Материал: Моделювання та розрахунок задачі пружності методом скінченних елементів за допомогою пакету Femlab 3.3

, , (1.6)

де вектор  визначає деформації тіла .

Оскільки, тензор деформації

 (1.7)

може бути представлений як вектор.

 - відносні зміни довжин нескінчено малих відрізків, першопочатково (до деформації) паралельних осям , , відповідно; вони вважаються додатними, якщо відбуваються видовження відрізків, і від’ємними - у випадку їх скорочення.  - суть деформації зсуву, які являють собою зміни кутів між елементарними відрізками, первинно паралельними тим координатним осям, які вказані в нижніх індексах. Деформації зсуву вважаються додатними, якщо кути між відрізками, орієнтованими в додатних напрямках координатних осей, стають гострими.

В матричній формі співвідношення Коші мають вигляд:

, (1.8)

де  - матриця диференціальних операторів

 (1.9)

Складові вектора деформації не є взаємонезалежними, а повинні задовольняти умові компабільності Сен-Венана.

Якщо з умови (1.8) виключити переміщення , то між компонентами деформації отримуємо шість диференціальних співвідношень, що називаються умовами сумісності (чи нерозривності) деформації Сен-Венана:

 (1.10)

Вважаємо також, що в областях  виконуються фізичні співвідношення узагальненого закону Гука, що встановлюють зв’язок між напруженнями і деформаціями. Згідно цього закону компоненти деформації є лінійними функціями компонент напруження. Для ізотропного тіла закон Гука в матричній формі має вигляд:

 (1.11)

де - матриця пружних констант закону Гука, яка у випадках ізотропного однорідного матеріалу може бути представлена з допомогою коефіцієнтів Ламе  і :

 (1.12)

або відповідно коефіцієнтів Юнга -  і Пуассона -

 (1.13)

при відомих зв’язках між цими елементами:

, ; (1.14)

та відповідно:

,  (1.15)

Матрична рівність закону Гука може бути представлена співвідношеннями:

;

; (1.16)

;

; ; .

де  - модуль зсуву,

. (1.17)

Розв’язавши рівняння (1.16) відносно напружень, можна представити закон Гука у формі Ляме

, ,

, , (1.18)

, ,

де , .

Рівняння (1.1), (1.4), (1.5), (1.6), (1.11) повністю визначають крайову задачу статичної взаємодії однорідного кусково-ізотропного тіла за умов ідеального контакту.

Розв’язок цієї системи можна шукати або в переміщеннях, або в напруженнях, розглядаючи відповідну систему диференціальних рівнянь. Цим двом підходам відповідають і різні варіаційні принципи (принцип мінімуму потенціальної енергії Лагранжа та принцип мінімуму додаткової роботи Кастильяно відповідно). Можна також шукати розв’язок змішаної системи (відповідно існують мішані варіаційні принципи, а також гібридні та узагальнені варіаційні методи)

Для розв’язку задач теорії пружності в переміщеннях необхідно рівняння рівноваги для точок тіла  () представити в переміщеннях. З цією метою виражаємо напруження через деформації в формі Ляме (1.18), а деформації представимо через переміщення за співвідношеннями Коші (1.16).

Отримуємо

 (1.19)

Це - рівняння Нав’є, лінійні диференціальні рівняння відносно компонент векторів переміщень . З допомогою пружних сталих Ляме вони приймають вигляд

 (1.20)

і в такій формі називаються рівняннями Ляме.

До цих рівнянь необхідно долучити граничні умови. Якщо на поверхні тіла задані переміщення, то граничні умови зводяться до вимоги, щоб в точках поверхні шукані функції  прийняли задані значення. Однак в нашому випадку геометричні умови задаються лише на частині поверхні , а на частині  задаються поверхневі навантаження і задовольняються статичні граничні умови (1.14″). Їх потрібно також записати через переміщення, в результаті чого вони приймуть вигляд:

де .

2. Варіаційне формулювання крайової задачі

2.1 Вибір варіаційного принципу

Варіаційні принципи теорії пружності дозволяють звести проблему визначення напружено-деформованого стану тіла до задачі знаходження мінімуму того чи іншого функціоналу.

На цьому базуються різноманітні прикладні методи розрахунку, за допомогою яких вдається отримати наближений розв’язок задачі, не інтегруючи систему диференціальних рівнянь теорії пружності. Варіаційні принципи є теоретичним фундаментом і методу скінченних елементів.

Як вже згадувалося, для розв’язання задачі теорії пружності в переміщеннях використовується принцип мінімуму варіаційної енергії Лагранжа.

В основі цього варіаційного принципу лежить принцип віртуальної роботи.

Принцип віртуальної роботи (принцип можливих переміщень) стверджує, що робота зовнішніх сил на можливих переміщеннях () рівна варіації потенціальної енергії деформації ().

