Материал: Моделювання магнітогідродинамічних явищ

 (1.1)

Інша річ, якщо рідина виявляється провідною і поміщена в магнітне поле. Для конкретності розглянемо обертання добре провідної рідини (велике магнітне число Рейнольдса) навколо осі, паралельної магнітному полю. При зсуві елемента обсягу магнітна силова лінія виявляється вмороженою у вихідний шар і зберігається кутова швидкість елемента. Для стійкості течії необхідно, щоб кутова швидкість Ω не зменшувалась з радіусом, тобто

 (1.2)

Ця умова глобально не може бути виконана, оскільки швидкість десь перевищить швидкість світла. При цьому критерій не залежить від величини магнітного поля.

Магнітне поле дестабілізує рух рідини аж до деякого граничного значення. Сильне магнітне поле за рахунок натягу магнітних силових ліній стабілізує потік.

У природі магніторотаційна нестійкість, мабуть, спостерігається в рідкому ядрі Землі [12], в зірках, наприклад в Сонці [13]. У рідкому ядрі Землі джерелом нестійкості може бути диференціальне обертання, викликане термічною та хімічною конвекцією рідкого ядра. Диференціальне обертання викликає поява магніторотаційної нестійкості, генеруючої магнітне поле. У свою чергу поле ліквідує диференціальне обертання. У результаті взаємодія двох процесів, можливо, пояснює періодичні зриви магнітного поля з характерним часом близько 10000 років, розділені тривалими періодами (сотні тисяч років) стабільного існування поля. У Сонце МРН призводить до того, що 70 відсотків Сонця обертається як тверде тіло [13].

Для спостереження магніторотаційної нестійкості необхідно досягти досить великих (що істотно перевершують одиницю) магнітних чисел Рейнольдса, використовуючи як рідину рідкий натрій. Найбільша установка створена в Університеті Меріленда (D. Lathrop, Maryland, USA) - обертається сфера діаметром в 4 метри. Друга проблема пов'язана з створенням початкового профілю швидкості для вивчення нестійкості. Магнітне поле призводить до появи вторинних течій, а високі числа Рейнольдса призводять до збудженню гідродинамічної турбулентності. У ГНЦ РФ ФЕІ (Обнінськ, Росія) обертання збуджується струмом, що протікає поперек магнітного поля, що може дозволити виключити вторинні течії і гідродинамічну турбулентність.

Вивчення процесів, що протікають в електропровідній рідині це один з найперспективніших напрямів у науці. На даний момент не побудовані універсальні моделі для опису турбулентності. Вже існуючі моделі спираються на емпіричні константи, що різко обмежує коло застосування обраної моделі.

У силу неможливості отримати поле швидкостей в рідині, яка рухається, застосовується чисельне моделювання.

.2 Чисельне моделювання магнітогідродинамічних потоків

Всі процеси і явища можна умовно поділити на два класи: ті, що формалізуються і ті, що не формалізуються. Перші можуть бути описані математичною моделлю, тобто системою диференціальних рівнянь. Остання доповнюється крайовими умовами. Більшість процесів і явищ, що відбуваються в природі, вимагають опису складними моделями, часто тривимірними. Тому часто вони не можуть бути вирішені аналітично, і дослідники змушені застосовувати чисельні методи. Всі чисельні методи можна розділити таким чином: методи кінцевих різниць і методи кінцевих елементів. Метод кінцевих елементів - чисельний метод розв'язання крайових задач, сьогодні він застосовується при моделюванні всіляких ситуацій. В основі методу лежить принцип поділу досліджуваної області на сукупність підобластей. Звідси метод і отримав свою назву. Аналіз методом кінцевих елементів сьогодні застосовується достатньо часто, і це не дивно. Насправді, метод кінцевих елементів має ряд переваг, однак, і він не позбавлений недоліків. Основна перевага метода кінцевих елементів полягає в його універсальності, тобто можливості вирішувати практично будь-які крайові задачі. З його допомогою можна описати будь-яку область, так як, наприклад, трикутники і тетраедри легко покривають навіть складні об'єкти. У потрібних підгалузях можна легко збільшити густину обчислювальної сітки, щоб підвищити точність обчислень. Взагалі, точність розрахунків підвищується за рахунок подрібнення елементів сітки. Тим не менш, у методу кінцевих елементів є й недоліки. У першу чергу, це великий час вирішення завдань, який збільшується при подрібненні сітки, ускладненні постановки і т.п. У цьому питанні він програє методу кінцевих різниць.

