Материал: Моделювання та розрахунок задачі пружності методом скінченних елементів за допомогою пакету Femlab 3.3

Підставивши (3.1) в (2.9), одержуємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь

 (3.2)

де  - вектор вузлових значень переміщень,

 - вектор зовнішніх навантажень,

 - матриця жорсткості кусково-однорідного тіла , що утворюється із матриць жорсткості усіх елементів областей , .

Розбиття системи на скінчені елементи дає можливість представити потенціальну енергію деформації  і роботу зовнішніх сил  у вигляді сум по окремим елементам:

 (3.3)

де  - номер скінченного елемента

Це дозволяє складати елементи матриці  і вектора  із окремих компонент. Так, − елемент матриці  і − елемент вектора  визначаються по формулам:

  (3.4)

де − сумування по всіх елементах, що містять  і  степені вільності:  − компоненти матриці жорсткості і вектора зовнішніх навантажень для  скінченного елемента, тобто:

 (3.5)

 (3.6)

де  − область  скінченого елемента.

Таким чином, МСЕ дає можливість будувати розв’язувану систему рівнянь (3.2) на основі розгляду кожного окремого скінченного елемента, що є дуже зручно в реалізації і є важливою перевагою методу.

Отже, нам потрібно дискретизувати області , ,., , та на кожному скінченному елементі цих областей будувати матриці жорсткості, виходячи з пружних властивостей окремих матеріалів.

Отже, розрахунок напружено-деформованого стану конструкції в рамках лінійної теорії пружності при дії на неї статичних навантажень зводиться до розв’язку системи лінійно-алгебраїчних рівнянь. Зазвичай для цього використовують метод Гауса, метод квадратного кореня (метод Холецького), метод Зейделя та інші прямі та ітераційні методи. В результаті визначаються значення ступенів вільності. По найденому вектору ступенів вільності і апроксимаційних функціях визначається функція переміщень по всій області системи, а по ній - напруження і деформації.

3.3 Тетраедні скінченні елементи з лінійними та квадратичними апроксимаціями

Лагранжевий квадратичний скінчений елемент.

Тетраедний скінчений елемент для просторової задачі являється аналогом трикутного скінченого елемента для плоскої задачі теорії пружності.

Скінчений елемент у формі тетраедра

Введемо передумову, що переміщення вздовж осей x, y, z розподіляються по лінійному закону, тобто

Чотирьом коефіцієнтам апроксимуючого полінома ставиться у відповідність чотири степені вільності - переміщення  по напрямку осі  в кожному вузлі. Тоді апроксимація переміщень в явному виді буде виглядати так:

 (3.7)

Де

Апроксимація  виглядає аналогічно, що обумовлює в кожному вузлі три степені вільності.

Матриці жорсткості та навантаження.

Вираз для матриці жорсткості, який визначається загальним співвідношенням (3.2), можна точно проінтегрувати, так як компоненти деформації і напруження постійні всередині елемента. [10,12]

Матриця жорсткості для скінченого елемента, побудована на основі (3.5), (3.6), (3.7) буде мати вигляд (табл.3.1):

В якій прийнято:

Аналогічно, будуємо і матрицю навантажень.

4. Чисельна реалізація математичних моделей

4.1 Огляд програмного комплексу Femlab 3.3

- могутнє інтерактивне середовище, яке дає можливість розв’язувати всі види наукових і технічних задач, що базуються на диференційних рівняннях часткових похідних (PDE). Використовуючи вбудовані фізичні прикладні режими, можна формувати моделі, задаючи необхідні параметри матеріальних властивостей, навантажень, обмежень, джерел, і потоків не визначаючи явно базові рівняння. FEMLAB в цих режимах внутрішніми засобами формує систему PDE, які представляють повну модель.

Графічний інтерфейс користувача (GUI) FEMLAB містить набір геометричних інструментальних засобів (CAD) для одновимірного, двохвимірного і трьохвимірного моделювання. У цьому інтерфейсі є засіб автоматичної генерації скінчено-елементної сітки для будь-якої геометрії. В FEMLAB 3.0 підтримуються Лагранжеві елементи с поліномними функціями форми від першого до п’ятого порядку. По замовчуванню генеруються Лагранжеві елементи другого порядку. Це меню доступне, якщо вибраний конкретний прикладний режим. Крім Лагранжевих підтримуються також Ермітові елементи до п’ятого порядку. В деяких прикладних режимах підтримуються скінченні елементи спеціальних типів.

Трикутна або тетраедна неструктурована сітка автоматично створюється генератором сітки. Адаптивні алгоритми генерації і перевизначення сітки мінімізують чисельну погрішність. Є також можливість керувати параметрами генератора скінченноелементної сітки.

Коли користувач дає команду розрахувати систему, FEMLAB 3.2 спершу вибирає оптимальний алгоритм із набору сучасних вбудованих алгоритмів. Ця опція за замовчуванням як правило краща, однак користувачі можуть здійснити більш тонке настроювання алгоритмів для спеціальних випадків.

Необмежене мультифізичне комбінування

FEMLAB дає Вам можливість об'єднати будь-яке число явищ, включених у вашу систему. Ви можете або здійснювати збірку вашої моделі, поєднуючи (комбінуючи) вже готові до використання програми, або визначати ваші власні рівняння. В обох цих випадках FEMLAB дає Вам можливість установити на кількісному рівні всі можливі залежності між змодельованими явищами.

Мультифізичні можливості FEMLAB не обмежені єдиною геометрією або системою координат. У техніці й науці Ви часто зіштовхуєтеся із симетричними системами, які можуть бути описані в одномірній або двовимірній моделі, пов'язаними із системами, які описуються тривимірними моделями. У поточній версії FEMLAB Ви маєте можливість поєднувати субмоделі з різним числом вимірів в одну модель. Таке об'єднання являється важливим частковим випадком мультигеометричного моделювання.у комбінації з MATLAB і його пакетами розширення пропонує Вам закінчений пакет моделювання для наукових досліджень, технічних розробок, проектування й утворення.

Отже, моделювання в системі FEMLAB включає наступні кроки:

1.      Створення чи імпорт геометрії

2.      Генерація сітки скінченних елементів

.        Задання параметрів матеріальних властивостей в межах області, в якій проводиться пошук розв’язку і на границях

.        Розв’язування моделі

.        Пост процесорна обробка

.        Параметричний аналіз моделі

Перерахованим крокам моделювання відповідають операційні режими FEMLAB.

4.2 Побудова та розв’язування моделей з використанням Femlab 3.3

1) Створення геометрії

Для моделювання просторових задач теорії пружності Femlab 3.0 містить вбудований прикладний режим "Structural Mechanics Module / 3D”

В побудованих моделях як кісткові тканини, так і протезна конструкція моделювалися як однорідні дугоподібні балки, заокруглені на кінцях, з вирізами відповідної форми в місцях розміщення імплантатів. Імплантати моделювалися як однорідне циліндричне тіло з сфероподібним кінцем, тобто з одного кінця циліндр плавно переростає в половинку сфери.

При побудові моделі приймались наступні геометричні характеристики: ширина щелепи людини - 8 см, протезної конструкції - 7,6 см, довжина 9,4 та 7,6 см відповідно (рис.4.1). Висота кортикального шару кісткової тканини - 2 мм, губчастої - 18 мм, протезної конструкції - 8 мм, проміжок між кістковою тканиною і протезною конструкцією - 1мм.