Материал: Моделирование оптимального инвестиционного портфеля

Таблица 1.

	1-
0,735	0,265	0,628	1	1,500
0,74	0,260	0,643	0,701	1,470
0,745	0,255	0,659	0,554	1,455
0,75	0,250	0,674	0,464	1,446
0,755	0,245	0,690	0,393	1,439
0,76	0,240	0,337	1,434
0,765	0,235	0,722	0,29	1,429
0,77	0,230	0,739	0,249	1,425
0,775	0,225	0,755	0,215	1,421
0,78	0,220	0,772	0,183	1,418
0,785	0,215	0,789	0,156	1,416
0,79	0,210	0,806	0,131	1,413
0,795	0,205	0,824	0,11	1,411
0,8	0,200	0,842	0,089	1,409
0,805	0,195	0,860	0,07	1,407
0,81	0,190	0,878	0,053	1,405
0,815	0,185	0,896	0,038	1,404
0,82	0,180	0,915	0,023	1,402
0,825	0,175	0,935	0,008	1,400

При значениях  вектор  всегда принимал вид, т.к. математическое ожидание доходности первого актива больше. При значениях , множество допустимых значений оказывалось пустым. Зависимость между значениями  и  легко проследить по графику:

График 1.

Нетрудно заметить, что при увеличении параметра , значение  становилось все менее чувствительным к изменению . Убывающая тенденция объясняется тем, что при увеличении , доля начального капитала, вложенная во второй актив увеличивается, т.к. дисперсия доходности второго актива значительно меньше. При небольших значениях , весь начальный капитал будет вложен в первый актив.

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

математический портфель программирование

В результате проделанной работы было исследовано применение методов выпуклой оптимизации, в том числе метод множителей Лагранжа и метод конусного программирования, относительно решения задачи поиска оптимального портфеля с заданными ограничениями. Был доказан ряд утверждений, связанных с допустимым множеством исходной задачи, сформулированы достаточные условия существования портфелей, удовлетворяющих заданным условиям. В результате работы были сформулированы необходимые и достаточные условия оптимальности инвестиционных портфелей, как в выпуклой интерпретации задачи, так и в случае, когда задача представляет из себя задачу конусного программирования. Было проведено исследование конкретного примера портфеля с двумя активами. В этом исследовании выявлена и продемонстрирована на графике зависимость вектора распределения начального капитала от одного из начальных параметров. Приведены результаты численного решения задачи для разных значений одного из начальных параметров.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Формулировка выпуклой задачи оптимизации.

(1)

Где  - переменная, по которой производится оптимизация, ,  - выпуклые функции, .

Условие Слейтера для выпуклой задачи оптимизации.

Говорится, что в выпуклой задаче (1) выполнено условие Слейтера, если существует такой , что

, .

Определение функции Лагранжа для выпуклой задачи оптимизации.

Функцией Лагранжа для выпуклой задачи (1) является функция , определяемая следующим образом:

Теорема о достаточных условиях существования решения выпуклой задачи.

Если в выпуклой задаче (1) для некоторых  выполнены следующие условия, называемые условиями Каруша-Куна-Таккера:

тогда  является решением исходной задачи (1).

Теорема о необходимых и достаточных условиях решения выпуклой задачи оптимизации.

Если в выпуклой задаче (1) выполняется условие Слейтера, то  является решением задачи тогда и только тогда, когда существуют , которые вместе с  удовлетворяют условиям Каруша-Куна-Таккера.

Формулировка задачи с ограничением в виде конуса:

(2)

Где  - переменная, по которой происходит оптимизация,, , при этом  - правильный конус.

Определение конуса в векторном пространстве.

Множество  называется конусом, если для любого  и любого

, выполнено . Если для любых  и , выполняется , то множество  называется выпуклым конусом. Запись  означает , запись  означает

, т.е.  является внутренней точкой конуса .

Определение двойственного конуса.

Пусть множество  является конусом. Тогда множество

Называется двойственным конусом.

Определение нормированного конуса.

Конус  называется нормированным конусом (norm cone).

Определение правильного конуса.

Конус  и является правильным конусом, если выполняются следующие условия:

.  - выпуклое множество.

.  - замкнутое множество.

.  - имеет внутренние точки.

. Из того, что  и , следует .

Определение - выпуклой функции.

Пусть  и является правильным конусом. Будем говорить, что функция, является -выпуклой, если для любых

 выполняется :

Условие Слейтера для задачи оптимизации с ограничениями в виде конусов.

Говорится, что в задаче (2) выполнено условие Слейтера, если существует такой , что

, ,

При этом  - выпуклая функция,  - -выпуклые функции, .

Теорема о необходимых и достаточных условиях существования решения задачи оптимизации с ограничением в виде конусов.

Если в задаче (2) выполняется условие Слейтера, то  является решением задачи тогда и только тогда, когда существуют , которые вместе с  удовлетворяют условиям Каруша-Куна-Таккера:

Формулировка задачи с ограничением в виде конуса второго порядка.

Где , ,,  - переменная, по которой происходит оптимизация, - евклидова норма.