Материал: Моделювання та розрахунок задачі пружності методом скінченних елементів за допомогою пакету Femlab 3.3

Необхідна кількість імплантатів у бічних ділянках вивчалася в діапазоні від 1 до 3. В передній ділянці за норму приймалося три імплантати, проте в певних моделях їх кількість збільшувалася до 4-ох. При цьому вивчалася різниця у довжинах імплантатів від 5,0 мм до 15,0 мм. Діаметр імплантатів приймався рівним 4,5мм 4 мм 3,75 мм. Задавали гвинтовий тип імплантату з симетричною різьбою (зовнішній діаметр - 4,5мм 4 мм 3,75, внутрішній - 3,7мм 3,2 мм 2,9 мм). В кортикальному шарі без врахування різьби діаметр імплантату складав 4,5мм 4 мм 3,75 мм.

Рис. 4.1 Розміри моделей.

Приклад графічно побудованих моделей систем "імплантат - кісткова тканини щелепи людини - протезна конструкція" показаний на рис. 4.2, 4.3.

Рис. 4.2 Моделі тіл з одним імплантатом на кожному кінці щелепи та з трьома імплантатами у фронтальній ділянці з довжиною імплантатів 7,0 мм та 13,0 мм відповідно (Продемонстровано моделі тіл з циліндричними та гвинтовими відповідно).

Рис. 4.3 Модель тіла з двома імплантатами на кожному кінці щелепи та з чотирма імплантатами у фронтальній ділянці з довжиною імплантатів 7,0 мм та 13,0 мм відповідно

(Продемонстровано моделі тіл з циліндричними та гвинтовими відповідно).

2) Задання параметрів моделі

При проведенні розрахунків для матеріалів вибиралися пружні характеристики, що подані у таблиці 4.1 [6,7].

Таблиця 4.1 - Значення пружних характеристик матеріалів.

Матеріал	Модуль пружності (Па)	Коефіцієнт Пуасона
Імплантат	=1.050.33
Протезна конструкція	=1.60.3
Кортикальна кісткова тканина	=1.70.3
Губчаста кісткова тканина	=40.3

Для задання характеристик матеріалів можемо вибрати матеріали з списку перечислених (із "Material Library”) або визначити новий. Для імплантата обрано Titanium beta-21S. Також було визначено три нових матеріали - kortukalna кistka, gubchasta кistka, protez із відповідними характеристиками.

Напружено-деформований стан досліджувався під дією рівномірно розподіленого тиску на протезну конструкцію  (наприклад, пережовування їжі).

При проведенні досліджень напружено-деформованого стану системи "імплантат - кісткова тканини щелепи людини - протезна конструкція" для визначення оптимальної кількості імплантатів використовувалися моделі з різними геометричними характеристиками (таблиця 4.2).

Таблиця 4.2 - Побудовані моделі.

№	назва моделі	кількість імплантатів			висота імплантатів
		фронт.	бічна	загальна	бічна (мм)	Гвинт (мм)
1	Chel_3-13-4_1-7-4	3	2	5	13	7	--
2	Chel_3-13-4_1-10-4	3	2	5	13	10	--
3	Chel_3-13-4_2-7-4	3	4	7	13	7	--
4	Chel_3-13-4_2-10-4	3	4	7	13	10	--
5	Chel_3-13-4_3-5-4	3	6	9	13	5	--
6	Chel_3-13-4_3-7-4	3	6	9	13	7	--
7	Chel_3-13-4_3-10-4	3	6	9	13	10	--
8	Chel_4-13-4_1-10-4	4	4	8	13	10	--
9	Chel_3-13-4_1-7-4gv	3	2	5	13	7	0,8
10	Chel_3-13-4_1-10-4 gv	3	2	5	13	10	0,8
11	Chel_3-13-4_2-7-4 gv	3	4	7	13	7	0,8
12	Chel_3-13-4_2-10-4 gv	3	4	7	13	10	0,8
13	Chel_3-13-4_3-5-4 gv	3	6	9	13	5	0,8
14	Chel_3-13-4_3-7-4 gv	3	6	9	13	7	0,8
15	Chel_3-13-4_3-10-4 gv	3	6	9	13	10	0,8
16	Chel_4-13-4_1-10-4 gv	4	4	8	13	10	0,8

) Генерація сітки скінченних елементів

Для розв’язування задач використовувалися лінійні та квадратичні апроксимації методу скінченних елементів.

