Новая теория тяготения
Впервые правильный, согласующийся с наблюдениями и проясняющий картину мира, ответ на вопрос «как и почему?» о свободном движении вещества был дан в 17-м веке Кеплером и Ньютоном в законах движения планет и законе всемирного тяготения.
Иоганн Кеплер, в течение многих лет пытаясь с помощью доставшихся ему «в наследство» записей астрономических наблюдений датского астронома Тихо Браге раскрыть тайну движения планет, установил следующие три закона движения планет:
1. Каждая планета движется в плоскости с постоянной секториальной скоростью.
2. Каждая планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце.
3. Квадраты периодов обращения планет относятся как кубы больших полуосей орбит планет.
Исаак Ньютон установил, что движение планет под действием центральной силы, изменяющейся обратно пропорционально квадрату расстояния от центра тяготения, будет происходить в соответствии с законами Кеплера, и показал, что в общем случае движение под действием такой силы происходит по коническому сечению: эллипсу, параболе, гиперболе или прямой. Такое движение принято называть кеплеровым.
1. Тяготение как близкодействие
Одним из основных недостатков классической теории тяготения Кеплера-Ньютона является противное здравому смыслу мгновенное действие на расстоянии - дальнодействие. Однако данный недостаток не является принципиальным, необходимым, свойством классической теории тяготения. Имеется простая возможность модифицировать классическую теорию тяготения таким образом, чтобы исключить из неёдальнодействующую силу тяготения.
1. Закон всемирного тяготения
Закон всемирного тяготения гласит: две материальные точки притягиваются друг к другу с силами пропорциональными обеим массам и обратно пропорциональными квадрату расстояния между ними.
Тела конечных размеров, когда расстояние между ними велики по сравнению с их размерами, можно рассматривать как материальные точки. Установлено также, что шарообразные тела со сферически симметричным распределением масс притягиваются так, как если бы вся их масса была сосредоточена в одной точке в центре шара. Пара тел, представляющая собой комбинацию указанных двух вариантов соотношений масс и размеров, т.е. когда одно тело шарообразно со сферически симметричным распределением масс, а размеры второго малы в сравнении с расстоянием между телами, тоже может рассматриваться как материальные точки. Описанным вариантам хорошо соответствуют случаи притяжения звёзд и планет между собой или со своими спутниками и другими малыми небесными телами.
Нас будет интересовать случай планеты или звезды и относительно малого тела, свободно движущегося в поле её тяготения, т.е. движение материальной точки в центрально симметричном поле тяготения. Такое движение является кеплеровым. В этом случае, по закону всемирного тяготения
где F - сила притяжения двух материальных тел;
G - постоянная1тяготения или гравитационная постоянная. В международной системе единиц СИ: G = 6,67384*10-11 мі/сІ/кг, или Н*мІ/кгІ;
M - масса1тела, создающего поле тяготения, например, Земли: MЗ = 5,9726*1024 кг;
m - масса малого тела, движущегося в поле тяготения массивного тела;
r - расстояние между телами (между их центрами). Например, если второе тело находится у поверхности Земли, то r будет равно радиусу Земли: RЗ = 6371 км.
2. Гравитационное ускорение
Тело, движущееся в поле тяготения массивного тела, испытывает гравитационное ускорение. По второму закону Ньютона ускорение испытываемое телом под действием силы равно:
Отсюда величина гравитационного ускорения тела получится из выражения для силы притяжения (1.1) делением на массу тела, m:
Знак минус в выражении справа указывает направление гравитационного ускорения - противоположное росту расстояния.
В отличие от константы ускорения свободного падения на Земле,
гравитационное ускорение g(r) есть функция расстояния. Приближенное значение g, без учёта суточного вращения Земли, формы геоида и распределения масс, можно получить по формуле гравитационного ускорения подставив в неё для расстояния среднее значение радиуса Земли,RЗ:
Гравитационное ускорение не зависит от массы притягиваемого тела. Поэтому, например, траектория движения космического аппарата не будет зависеть от его массы, и будет зависеть только от скорости его свободного движения. Обратно, скорость свободного движения связана с видом траектории. Это подтверждают формулы для скоростей различного вида траекторий. Скорость круговой орбиты спутника, движущегося на расстоянии r от центра планеты, или скорость освобождения на расстоянии r от центра планеты (т.е. минимальная скорость, которую нужно придать телу, чтобы оно освободилось от земного, или другого, притяжения, удаляясь на неограниченно большое расстояние, в бесконечность) не зависят от массы спутника.
