Материал: Моделирование оптимального инвестиционного портфеля

Утверждение доказано.

Перепишем условие:

в виде ограничения в форме конуса второго порядка:

Как уже было показано ранее,  является нормой , следовательно задача принимает вид:

Что можно считать задачей с ограничением в виде конуса второго порядка.

Введем функцию ,

Заметим, что ограничение  является ограничением в виде конуса. Обозначим множество, удовлетворяющее данному условию . Нетрудно понять, что это множество является правильным конусом, т.к. оно выпукло, замкнуто, имеет внутренние точки, и из того, что  следует, что ;

Введем функцию

Тогда поставленную задачу можно переписать в следующем виде:

 (3)

Где , что является задачей оптимизации с ограничениями в виде конусов. Для дальнейшего изучения задачи докажем несколько утверждений.

Утверждение 3

Множество:

является правильным конусом.

Для доказательства этого утверждения проверим выполнение свойств, характеризующих множество  как правильный конус.

. Выпуклость  можно доказать по определению. Если

то

так как

. Докажем, что  - замкнутое множество. Рассмотрим сходящуюся последовательность : , где .

Пусть ,  Предположим, что , т.е. . Из сходимости  следует, что

.

Следовательно для некоторого небольшого  существует натуральное  выполнено . Но , следовательно , таким образом: , т.е. , следовательно  не сходится к , следовательно  не сходится к . Получаем противоречие. Значит наше предположение, что  неверно, значит , т.е. множество содержит все свои предельные точки, значит оно замкнуто.

. Понятно, что  имеет внутренние точки, если существуют . Такие точки, очевидно, существуют.

, но тогда  может принадлежать конусу , только если , что означает, что и .

Таким образом, выполняются все необходимые свойства характеризующие конус  как правильный конус. Утверждение доказано.

Утверждение 4.

Функция  является -выпуклой.

Для этого покажем, что

.

Распишем отдельно левую и правую часть неравенства:

Таким образом,

,

значит

и функция  является -выпуклой. Утверждение доказано.

Из предыдущих пунктов становится понятно, что для того, чтобы в задаче (3) выполнялось условие Слейтера необходимо, чтобы существовал такой вектор , что

Иначе говоря, требуется, чтобы множество допустимых точек имело хоть одну внутреннюю точку. Воспользуемся Утверждением 1, чтобы сформулировать утверждение об условии Слейтера для задачи (3).

Утверждение 5.

В задаче (3) выполняется условие Слейтера, если

Где

Опираясь на все доказанные в предыдущих пунктах утверждения, сформулируем необходимые и достаточные условия существования решения для задачи (3). Из теоремы о необходимых и достаточных условиях решения задачи оптимизации с ограничением в виде конусов следует, что если в задаче выполнено условие Слейтера, то  является решением задачи тогда и только тогда, когда существуют , которые вместе с  удовлетворяют условиям Каруша-Куна-Таккера. Ранее было показано в каких случаях выполняется условие Слейтера в задаче (3). Для того, чтобы определить условия Каруша-Куна-Таккера, выпишем функцию Лагранжа.

Одним из условий ККТ является равенство нулю градиента функции Лагранжа по , следовательно:

Теперь, объединяя полученные результаты, сформулируем теорему о необходимых и достаточных условиях существования решения задачи (3).

Теорема 1(о необходимых и достаточных условиях существования решения задачи (3)).

Если в задаче (3) , то  является решением задачи тогда и только тогда, когда существуют , которые вместе с  удовлетворяют условиям Каруша-Куна-Таккера:

Где .

ГЛАВА 3.ПРИМЕР ЗАДАЧИ С ПОРТФЕЛЕМ ИЗ ДВУХ ЦЕННЫХ БУМАГ

Рассмотрим случай n=2. Начнем с исследования множества допустимых значений. Вектор распределения денежных средств . Тогда исходная задача примет вид:

Где  - элементы матрицы ковариаций.

На граничных точках неравенство будет принимать вид:  и  в точках  соответственно. Стоит заметить, что если выполнено: , то весь отрезок [0,1] является допустимым, а значит, в силу линейности целевой функции, оптимальный портфель будет (1,0) либо (0,1) в зависимости от знака . Очевидно, что такой пример не представляет научного интереса. Подберем такие параметры, чтобы не все множество являлось допустимым. Рассмотрим задачу, где матрица ковариаций имеет вид: , вектор математических ожиданий доходностей активов , параметр . Будем измерять параметр  и следить за тем, как меняется вектор . Начальным значением параметра  выберем 0,735. Далее, будем увеличивать это значение на 0,005. Ниже приведены результаты численного решения данной задачи.