Метод кінцевих елементів реалізований у великому числі програм (CAD/CAM продуктів, системах автоматизованого проектування - САПР). Це кінцево-елементні комплекси ANSYS, ADINA, Abaqus, COMSOL Multiphysics тощо. Розрахунок методом кінцевих елементів багатьох процесів в таких програмах проводиться відносно просто, сучасні версії кінцево-елементних комплексів досить зручні для користувача і легкі в засвоєнні. Звичайно, не всі можливості можуть бути реалізовані в графічному інтерфейсі. Для програмування функцій користувача в цих програмах існують вбудовані мови для написання своїх програм, модулів і макросів.

Всі ці програми для виконання аналізу методом кінцевих елементів мають основну загальну рису - в їх основі лежить метод кінцевих елементів. Однак, всі вони мають ряд особливостей і моделювання в кожному з них проводиться за своїм певним сценарієм.

Наприклад, і ANSYS, і COMSOL Multiphysics дозволяють проводити розрахунки методом кінцевих елементів багатьох процесів і явищ, а модулі користувача та функції істотно розширюють їх можливості. У ANSYS є своя вбудована мова програмування APDL (ANSYS Parametric Design language), а в COMSOL Multiphysics можна програмувати мовою, схожою з мовою Matlab (це пов'язано з тим, що раніше COMSOL Multiphysics був інтегрований в Matlab і був його модулем Femlab). Спочатку графічний інтерфейс COMSOL Multiphysics був більш дружелюбним, ніж у ANSYS, однак сьогодні по цих позиціях пакети схожі. Сьогодні обидва пакети дозволяють вирішувати широкий клас задач, в них закладені модулі для вирішення різних пов'язаних проблем, наприклад, електрогідродінаміки, термомеханики тощо. У кожному з пакетів реалізована можливість вирішення пов'язаних пружно-гідродинамічних крайових задач, обчислювальна сітка може бути рухливою. Для моделювання останньої використовується ALE-формулювання.

Кожен з пакетів в базі має достатньо потужні CAD-редактори, однак, в деяких сенсах вони не є повноцінними. Обидва пакети працюють з геометричними об'єктами як з множинами.

Редактори обчислювальних сіток в обох програмах дозволяють створювати трикутні і чотирикутні (у тривимірному випадку тетраедричні і гексаедрічні) сітки.

Основна відмінність ANSYS і COMSOL Multiphysics полягає в їхній концепції. У COMSOL Multiphysics завжди при використанні будь-якого модуля ясно видно постановка задачі, тобто користувачеві доступні і рівняння, що описують процес, і крайові умови в явному вигляді. У ANSYS, навпаки, математична постановка прихована від користувача за вибором елемента. Інженер не бачить рівнянь і крайових умов у тому вигляді, в яких їх звикли бачити фізики і математики. У ANSYS вибір елемента означає вибір рівнянь, що описують процес. У COMSOL Multiphysics вибір елемента ні до чого не зобов'язує, рівняння задаються окремо при виборі модуля або завданням їх коефіцієнтів і констант.omsol mupltiphysics - потужний пакет для виконання розрахунків методом кінцевих елементів. Сьогодні Cosmol multiphysics - це найпотужніша система, що дозволяє вирішувати практично будь-які крайові задачі методом кінцевих елементів. Останнє можливо завдяки тому, що Cosmol multiphysics дає можливість користувачам самостійно задавати рівняння, що описують той чи інший процес, а також ставити крайові умови у формах Діріхле та Неймана. Багата бібліотека матеріалів і широкі можливості завдання своїх власних матеріалів роблять можливості програми ще ширше. Сітковий генератор досить добре працює зі складною геометрією і має безліч функцій щодо поліпшення сіток. На відміну від інших подібний пакетів в Cosmol multiphysics вибір кінцевого елемента не означає вибір рівнянь, що моделюють процес. Тут елемент - число геометрична фігура, що дозволяє розбити досліджувану область на підобласті. Потужний і водночас інтуїтивно зрозумілий постпроцесор володіє всіма необхідними функціями і параметрами для візуалізації та обробки розрахункових числових даних.