, (2.1)

Це в свою чергу означає, що сума потенціалу зовнішніх сил і потенціальної енергії деформації при можливих переміщеннях (та  відповідно) рівна нулю, оскільки формально варіація потенціалу зовнішніх сил відрівняється від варіації роботи  лише знаком. Таким чином

 (2.2)

Величина

 (2.3)

називається повною потенціальною енергією системи, а рівність

 (2.4)

називається варіаційним рівнянням Лагранжа.

Рівняння Лагранжа стверджує, що в стані рівноваги повна енергія системи має стаціонарне значення.

Варіаційний принцип Лагранжа полягає в тому, що із всіх переміщень, що приймають задані значення на поверхні тіла, насправді мають місце ті, при яких повна енергія системи  мінімальна.

Дійсно, якщо тіло, яке знаходиться в стані стійкої рівноваги, під дією якось зовнішньої сили дещо змінить свою форму, то після ліквідації цієї дії воно знову займе первинне положення. При поверненні у вихідне положення буде вчинена робота, тобто вивільниться деяка кількість потенціальної енергії. Значить, в сусідньому положенні тіло володіє більшою потенціальною енергією, ніж в положенні стійкої рівноваги.

2.2 Варіаційна постановка задачі

Функціонал потенціальної енергії деформації складеного тривимірного тіла  можна записати у вигляді

, (2.5)

де

,  (2.6)

Відомо, що крайова задача (1.1), (1.4), (1.5), (1.6), (1.11) еквівалентна задачі мінімізації функціонала (2.6) на множині геометрично допустимих векторів , що задовольняють головні граничні умови (1.4′) та умови ідеального контакту (1.5).

Подамо задачу мінімізації функціонала (2.5) в дещо іншому записі. З цією метою введемо множину

 (2.7)

і визначимо, що кожен вектор із задовольняє умови неперервності (1.5′) на межах контакту  та головні крайові умови (1.4′).

З огляду на вирази (2.6), рівняння (1.1) та співвідношення (1.8) та (1.11) тепер можна сформулювати відповідну (1.1), (1.4), (1.5), (1.6), (1.11) задачу мінімізації у вигляді:

 (2.8)

Де

. (2.9)

3. Метод скінченних елементів

3.1 Теоретичні основи методу скінченних елементів

Метод скінченних елементів є потужним сучасним засобом наближеного розв’язування різноманітних задач математичної фізики, що є орієнтованим на ефективне використання комп’ютерів.

Основна концепція МСЕ полягає в розбитті області розрахунковою сіткою на скінченні елементи, побудові матриці жорсткості, приведенні навантаження до вузлового для кожного скінченого елемента.

Під скінченним елементом потрібно розуміти не лише деяку малу область тіла, а область тіла в сукупності із заданими в ній апроксимаційними функціями.

Кожен елемент описується характерними точками, що називаються вузлами. Вузли звичайно знаходяться в кутових або крайніх точках елемента, але можуть бути також розташовані між кутовими вузлами та в середині елемента. Дане розходження зв'язане з порядком апроксимації, що забезпечує даний скінченний елемент. Елементи, що мають тільки кутові вузли, називаються лінійними і забезпечують лінійну інтерполяцію. Елементи, що мають додаткові вузли на своїх границях між кутовими крапками, можуть забезпечувати квадратичну або навіть кубічну інтерполяцію. У першому випадку такі елементи називаються квадратичними. Відзначимо також, що існують елементи, що мають внутрішні вузли. Теоретично такі елементи забезпечують більш точний опис геометрії тіла і шуканих функцій, однак широкого поширення даний тип елементів не одержав. При наявності сучасних автоматичних генераторів сітки часто буває простіше та зручніше розбити конструкцію на більше число лінійних елементів простої форми, аніж використання елементів високого порядку. Елементи, що не мають внутрішніх вузлів, відносяться до серендипового типу.

Кожен елемент характеризується також кількістю ступенів вільності. Завдяки спільним ступеням вільності відбувається збір моделі і формування глобальної матриці жорсткості. Як ступені вільності можуть фігурувати вузлові значення невідомої функції або її похідні по просторових координатах у вузлах. У першому випадку елементи відносяться до типу лагранжевих елементів; у другому випадку - до типу ермітових елементів.

В просторових задачах найбільш поширені такі форми скінченних елементів, як тетраедри, призми та гексаедри.

3.2 Алгоритм чисельного розв’язування варіаційної задачі

Метод скінчених елементів є методом знаходження мінімуму функціоналу.

Визначимо  - скінченновимірний підпростір із розмірності . Виберемо у  базисні функції , .

Це можуть бути білінійні або квадратичні функції МСЕ. Функції  ще називаються апроксимуючими. Тоді шукані переміщення можна записати у такому вигляді:

. (3.1)

де  − загальне число степенів вільності, яке в загальному випадку не рівне числу вузлів, так як в кожен вузол може бути введено різна кількість степенів вільності.

 − cтупені вільності, які в МСЕ, як правило, забезпечуються фізичним змістом і являють собою шукані значення переміщень чи їх похідних у вузлах розрахункової сітки.