости.
Таким образом, существует множество полей скорости - для каждого значения остаточной скорости v? - своё. Как следует из вида функции скорости v(r), форма полей скорости, т.е. форма поверхностей с постоянным значением поля, определяется главным полем скорости - полем скорости освобождения:
Значения остальных полей (квадратов) скорости отличаются от главного поля на константу .
Квадрат остаточной скорости тела есть значение в точке r? инварианта движения в поле тяготения (который, как это следует из закона сохранения, есть разность квадратов собственной скорости и скорости освобождения):
Поэтому вполне очевидно и даже тривиально утверждение, что остаточная скорость тела неизменна во время свободного движения в поле тяготения. Остаточная скорость, так же как и начальная скорость, есть, хоть и приобретённая, но собственная характеристика тела, которая, как уже сказано, остаётся неизменной в течение всего времени движения в поле тяготения. Но тела могут иметь, и имеют, разные остаточные скорости. Откуда они берутся? Остаточная скорость изменяется с изменением начальной скорости, и происходит это во время (негравитационного) взаимодействия тел, например, при работе ракетного двигателя космического аппарата. Итак:
? Остаточная скорость тела (неизменна при свободном движении в поле тяготения и) изменяется лишь при негравитационном взаимодействии с другими телами.
Изменение в результате негравитационного взаимодействия остаточной скорости тела означает смену поля скорости - тело переходит из одного поля скорости в другое - в поле с другой остаточной скоростью.
9. Ускорение в поле скорости
Ускорение есть скорость скорости, т.е. первая производная скорости по времени, или вторая производная расстояния по времени. Проблема, однако, в том, что поле скорости задаёт зависимость скорости от положения, координат, но не задаёт явной зависимости от времени. Зависимость от времени тоже присутствует, но лишь неявная. Для сферически симметричного поля скорости способ получения явной зависимости от времени, как мы видели в случае скорости освобождения, существует. Но этот способ реализуем только в простых случаях, когда интеграл времени представляет собой простую функцию, позволяющую разрешить уравнение для t относительно S. В более сложных случаях, даже если удастся взять интеграл, решение уравнения относительно S может оказаться невозможным.
Есть, однако, другой, более простой и в то же время более эффективный способ. Заключается он в использовании градиента поля и правила дифференцирования сложной функции.
В декартовых координатах градиент некоторого скалярного поля f (x, y, z) есть векторная функция с компонентами:
т.е. вектор:
где - единичные векторы осей координат.
В сферических координатах градиент скалярного поля f (r, и, ц) представляется следующим образом:
Например, поле скорости освобождения в сферических координатах описывается функцией:
которая зависит только от расстояния r и не зависит от угловых координат и и ц. Так как значения поля vesc(r) изменяются только в направлении оси r, то величина градиента будет равна:
Градиент описывает быстроту изменения величины, в данном случае скорости, в пространстве. Нас же интересует ускорение, т.е. скорость изменения скорости во времени. Градиент скорости похож на ускорение, но его компоненты суть производные по пространственным координатам, а не по времени, как нам нужно.
Выручает правило дифференцирования сложной функции, которое состоит в следующем. Производная сложной функции (представляющей собой суперпозицию двух функций) по некоторой переменной, равна произведению производной этой функции по внутренней функции (как простой переменной), на производную этой внутренней функции по нужной переменной, т.е., например:
Если эти функции суть скорость и расстояние, то rt'(t) = v(r, t) и выражение справа упрощается до:
Взяв значение функций в точке t = 0, получим выражение, не зависящее от t:
Отсюда получаем для вычисления гравитационного ускорения из поля скорости простое правило, позволяющее избежать трудностей с интегрированием и решением уравнений, которое коротко можно сформулировать так:
Гравитационное ускорение равно произведению градиента поля скорости на скорость. Т.е., в скалярном виде:
Если сравнить выражение для g(r) с выражением для градиента (т.е. производной по r) скалярного поля, определяемого функцией удельной кинетической энергии,
то видно, что эти выражения совпадают:
Поэтому мы можем записать гравитационное ускорение также в виде:
и предложить ещё одну формулировку правила для вычисления гравитационного ускорения (и силы тяготения) из поля скорости:
Гравитационное ускорение равно градиенту удельной кинетической энергии (а сила тяготения равна, соответственно, градиенту кинетической энергии).
Приведенные правила нахождения гравитационного ускорения из поля скорости можно применять по выбору исходя из соображений удобства. В нашем случае, когда квадрат скорости выражается проще, чем скорость, удобно применить второй способ. Например, поле скорости освобождения
даёт по первому правилу:
или, по второму правилу, несколько короче:
Как и следовало ожидать, в обоих случаях получена верная формула гравитационного ускорения. Примерно две страницы выкладок, проведённых для этого выше, наше правило позволяет заменить парой строчек.
Найдём теперь гравитационное ускорение для общего случая свободного движения тела в поле тяготения с произвольной начальной скоростью: эллиптической, параболической или гиперболической, исходя из соответствующего поля скорости. Ответ следующий: гравитационное ускорение для произвольной скорости совпадает с гравитационным ускорением скорости освобождения. Действительно, квадрат функции скорости в общем случае имеет вид: