Материал: Моделювання магнітогідродинамічних явищ

Величину струму, що протікає через довільну площадку S в судині, можна визначити як

 (2.10)

Використовуючи відомі значення U₁ та U^* (потенціал, що представлений в безрозмірному вигляді, який розрахований для довільної точки розрахункової ділянки), можна відновити розмірне поле потенціалів U = f (r; z). Маючи поле потенціалів U (r; z), можна визначити значення напруженості електричного поля як градієнт потенціалу

 (2.11)

Отриманий розподіл електричних струмів може бути використаний для визначення магнітного поля у циліндричній судині.

Для визначення магнітного поля в довільній точці скористаємося законом Біо-Савара-Лапласа в диференційній формі

 (2.12)

де dV - елемент об'єму;  - радіус-вектор від елемента провідника у розглянуту точку.

Джоулево тепло:

 (2.13)

Сила Лоренца що діє на одиницю об’єму рідини:

 (2.15)

де  - сила Лоренца;  - вектор магнітної індукції.

Рисунок 2.3 - Сила Лоренца, яка діє на одиницю об’єму рідини

Сила Лоренца є одним з параметрів, що розраховується в модулі. Вона зазначена як змінна з назвою FLtz. Поле сили Лоренца розраховується за допомогою раніше отриманих значень для густини струму та індукції магнітного поля. Компоненти (r та z) сили Лоренца:

 (2.16)

(2.17)

де  - z та r компоненти вектора густини струму,  - компонента напруженості магнітного поля.

(2.18)

Граничні умови:

для електричного поля:

 (2.19)

- для магнітного поля:

 (2.20)

- потенціал на поверхні електроду, що підводить струм, відповідає заданій силі струму; на зовнішньому електроді потенціал вважається рівним 0.

Розрахунки проводилися на різних сітках з різною кількістю і формою кінцевих елементів. Була обрана оптимальна розрахункова сітка, її елементи мають форму трикутника. Розрахункова область розбивалась нерівномірно, в залежності від градієнта електромагнітних параметрів: близько електродів сітка складається з дрібних елементів, на інших ділянках, де градієнти величин не настільки істотні, кінцеві елементи мають більші розміри. Дане розбиття дозволяє отримати максимально точні результати без великих витрат розрахункового часу. Досліджено збіжність результатів у різних ділянках досліджуваної області. Збіжність досягається вже при сітці, що містить близько 4000 кінцевих елементів.

Нижче наведені деякі результати розрахунків. На рис. 2.4 наведене векторне поле густини струму в нормалізованому вигляді. Як видно, розподіл густини струму дуже неоднорідний в обсязі розплаву. Максимальні значення густини струму локалізовані поблизу анода на відстані порядку його радіуса і стрімко зменшуються на периферії.

На рис. 2.5 наведена залежність густини струму від відстані від циліндричного електрода в різних перетинах (z = 20 мм, z = 30 мм, z = 35 мм). Вид залежностей має однаковий характер.

Контурне поле розподілу густини джоулева тепла наведено на рис. 2.6. У збільшеному вигляді представлено місце контакту циліндричного електрода і розплаву олова. Контурами обмежені області, в яких густина джоулева тепла має один порядок. Видно, що максимальна густина джерел тепла спостерігається поблизу циліндричного електрода, де найбільша густина струму. При віддаленні від електрода густина джерел тепла швидко зменшується.

Рисунок 2.4 - Векторне і контурне поле розподілу густини струму

Рисунок 2.5 - Залежність густини струму від відстані від циліндричного електрода

Рисунок 2.6 - Контурне поле розподілу джоулева тепла

На рис. 2.7 наведений розподіл густини джоулева тепла на відстані двох радіусів електродів від вісі симетрії в залежності від координати z. Наведена залежність має однаковий вигляд для будь-яких вертикальних перетинів, обраних в межах установки і між електродами.