Оскільки використання в теорії пружності більш рідкої сітки призводить до значних похибок, то дослідження проводились на сітках різної густоти, при зміні параметрів генератора скінченно-елементної сітки.

Параметри сітки взяті із вбудованих режимів побудови сітки, і подані у таблиці 4.3.

Таблиця 4.3 - Параметри сітки різної густоти

Параметри	Сітка
	Рідка	Густа	Найгістіша
Maxіmum element sіze scalіng factor	5	1.9	1
Element growth rate	2	1.7	1.5
Mesh curvature factor	1	0.8	0.6
Mesh curvature cut off	0.07	0.05	0.03

Приклад розбиття моделі тіла (з двома імплантатами (10 мм) на кожному кінці щелепи та з трьома імплантатами (13 мм) у фронтальній ділянці) на скінченні Лагранжеві квадратичні елементи для циліндричних та гвинтових моделей показано на рис.4.4, 4.5 де також наведена статистика розбиття.

Аналогічно формувалось розбиття на скінченні елементи для моделей з використанням іншої кількості імплантатів. В моделях з більшою кількістю імплантатів кількість скінченних елементів найгустішої сітки досягала 40 тис.

Рис 4.4 Розбиття на скінченні елементи з допомогою сітки. Статистика розбиття.

Рис 4.5 Розбиття тіла на скінченні елементи з допомогою сітки. Статистика розбиття.

1)      Розв’язування моделей

Розв’язок задачі теорії пружності в пакеті Femlab 3.3 шукається в переміщеннях. Результати роботи у середовищі Femlab зображені на рис.4.6 - 4.10. Справа від малюнку області знаходиться шкала кольору, за якою можна визначити фактичні значення розв’язку.

Рис. 4.6 Розв’язок моделі тіла з одним імплантатом на кожному кінці щелепи та трьома у фронтальній ділянці з довжиною імплантатів 13,0мм в переміщеннях (густа сітка).

Рис. 4.7 Розв’язок моделі тіла з одним імплантатом на кожному кінці щелепи та трьома у фронтальній ділянці з довжиною імплантатів 13,0мм в переміщеннях (густа сітка).

Рис. 4.8 Розв’язок цієї ж моделі в напруженнях.

Рис. 4.9 Розв’язок моделі тіла з двома імплантатами на кожному кінці щелепи та трьома у фронтальній ділянці з довжиною імплантатів 13,0мм в переміщеннях (густа сітка).

Рис. 4.10. Розв’язок моделі з трьома імплантатами на кінцях щелепи та у фронтальній ділянці з довжиною імплантатів 13,0мм та 10,0мм в переміщеннях (гвинтових та циліндричних відповідно).

По переміщеннях визначаються напруження. Для представлення розв'язку в напруженнях вибрано інший вид візуалізації, а саме перетин заданою кількістю площин, в даному випадку п’ятьма (рис.4.11.).

Рис. 4.11. Розв’язок цієї ж моделі в напруженнях.

7) Графічне представлення результатів

Максимальні напруження губчастої кісткової тканини виникають в зоні під імплантатом. Тому для даних моделей було побудовано графіки розподілу напружень в цій зоні для розв’язків із застосуванням Лагранжевих квадратичних скінченних елементів та найгустішої сітки, з метою визначити максимальні напруження цього шару кісткової тканини для моделей з різною кількістю та довжиною імплантатів.

