Материал: Начертательная геометрия. Балаганская Е.А
Рис. 17.6. Развертка наклонного конуса
18. КРИВЫЕ ЛИНИИ
Линия – траектория движения точки. Вопрос: Какие вы знаете линии?
Ответ: |
1) |
алгебраические |
( y f x ), |
трансцендентные ( f y
F x );
2) пространственные и плоские.
Вопрос: что определяет порядок кривой?
Ответ: Количество пересечений с плоскостью или прямой.
18.1.Касательные и нормали к пространственной кривой
Касательная tM – секущая в предельном положении.
Через касательную можно провести множество плоскостей и только одна из них называется соприкасающейся плоскостью 
(рис.18.1).
Рис. 18.1. Касательные и нормали проведенные к пространственной кривой
В любой точке можно провести множество нормалей, которые определяют нормальную плоскость , и только одна
нормаль, лежащая в соприкасающейся плоскости называется главной нормалью n .
Нормаль перпендикулярная 
называется бинормалью
n .
n и tM образуют спрямляющую плоскость .
, , образуют трехгранник Френе, при этом: горизонтальная плоскость; 
- профильная плоскость; фронтальная плоскость.
18.1.1. Построение касательной к кривой, |
|
проходящей через т. А. |
tM |
Построениепоказано на рис. 18.2. |
|
M |
a3 |
|
A
// //
-
-
a2 a1
99
Рис. 18.2. Построение касательной к кривой, проходящей через т. А
18.1.2. Построение касательной к кривой l ,
проходящую через т.А.
Дано: l и т. А |
|
|
1. |
Проведем прямую b |
кривой и проходящую |
через т. |
A (рис.18.3). |
|
2. |
Проведем ряд секущих , пересекающих l и b |
|
( a1,a2 ,... и т. д.)
3.Отложим от прямой b вправо отрезки равные
хордам.
4.Там, где огибающая пересечет l - будет т. M , соединив ее с т. A, получим искомую касательную.
M
A
l |
/ // |
|
// |
||
|
||
|
/ |
Рис. 18.3. Построение касательной к кривой проходящей через т.А
100
18.1.3. Определение центра кривизны в т. М.
Дано: l и т. M (рис. 18.4).
1.Проведем касательные к произвольным точкам А, В,
М и С.
2.Отложим на них отрезки равной длины и соединим их
вкривую l
.
3.В т. M 
проведем касательную tM .
4.Проведем перпендикуляры к касательным в т. M и т. M , пересечение которых даст центр кривизны OM в т. M .
|
|
l |
|
|
M tM |
M |
|
B |
tM |
||
|
|||
A |
|
||
|
|
l
OM
Рис. 18.4. Определение центра кривизны
18.1.4. Эволюта и эвольвента
Эволюта – множество точек, являющихся центром кривизны данной прямой.
Эвольвента.
Построение эвольвенты показано на рис. 18.5. rn 1 n
rn
|
|
Эвольвента |
||
|
3 |
|
// |
|
n |
101 |
// |
||
|
||||
|
2 |
|
|
|
Эволюта |
|
/ / |
|
|
|
1 |
|
||
Рис. 18.5. Построение эвольвенты
Эвольвента нашла широкое применение в технике: профиль зубьев у шестеренок изготавливают по эвольвенте.
Свойство: касательная к эволюте является нормалью к эвольвенте.
Для зубчатого колеса эволютой эвольвенты является окружность.
18.2. Свойства кривых линий.
При построении ортогональных проекций кривых линий необходимо знать их свойства:
1.касательная к кривой проецируется в касательную к ее проекции (рис. 18.6);
2.несобственным точкам кривой соответствуют несобственные точки ее проекции.
Для плоских кривых дополнительные свойства:
3.порядок проекции кривой равен порядку самой кривой или оказывается на порядок ниже;
4.число узловых точек (т.е. точек, где кривая пересекает сама себя на проекции равно числу узловых точек на самой кривой);
5.кривая проекция кривой линии сохраняет тот же порядок, что и кривая линия, или оказывается кривой более низкого порядка.
102