Рисунок 2.7 - Розподіл густини джоулева тепла на відстані двох радіусів електрода від осі симетрії

2.2 Чисельне моделювання гідродинамічних полів

Турбулентність часто з'являється в промислових додатках, які включають потік рідини. Це можна вважати таким типовим станом потоку, який можливо описати тільки у статистичній формі. У цьому поданні статистичного турбулентного потоку, середня величина уявляє основний інтерес. Проте, коливання в різних точках поля також відіграють важливу роль [23].

Для опису руху рідини використовується система рівнянь Нав'є-Стокса. Але ця система є незамкненою.

 (2.21)

 (2.22)

де η ⎯ динамічна в’язкість; ρ ⎯ густина; ⎯ векторне поле швидкостей; p ⎯ тиск; ⎯ векторне питоме силове поле; t ⎯ час, с I ⎯ одиничний тензор.

Для того, щоб передбачити поведінку турбулентної системи, чисельне моделювання може знизити витрати на експерименти і прототипи обладнання. У цих моделях турбулентності важливо пояснити природу коливань навколо середнього потоку. Це включено в модуль теплообміну як осредненя за Рейнольдсом рівнянь Нав'є-Стокса (РАПН).

Рівняння Нав'є-Стокса описують основні явища транспорту маси та імпульсу. Ці рівняння можуть бути використані для моделювання турбулентного потоку, хоча це вимагає великої кількості елементів, щоб захопити всю динаміку потоку.

Для замикання усереднених за Рейнольдсом рівнянь Нав'є-Стокса використовується сукупність напівемпіричних співвідношень, в тому числі і диференціальних рівнянь, званих моделлю турбулентності. Запитання замикання системи рівнянь вирішуються на різному рівні складності, що зумовлює велику різноманітність напівемпіричних моделей турбулентності - від порівняно простих моделей нульового порядку, до моделей з кількома додатковими рівняннями переносу.

Моделі турбулентності класифікують за числом диференціальних рівнянь, що вводяться в систему на додаток до основних рівнянь руху та теплопереносу. Збільшення числа рівнянь тягне за собою залучення додаткової інформації емпіричного характеру для визначення коефіцієнтів, кореляційних функцій, а це в свою чергу, знижує універсальність моделі, дозволяючи їй описувати лише деякий клас турбулентних рухів.

Диференціальні моделі базуються на основі рівнянь переносу других моментів, зокрема рівняння переносу кінетичної енергії турбулентності і компонент тензора рейнольдсовскіх напружень. Можливості для обґрунтованого встановлення зв'язків між невідомими членами і характеристиками середньої течії виявилися досить різноманітними, що призвело до розробки великого числа моделей подібного роду.

Наведені нижче моделі застосовуються в різних інженерних розрахунках залежно від необхідної точності. Практично всі вони реалізовані в сучасних програмах розрахунку гідродинамічних течій, таких як Fluent, CFX, OpenFOAM, COMSOL Multiphysics.

. Модель Буссінеска (Boussinesq). Рівняння Нав'є - Стокса перетвориться до виду, в якому додано вплив турбулентної в'язкості.

. Модель Спаларта-Альмараса. У даній моделі розв'язується одне додаткове рівняння переносу коефіцієнта турбулентної в'язкості.

3. k-ε модель. Рівняння руху перетвориться до виду, в якому додано вплив флуктуації середньої швидкості. У даній моделі розв'язується два додаткових рівняння для транспорту кінетичної енергії турбулентності і транспорту дисипації турбулентності.

4. k-ω модель. Схожа на попередню, але замість рівняння дисипації розв'язується рівняння для швидкості дисипації турбулентної енергії.

. Модель напружень Рейнольдса. У рамках усереднених за Рейнольдсом рівнянь (RANS) вирішується сім додаткових рівнянь для транспорту напружень Рейнольдса.

. Метод великих вихорів (LES, Large Eddy Simulation). Займає проміжне положення між моделями, що використовують осереднення рівняння Рейнольдса і DNS. Розв'язуються для великих утворень в рідині. Вплив вихорів менше, ніж розміри осередку розрахункової сітки, заміняється емпіричними моделями.