Графік розподілу напружень будується по прямій, що перетинає потрібну область і задається в просторі двома точками. На рис.4.12 наведений графік розподілу напружень під кінцевим імплантатом моделі з одним імплантатами на кожному кінці щелепи та трьома у фронтальній ділянці з довжиною імплантатів 7 мм та 13 мм відповідно. Прямолінійний перетин заданий точками (0, 3.5, 1.28) та (2, 3.5, 1.28).

Рис. 4.12. Фігура Femlab з графіком розподілу напруження.

Методом побудови графіків розподілу напружень в кістковій тканині для кожної моделі були визначені максимальні напруження у ділянках під імплантатами. Для ясності імплантати були пронумеровані, і нумерація для різних моделей наведена на рис.4.13 - 4.16. Дані про максимальні навантаження, що виникають в губчастій кістковій тканині подані в таблицях 4.4 - 4.7 для моделей з різною кількістю та довжиною імплантатів.

Таблиця 4.4 - Максимальні напруження у кістковій тканині моделі з одним імплантатом на кожному кінці щелепи та трьома у фронтальній ділянці.

Довжина Імплантатів (мм)		Тип імплантатів	Напруження під імплантатом № (MПa)
фронт.	бічна		1	3	5
13	7	цил.	20,3	27,2	55,8
13	7	гвинт.	18,2	21,9	48,6
13	10	цил.	10,7	14,6	24,3
13	10	гвинт.	9,9	13,4	25,3

 

Рис. 4.12. Нумерація імплантатів

Таблиця 4.5 - Максимальні напруження моделі тіла з трьома імплантатами на кожному кінці щелепи та у фронтальній ділянці.

Довжина Імплантатів (мм)		Тип імплантатів	Напруження під імплантатом № (MПa)
фронт.	бічна		1	3	5	7
13	7	цил.	12,5	11,5	17,2	18
13	7	гвинт.	11,2	10,9	15,6	17
13	10	цил.	12,6	10,5	13	13,3
13	10	гвинт.	11,1	9,7	12,3	13,0

Рис. 4.13. Нумерація імплантатів.

Таблиця 4.6 - Максимальні напруження моделі тіла з трьома імплантатами на кожному кінці щелепи та у фронтальній ділянці.

Довжина Імплантатів (мм)		Тип імплантатів	Напруження під імплантатом № (MПa)
фронт.	бічна		1	3	5	7	9
13	7	цил.	13	8,6	11,8	12,9	13,4
13	7	гвинт.	12,2	7,9	10,6	11	12,9
13	10	цил.	10	8,2	10,3	11,2	11,6
13	10	гвинт.	9,1	7,8	9,7	10,8	10,7

Рис. 4.14. Нумерація імплантатів.

Таблиця 4.7 - Максимальні напруження моделі тіла з чотирма імплантатами на кожному кінці щелепи та одним у фронтальній ділянці.

Довжина Імплантатів (мм)		Тип імплантатів	Напруження під імплантатом № (MПa)
фронт.	бічна		1	3	5
13	7	цил.	6	14,3	23,6
13	7	гвинт.	5,7	13,1	16,2
13	10	цил.	5,9	14,0	21,0
13	10	гвинт.	5,7	12,9	16

Рис. 4.15. Нумерація імплантатів.

Для обраної кісткової тканини допустимі напруження губчастого шару - 15 МПа [7]. В кортикальній кістці допустима норма напружень - 45 МПа та в побудованих моделях вона не перевищується.

Напружений стан рахувався як результат дії максимального навантаження, тому подібна постановка задачі моделює найбільш критичну ситуацію під час функціонування системи "Імплантат - протезна конструкція - кісткова тканина щелепи людини”.