.3 Експерименти, що демонструють поведінку електропровідної рідини в магнітному полі

.3.1 Двовимірна динаміка магнітогідродинамічного потоку у кільцевому каналі І.В. Хальзев (РНЦ "Курчатовський інститут")

Розглянута стадія розгону нестисливої провідної в'язкої рідини (рідкого металу) в кільцевому каналі прямокутного перерізу зі стінками кінцевої провідності. Розгін обумовлений силою Лоренца J×B, що виникає при пропущенні через рідину електричного струму перпендикулярно зовнішньому магнітному полю [14].

Досліджуються параметри стадії розгону і процес встановлення стаціонарної течії рідкого металу в експерименті, що полягає в пропущенні струму через рідкий натрій в кільцевому каналі. Особливу увагу приділено обчисленню кінцевої провідності і товщини стінок каналу. У статті представлені рівняння, що описують двовимірну динаміку магнітогідродинамічних течій в кільцевих каналах, сформульовані граничні та початкові умови для даної проблеми. Подібна система виходить при описі течії рідкого металу між двома нескінченними пластинами у вертикальному магнітному полі (гартмановська течія).

Отримані наближені аналітичні розв'язання, що описують розгін рідини між двома нескінченними пластинами; показаний зв'язок цих розв'язань з випадком кільцевого каналу. У практично важливих випадках - при великих числах Гартмана - час встановлення стаціонару сильно залежить від пристінкового відношення c_z і величини Ha. Стаціонарні величини струму, що протікають через натрій, і тороїдальної швидкості (або кутового моменту) також визначаються цими параметрами.

Також наведені результати чисельних розрахунків двовимірної динаміки рідини. Для чисельного розв'язання нелінійної системи рівнянь

 (1.3)

 (1.4)

 (1.5)

 (1.6)

де використані позначення

і введено безрозмірне число Прандтля:

з умовами

 (1.7)

 (1.8)

 (1.9)

 (1.10)

 (1.11)

використовувалася ітераційна схема Гауса-Зейделя, докладно описана в роботі [15]. Вказана схема була модифікована для розрахунку динаміки і доповнена початковими умовами на функції, що шукаються.

Кінцева провідність верхньої і нижньої стінок каналу має суттєвий вплив на стаціонарні розподіли струму в каналі і швидкості натрію.

По натрію в центральній області каналу протікає 9,8% від повного струму, а інша частина тече по стінці. Система натрій та стінка еквівалентна паралельно з'єднаним провідникам з опорами R_Na~Ha/(s_NaL) и R_w~1/(s_wd) відповідно (тут враховано, що практично весь струм в натрії тече в гартмановской шарах товщиною ~ L/Ha).

.3.2 Чисельне та експериментальне дослідження структури закрученої електровихревої течії (В.Г. Жилін, Ю.П. Івочкін, І.О. Тепляков, А.А. Гусева, Ю.Н.Токарев)

У роботі освітлені питання про електровихревий рух евтектичного сплаву в напівсферичному обсязі і показано, що силова взаємодія зовнішнього магнітного поля малої інтенсивності (наприклад, магнітне поле Землі) з електричним струмом може призвести до закручення електровихревих течій в обсязі електроплавильної ванни, утворення вторинних вихорів і корінної перебудови всієї гідродинамічної структури потоку. Проведено чисельне моделювання полів швидкості і температури, результати яких узгоджуються з наявними дослідними даними. На відміну від попередніх досліджень, тут докладно розглядається процес і фізика явища спонтанної закрутки електровихрових течій [16].

Для фізичного моделювання електровихрових течій, що мають місце в електрошлакових технологіях і при електродуговій плавці металів, була використана робоча ділянка з осьовою симетрією (див. рис. 1.2), що представляє собою мідну півсферу, заповнену евтектичним сплавом індій-галій-олово. Зміст за вагою металів у сплаві Ga - 67%, In - 20.55, Sn - 12.5%. Діаметр напівсферичної чаші, яка одночасно є великим електродом, становив 188 мм. Малий електрод (мідна півсфера діаметром 5 мм) була розташована в центрі робочої ванни і занурена в рідкий метал на глибину свого радіусу.