. Пряме чисельне моделювання (DNS, Direct Numerical Simulation). Додаткових рівнянь немає. Вирішуються нестаціонарні рівняння Нав'є - Стокса з дуже дрібним кроком за часом, на дрібній просторової сітці.

k-ε Турбулентна модель одна з найбільш поширених моделей для індустріальних додатків. Модуль Хімічної Інженерії (Chemical Engineering Module) та Модуль передачі тепла (General Heat Transfer) містять стандартну k-ε модель. Остання використовувалася для розв’язання поставленої задачі. Ця двопараметрична модель являє собою рівняння Нав'є-Стокса, а так само два додаткові рівняння переносу і дві залежні змінні: кінетичну енергію турбулентності (turbulence kinetic energy), k, і швидкість дисипації турбулентності (dissipation rate of turbulence energy), ε, замість рівняння для масштабу турбулентності.

У режимі k-ε моделі турбулентності припускається, що потік нестисливий і що рідина ньютонівська.

Основою для аналізу потоку рідини є число Рейнольдса:

 (2.23)

де U позначає масштаб швидкості, L позначає характерну довжину. Число Рейнольдса являє собою співвідношення між інерційними і в'язкими силами. При низьких числах Рейнольдса, в'язкі сили домінують і, як правило, гасять всі порушення, що приводить до ламінарного потоку. При великих числах Рейнольдса, загасання в системі дуже низьке, даючи невеликим порушенням можливість вирости до нелінійних взаємодій. Якщо число Рейнольдса досить високе, поле течії рідини в кінцевому підсумку перебуває в хаотичному стані, званому турбулентністю.

Турбулентна в'язкість моделюється

 (2.24)

де C_μ - модельна постійна.

Рівняння переносу k можуть бути отримані шляхом взяття сліду рівнянь для напружень Рейнольдса:

 (2.25)

Рівняння для ε можуть бути отримані аналогічним чином. Отримане рівняння має вигляд:

 (2.26)

Модельні константи в наведених вище рівняннях, визначаються з експериментальних даних, та їх значення перераховані в таблиці 2.1.

Таблиця 2.1 - Модельні константи

k-ε модель турбулентності спирається на кілька припущень, найбільш важливими з яких є те, що число Рейнольдса досить високе і, що турбулентність знаходиться в рівновазі в прикордонних шарах, а це означає, що виробництво дорівнює дисипації. Припущення обмежують точність моделі, так як це не завжди вірно.

Крім того, в описі обертових потоків, модель часто показує результати, що погано узгоджуються з експериментальними даними. У більшості випадків, обмеженій точності часто віддають перевагу, з урахуванням кількості обчислювальних ресурсів, зекономлених в порівнянні з більш складними моделями турбулентності.

Граничні умови - логарифмічні функції стіни.

Турбулентність близько до твердої стіні дуже відрізняється від ізотропної турбулентності потоку, що набігає. Це повинно бути враховано в моделі, що використовується. Існують два основні підходи до врахування стін при моделюванні турбулентного потоку. Перший підхід, який використовується для моделей з низьким числом Рейнольдса, змінює рівняння додаткових умов і факторів, що визначають пристінні ефекти. У такому випадку, повинні бути уточнена сітка біля стіни, де знаходиться в'язкий підшар. Такі методи становлять інтерес для помірних числах Рейнольдса. У другому підході, який використовується в цих режимах, емпіричне співвідношення між значенням швидкості тертя і стіни замінюється тонким прикордонним шаром біля стіни. Такі відношення називаються функції стіни і вони точні при великих числах Рейнольдса і ситуаціях, коли зміни тиску вздовж стінки не дуже великі. Однак такий підхід часто може бути використаний поза його рамками дії досить успішно.