4.3 Аналіз результатів

Було встановлено, що при повній відсутності зубів на нижній щелепі мінімальна кількість імплантатів у дистальних відділах щелепи, де з’являються найбільші напруження, повинна бути як мінімум по два імплантати довжиною 10,0 мм або три імплантати довжиною 7,0 мм. Збільшення довжин бічних імплантатів призводить до зниження рівня напружень в кістковій тканині, отже якщо є можливість, варто використовувати довші імплантати.

Якщо розглядати модель з двома імплантатами в бічній ділянці, то при зменшенні довжини імплантатів, наприклад до 7,0 мм математична модель показує руйнацію кісткової тканини. При використанні трьох імплантатів довжиною по 5,0 мм теж спостерігається руйнація кісткової тканини.

Використання 1-го імплантату у бічних відділах щелепи викликає напруження кісткової тканини, що перевищують допустимі норми і є дуже велика ймовірність руйнації, навіть при збільшенні кількості імплантатів у фронтальній частині від 3-ох до 4-ох. При переході з 1-го до 2-ох імплантатів на кожному кінці щелепи відбувається суттєве покращення результатів і відсутня руйнація кісткової тканини чи імплантатів.

Якщо напруження у бічних відділах щелепи з 1-м імплантатом суттєво більші від напружень у бічних відділах щелепи з 2-ма чи 3-ма імплантатами, то напруження у бічних відділах щелепи з 2-ма імплантатами не суттєво відрізняється від напружень у бічних відділах щелепи з 3-ма імплантатами.

Мусимо зазначити, що різниця у напруженнях при використанні циліндричних та гвинтових імплантатів є незначною, бо хоча при використанні гвинтових імплантатів і досягається зменшення напружень в губчастій кістці та під імплантатом в порівнянні з циліндричним, але при цьому в кортикальній кістковій тканині і в зоні контакту гвинта напруження є більшими.

Проведені дослідження дозволяють стверджувати, що для нормального функціонування протезної конструкції необхідно хоча б два імплантати довжиною 10 мм в бічному відділі щелепи. В такому випадку напруження кісткової тканини не перевищують допустиму норму. Проте при збільшенні кількості та довжини імплантатів ми отримаємо покращення в напруженнях.

Прерогатива вибору циліндричних та гвинтових імплантатів залишається за стоматологом.

Висновки

Дипломна робота присвячена вивченню напружено-деформованого стану конструкцій з використанням пакету Femlab 3.3 А саме, моделюванню та розрахунку пружних систем типу "Імплантат - протезна конструкція - кісткова тканина щелепи людини”.

Основні результати роботи полягають в наступному:

2.      Для задачі було сформульовано варіаційну постановку і побудовано відповідну систему лінійних алгебраїчних рівнянь.

.        Проведено аналіз сучасного математичного пакету Femlab 3.3для розв’язування крайових задач просторової теорії пружності.

.        Розглянуто числові приклади відшукання напружень в зоні кісткової тканини під імплантатом при конкретних значеннях параметрів задачі. Для цього побудовано ряд моделей системи "Імплантат - протезна конструкція - кісткова тканина щелепи людини” в пакеті Femlab.

.        Проведено аналіз отриманих результатів, та визначено кількості та довжини імплантатів для нормального функціонування протезної конструкції.

.        Проведено порівняльний аналіз пунктів 4 та 5 при моделюванні поставлених проблем за допомогою циліндричних та гвинтових імплантатів.

Список використаних джерел

1.      Бавда Г.І. Моделювання та розрахунок пружних просторових систем типу "Імплантат - кісткова тканина щелепи людини. ”: Магістерська робота - Львів ЛНУ. - 2011.

2.      Божидарник В. В.; Сулим Г.Т. Елементи теорії пружності. - Львів: Світ, 1994. - 560 с.

.        Безруков В.М., Матвеева А.И., Кулаков А.А. Результаты и перспективы исследования проблем дентальной имплантологии в России // Стоматология. - 2008. - Том 81, №1. - C.52-55.