В якості вимірювача швидкості в обсязі сплаву, що досліджується використовувався оригінальний волоконно-оптичний перетворювач, розроблений в ОІВТ РАН [17]. Як показали результати спеціально поставлених експериментів, волоконно-оптичні перетворювачі можуть бути коректно використані для вимірювання швидкості потоків рідких металів (з подальшим застосуванням отриманих дослідних даних в якості еталону), тільки в умовах, коли градієнт температури в напрямку, перпендикулярному осі датчика не перевищує 0.2 К/мм.

Швидкість на поверхні сплаву визначалася методом візуалізації потоку за допомогою спеціальних міток - бульбашок водню, що утворюються при контакті розчину соляної кислоти налитого на поверхню металу з галієм (Ga + HCl → GaCl3 + H2).

Результати, отримані при відносно малих значеннях сили електричного струму (I ≤ 400A) і видимій відсутності горизонтальної закрутки потоку підтвердили, що інтенсивна електровихрова течія спостерігається лише в області поблизу малого електрода, а поля швидкості задовільно описуються закономірностями струменевих течій.

Подібний збіг підтверджує правильність проведених чисельних обчислень, незважаючи на те, що інтенсивність пульсацій швидкості електровихревої течії в цій області сягає ~ 20% від її осредненної складової.

У чисельних обчисленнях використовувалася RNG та k-ε модель турбулентності.

Тривимірна вісесиметрична система нестаціонарних рівнянь нерозривності, Нав'є-Стокса та енергії, в циліндричних координатах вирішувалася методом контрольного об'єму з використанням системи ANSYS Fluent.

Авторами розглянуто також одна з особливостей вісесиметричних електровихревих течій, яка проявляється в їх спонтанної закрутці. Фізичні причини виникнення цього явища досі не зовсім зрозумілі. Один з можливих механізмів виникнення руху в горизонтальній площині може бути обумовлений силовою взаємодією електричного струму, який розтікається в електропровідній рідини, з магнітним полем Землі. Прямий експериментальний доказ цього припущення пов'язаний з серйозними методичними труднощами, викликаними необхідністю усунення (компенсації) впливу зовнішніх магнітних впливів. Чисельне розв’язання поставленого завдання не представляє особливих складнощів, але попередньо необхідно перевірити застосовність чисельних методів, що використовуються, для розглянутого випадку ЕВТ. З цією метою результати обчислень були порівняні з даними спеціального експерименту. У досліді відоме зовнішнє магнітне поле, що взаємодіє з електричним струмом, який розтікається по рідкому металу (сила струму I = 400А), створювалося цим же струмом, але протікає по горизонтальній ділянці струмопроводу, розташованого на відстані 400 мм від вісі робочої ділянки. Швидкість горизонтальної закрутки на поверхні розплаву визначалася з переміщення водневих міток, а в його об’ємі за допомогою волоконно-оптичного перетворювача.

Результати проведених чисельних обчислень, достовірність яких заснована на задовільних отриманих експериментальних даних, свідчать, що зовнішні магнітні поля відносно малої інтенсивності (тобто співрозмірні з магнітним полем Землі) можуть істотно впливати на структуру електровихревих течій у рідкометалевих ваннах при різних потужнострумових технологічних процесах.

Було підтверджено, що в рідкометалевих ваннах з осьової симетрією, спонтанна азимутальна закрутка, характерна для електровихрових течій з подібною геометрією контейнера, може бути обумовлена силовою взаємодією електричного струму з магнітним полем Землі, вплив якого надзвичайно складно усунути в експерименті. За відсутності горизонтальної закрутки в об'єкті, що досліджується - напівсферичній ванні, яка заповнена рідким металом (евтектичний сплав індій - галій - олово) електровихрева течія являє собою вісесиметричний тороїдальний вихор, що обертається таким чином, що рух рідини поблизу вільної поверхні направлений у бік центрального електрода. У цих умовах течія поблизу малого електрода описується закономірностями, характерними для струменевих течій.

.3.3 Моделювання електровихрових полів у металургійних печах (Казак О.В., Сємко О.М.)

В роботі приведено моделювання електровихрових полів в металургійних печах. Розроблений та приведений детальний алгоритм розв’язання задачі та отримані результати чисельного моделювання електровихревих течій в розплаві сталі, які виконані за допомогою програмно-обчислювального комплексу ANSYS [18].