 (2.27)

Тут U-швидкість паралельно стінці, а швидкість тертя u_τ визначається

 (2.28)

де κ позначає постійну Кармана (близько 0,42), і C⁺ є універсальною постійною для гладких стін. У режимі програми, C⁺ визначається як скалярна змінна з ім'ям Cplus_chns і має значення за замовчуванням 5.5 (можна змінити це значення в діалоговому вікні "Застосування скалярних змінних"). Крім того, параметр l*, відомий як в'язкий масштаб довжини, визначається

 (2.29)

Необхідно вказати відстань δ_w або її еквівалент у в'язких одиницях . Їх внутрішнє співвідношення визначається формулою

(2.30)

Логарифмічні функції стіни  формально дійсні для значень від 30 до 100. Для великих чисел Рейнольдса, верхня межа може бути розширена до декількох сотень. Доступна у вигляді змінної dwplus_chns і визначається на кордонах. Оскільки функція стіни припускає, що потік паралельно стінці, перпендикулярна до стінки складова швидкості дорівнює нулю.

Граничні умови для k, ε і ω виводяться з припущення, що турбулентний видобуток дорівнює дисипації:

(2.31)

(2.32)

 (2.33)

При побудові моделі виникають труднощі у вигляді вільної поверхні розплаву, що деформується. У пакеті COMSOL Multiphysics 3.5a для задачі, що розв'язується, підключення модуля з сіткою, що деформується, виявилося неможливим - результати розрахунків не збігаються з істиною.

Отримані результати дають поле швидкостей обертання розплаву олова в установці. Дані результати потребують уточнення в іншому пакеті, у зв'язку з прийнятими припущеннями. На рис. 2.8 приведено поле модуля швидкостей, вектора швидкості. Видна область максимальної швидкості, в реальному експерименті в даній області спостерігається викривлення вільної поверхні - утворюється воронка. Вихор утворюється навколо циліндричного електрода. Максимум швидкості на відстані порядку радіусу електрода, а мінімум - під електродом. Метал під електродом не рухається.

Рисунок 2.8 - Поле модуля і вектора швидкості

Також видні ділянки турбулентного руху в об’ємі розплаву - закрученість ліній струму. Утворюються тороїдальні вихорі. Тобто картина руху розплаву металу є складною - окрім обертання утворюються зони завихреності.

Що стосується турбулентної в'язкості, то в деяких областях вона більше шуканої динамічної в'язкості в 100 разів. А це свідчить і про підвищення значення кінетичної енергії турбулентності.

Рисунок 2.9 - Поле турбулентної в’язкості

Висновки

В ході виконання роботи

-          Була уточнена фізична та математична модель, що описує процеси в установці з циліндричним та кільцевим електродами.

-          Адаптований пакет COMSOL Multiphysics для вирішення завдань магнітної гідродинаміки, а саме моделювання вихрового руху розплаву металу в вісесиметричній установці у зовнішньому однорідному магнітному полі.

-          Вибрана оптимальна розрахункова сітка, що залежить від градієнтів величин та вивчена збіжність результатів на різноманітних сітках. Близько електродів тріангуляційна сітка складається з дрібних елементів, на інших ділянках, де градієнти величин не настільки істотні, кінцеві елементи мають більші розміри.

-        Встановлені розподіли електромагнітних параметрів, які підтверджують гіпотезу про те, що електровихрові течії є результатом нерівномірного струморозподілу.

-          Отримані розподіли гідродинамічних параметрів розплаву металу з урахуванням сили Лоренца. Встановлений вихровий характер руху розплаву. Максимальна швидкість обертання розплаву навколо електрода 17,5 см / с.

Список використаної літератури

1.      Электровихревые течения / В.В. Бояревич, Я.Ж. Фрейберг, Е.И. Шилова и др. - Рига: Знание, 1985. - 315 с.

2.      Прикладна магнітна гідродинаміка: Навчальний посібник з теоретичного курсу / Под ред. В.Н. Тимофєєва, Е.А. Головенко-Красноярськ: Сибірський федеральний університет, 2007, С.450-452

.        Брановер Г.Г., Цинобер А.Б. Магнитная гидродинамика несжимаемых сред/ Г.Г. Брановер, А.Б. Цинобер. - М.: Наука, 1970. - 379 с.