3. Круговая скорость
Круговую скорость vcirc орбиты радиуса r можно вычислить, приравняв гравитационное ускорение
к центростремительному ускорению кругового вращения
и решая полученное уравнение относительно vcirc:
Скорость гипотетической круговой орбиты проходящей над самой поверхностью Земли, т.е. орбиты с радиусом равным радиусу Земли, называют первой космической скоростью:
Движение на такой низкой орбите невозможно из-за сопротивления воздуха земной атмосферы, поэтому первой космической скоростью иногда называют также скорость круговой орбиты на высоте h = 200 км, где сопротивление атмосферы уже не мешает устойчивому свободному движению:
4. Скорость освобождения
Скорость освобождения vesc (другие названия: скорость убегания, параболическая скорость, вторая космическая скорость) вычисляется с использованием закона сохранения энергии. Кинетическая энергия T тела массой m движущегося со скоростью v равна:
Потенциальная энергия U в поле тяготения измеряется работой, которая производится при перемещении тела в точку, где потенциальная энергия принята равной нулю. Для расчёта скорости освобождения vesc удобно принять её равной нулю в бесконечно удалённой точке. Тогда потенциальная энергия тела массой m, находящегося на расстоянии r от массивного тела массой M, будет отрицательна (с уменьшением высоты потенциальная энергия убывает, начиная с нулевого значения) и будет равна:
Минимальная скорость, необходимая для освобождения от притяжения планеты и удаления в бесконечность, есть скорость, которая на бесконечно большом расстоянии от планеты станет нулевой. Вместе со значением скорости в нуль обратится и значение кинетической энергии тела. Потенциальная энергия также будет равна нулю и, следовательно, нулевой будет общая энергия тела. Вследствие закона сохранения энергии нулевой будет общая энергия движущегося тела в любой момент его движения:
Масса m здесь сокращается, и для vesc получается выражение:
5. Поле скорости освобождения
Скорость освобождения не зависит от направления. При любом направлении тело удаляется в бесконечность по параболической траектории, если только его скорость равна скорости освобождения. (При естественном ограничении - траектория не должна пересекаться с веществом планеты. Формально же это ограничение можно не учитывать, считая, что вся масса планеты сосредоточена в точке, либо что она вообще не занимает никакого места в пространстве.) В случае если тело поднимается вертикально вверх, парабола вырождается в прямую линию.
Поскольку скорость освобождения в произвольной точке пространства для всех траекторий проходящих через эту точку одна и та же, то значение этой скорости можно приписать данной точке пространства. Совокупность значений скорости освобождения в точках свободного пространства образует скалярное поле - поле скорости освобождения.
Поле скорости освобождения определяется функцией скорости освобождения дающей значение скорости освобождения на расстоянии rот центра тяготения:
Область определения функции скорости есть всё пространство. Значение скорости освобождения на сфере радиуса r постоянно, и растёт с уменьшением расстояния r. Поэтому поле скорости освобождения будет сферически симметричным полем с градиентом направленным к центру тяготения.
Если тело движется со скоростью освобождения, то само нахождение тела в определённой точке пространства однозначно определяет величину скорости тела.
6. Ускорение в поле скорости освобождения
Для нахождения гравитационного ускорения из поля скорости освобождения рассмотрим движение тела по вертикальной траектории.
В случае прямолинейного равномерного движения пройденный путь, скорость и время связаны соотношением
В случае неравномерного движения, приближенное значение времени t, необходимого для прохождения отрезка пути длиной Sначинающегося в произвольной точке r, т.е. отрезка [r, r+S], получается суммированием на отрезке малых приращений пути, Дr, помноженных на значения 1/v, соответствующих этому приращению (например, на начальные или средние на отрезке Дr значения):
Точное значение времени t получится вычислением предела указанной суммы при устремлении количества i малых приращений Дri к бесконечности. Этот предел есть определенный интеграл функции 1/v(r) по переменной r на отрезке [r, r+S]:
Обозначим для краткости в выражении для скорости освобождения
постоянный множитель как k:
тогда функция v(r) примет вид:
а подынтегральная функция, соответственно:
в итоге получим для времени следующий определенный интеграл:
Для его вычисления найдем сначала неопределенный интеграл
Тогда определенный интеграл найдется как разность значений этого неопределенного интеграла в конечной и начальной точках интегрирования:
В итоге мы получаем для времени t следующее выражение:
Выразим отсюда S через r и t:
Итак, мы получили путь S, как функцию от начального положения r и времени t. Продифференцировав функцию S(r, t) дважды по времени tполучим выражение для ускорения.
Первая производная пути S(r, t) по времени даст нам скорость как функцию r и t:
Чтобы получить производную в точке r следует положить t = 0, поскольку ненулевое время означает, что тело сдвигается от положения r в течение этого времени. В итоге получим функцию зависящую только от положения r:
Подставив обратно получим:
Мы получили исходное выражение для скорости освобождения, что, конечно, не удивительно и лишь подтверждает правильность произведенных выкладок.
Пойдем теперь дальше, и возьмём вторую производную пути S(r, t) по времени. Это даёт нам гравитационное ускорение как функцию r и t:
Чтобы получить производную в точке r положим t = 0. В итоге получим искомое гравитационное ускорение как функцию одной переменной r:
Подставив обратно получим для гравитационного ускорения выражение