.        Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. - М.: Мир, 1984. - 428 с.

.        Метод конечных элементов в проектировании транспортных сооружений/ А.С. Городецкий, В.И. Зоворицкий, А.И. Лантух-Лященко, А.О. Рассказов. - М.: Транспорт, 2011. - 143 с.

.        Карл М., Вінтер В., Греф Ф., Віхманн М.Г., Угрин М.М., Хекманн З.М. Оцінка кінцевого елемента для визначення навантаження на кістку, зумовленого фіксацією мостоподібних протезів з опорою на імплантати/ Пер. з нім. Яремко О. // Новини стоматології, 2005. - №1 (42). - Львів. - С.6-11

.        Матвеева А.И., Гаврюшин С.С., Борисов А.Г., Амирханян А.Н. Использование математического моделирования при планировании ортопедического лечения больных с дефектами зубного ряда верхней челюсти с применением имплантантов // Панорама ортопедической стоматологии. - 2007. - №2. - С. 20-25.

.        Образцов И.Ф., Савельев Л.М., Хазанов Х.С. Метод конечных елементов в задачах строительной механики летательных аппаратов. - М.: Высш. шк., 1985. - 392 с.

.        Савула Я.Г. Метод скінченних елементів. - Київ: НМК ВО, 1993. - 96 с.

.        Секулович М. Метод конечных елементов / Пер. с серб. Ю.Н. Зуева; Под ред. В.Ш. Барбакадзе. - М.: Стройиздат, 2008. - 664 с.

.        Сєнніков О.М. Клініко-математичне обґрунтування конструювання субперіостальних імплантатів: Автореф. дис. на здобуття наукового ступеня канд. мед. Наук. Київ, 2009.

.        Зенкевич О. Метод конечных елементов в технике/ Перевод с английского. Под редакцией Победри Б.Е. / Москва.: МИР, 1975. - 542 с.

.        Теребушко О.И. Основы теории упругости и пластичности. - М.: Наука. Главная редакция физ. - мат. литературы, 1984. - 320с.

.        Хан Х. Теория упругости. Основы линейной теории и ее применения: Пер. с нем. - М.: Мир, 1988. - 344 с.

.        Чуйко А.Н., Громов О.В. Некоторые практические вопросы биомеханики мостовидных протезов // Стоматолог, 2003. - №1. - Харьков. - С.48-53.

.        Шинкаренко Г.А. Проекційно-сіткові методи розв’язування початково-крайових задач. - Київ: УМК ВО, 2011. - 88 с.

.        Дейнека В.С., Сергиенко И.В., Скопецкий В.В. Модели та методы решения задач с условиями сопряжения. - К: Наукова думка, 1998. - 614 с.

.        Jingade R. R. K., Rudraprasad I. V., Sangur R. Biomechanics of dental implants: A FEM study // The Journal of Indian Prosthodontic Society, vol.5, no.1., 2005. - Davangere, India. - P.18-22

.        Murat Sutpideler, Steven E. Eckert, Mark Zobitz, Kai-Nan An Finite Element Analysis of Effect of Prosthesis Height, Angle of Force Application, and Implant Offset on Supporting Bone // The Internation Journal of Oral & Maxillofacial Implants, vol. 19, no.6, 2004. - P.819-825.

.        Чуйко А.Н., Вовк В.Е. Некоторые сосбенности биомеханики цилиндрических и винтовых имплантатов // Стоматолог. - 2007. - № 10. - С. - 35 - 38.

.        Shinichiro Tada, Roxana Stegaroiu, Eriko Kitamura, Osamu Miyakawa, Haruka Kusakari Influence of Implant Design and Bone Quality on Stress/Strain Distribution in Bone Around Implants: A 3-dimensional Finite Element Analysis. - The International Journal of Oral & Maxillofacial Implants. - 2009. - Volume 18. - Number 3. - P.357 - 369.