.        Моффат Г. Возбуждение магнитного поля в проводящей среде: пер. с англ. Рузмайкина А.А./ под ред. Зельдовича Я.Б./ с предисловием Рузмайкина А.А. и Зельдовича Я.Б. М.: Мир, 1980. - 332 с .

.        Ватажин А.Б. Магнитогидродинамические течения в каналах / А.Б.Ватажин, Г.А.Любимов, С.А. Регирер // М.: Наука, 1970.- 672 с.

.        Ячиков И. М. Моделирование электровихревых течений в ванне дуговой печи постоянного тока / И. М. Ячиков, О. И. Карандаева, Т. П. Ларина. - Магнитогорск, ГОУ ВПО "МГТУ", 2008. - 234 с.

.        Малиновский В. С. Технико-экономические результаты промышленного освоения дуговых печей постоянного

тока нового поколения / В. С. Малиновский, И. Б. Власова, В. Д. Малиновский // Черная металлургия: Бюл. НТИ.- 2010, № 2. - C. 26-40.

8.      Козак О. В. Електровихревий рух розплаву в печах постійного струму з подовим електродом / Козак О. В., Семко А. Н. / / ІФЖ. 2011. - Том 84, № 2.

9.      Bradshow P. An introduction to turbulence and its measurement / P. Bradshow. - Oxford: Pergamon Press, 1971. - 232 р.

.        Волков К.Н.Моделирование крупных вихрей в расчетах турбулентных течений / К.Н.Волков, В.Н. Емельянов - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2008. - 368 с.

.        Кит Л. Г. О возможности создания и исследования двумерной турбулентности в сильном магнитном поле / Л. Г.Кит, А.Б. Цинобер // Магнитная гидродинамика. - 1971. - №3 - С.27-34.

.        Велихов Е. П. Магнитная геодинамика / Е. П. Велихов // Письма в ЖЭТФ. Том 82. - 2005. - Вып. 11. - С.785-790.

13.    G. Ruediger and R. Hollerbach, The Magnetic Universe. WILLEY-VCH

14.    Хальзов И.В. Двумерная динамика МГД-течения в кольцевом канале / И.В. Хальзов // Вопросі атомной науки и техники. Серия темоядерній синтез. - 2006. - № 1. - С. 3-17.

.        Хальзов И.В., Смоляков А.И. К расчету стационарных магнитогидродинамических течений жидких металлов в кольцевых каналах прямоугольного сечения. - ЖТФ, 2006, т. 76, № 1, с. 28-35.

16.    Численное и экспериментальное исследование структуры закрученого электровихревого течения/ В.Г. Жилин, Ю.П. Ивочкин, И.О. Тепляков [та ін.] // ТВТ. Т. 33. - 2012. - № 1. - С. 3 - 6.

17.    Жилин В.Г. Волоконно-оптические измерительные приборы скорости и давления / В.Г. Жилин. - М.: Высшая школа, 1987 -7 с.

18.    Kazak O. Modelling Vortex Fields in Metal Smelting Furnaces / Kazak O., Semko O. / / Int. Journal of Multiphysics 2010. - Volume 4 • Number 4. - P. 351 - 358.

.        ANSYS Advanced analysis techniques guide ANSYS Release 10.0. - U.S.A. Canonsburg, august 2005. - 340 р.

20.    Косінов Н.В. Фізичний вакуум і гравітація / Н.В. Косінов / / Фізичний вакуум і природа. - 2000. - N4. - С.55 - 58.

.        Comsol 3.5 a AC / DC Module User's Guide - USA Los Angeles, November 2008. - 503 р.

.        Єгоров В.І. Застосування ЕОМ для вирішення задач теплопровідності: Навчальний посібник / В.І. Єгоров - СПб: СПб ГУ ІТМО, 2006. - 77 с.

.        Comsol 3.5 a Heat Transfer Module User’s Guide - USA Los Angeles, November 2008. - 296 р.