Материал: Моделирование оптимального инвестиционного портфеля

где все функции, задающие ограничения в форме неравенств, являются выпуклыми, и целевая функция также является выпуклой. Таким образом, полученная задача является задачей выпуклого программирования, а значит на нее распространяется теорема о необходимых и достаточных условиях существования решения. Но, перед тем как воспользоваться этой теоремой, выясним в каком случае для данной задачи выполняется условие Слейтера. С этой целью исследуем допустимое множество.

Обозначим

Заметим, что для портфелей вида , условие

 преобразуется к условию: . Следовательно, если , то существует по крайней мере одна допустимая точка. Нетрудно убедиться, что если выполнено строгое неравенство , то множество допустимых точек D содержит внутренние точки, т.е. выполняется условие Слейтера.

Сформулируем соответствующее утверждение.

Утверждение 1

Если  то существует по крайней мере одна допустимая точка в множестве D, если неравенство выполняется строго, то для задачи (2) выполняется условие Слейтера, где

Теперь можно сформулировать основную теорему.

Теорема 1(необходимые и достаточные условия существования решения задачи (2))

Если в задаче (2) выполняется  то  является решением задачи тогда и только тогда, когда существуют , которые вместе с  удовлетворяют условиям Каруша-Куна-Таккера:

Где , символом  обозначен градиент функции.

Отметим, что градиент функции Лагранжа не представляется в удобном для аналитического решения виде. В связи с этим, перейдем к следующей интерпретации поставленной задачи.

Задача конусного программирования

Перед тем, как записать поставленную задачу как задачу конусного программирования, приведем ряд определений, необходимых для дальнейшей работы.

Определение конуса в векторном пространстве.

Множество  называется конусом, если для любого  и любого

, выполнено . Если для любых  и , выполняется , то множество  называется выпуклым конусом. Запись  означает , запись  означает

, т.е.  является внутренней точкой конуса .

Определение двойственного конуса.

Пусть множество  является конусом. Тогда множество

Называется двойственным конусом.

Определение нормированного конуса.

Определение правильного конуса.

Конус  и является правильным конусом, если выполняются следующие условия:

.  - выпуклое множество.

.  - замкнутое множество.

.  - имеет внутренние точки.

. Из того, что  и , следует .

Определение - выпуклой функции.

Пусть  и является правильным конусом. Будем говорить, что функция является -выпуклой, если для любых

 выполняется :

Формулировка задачи оптимизации с ограничением в виде конусов:

Где  - переменная, по которой происходит оптимизация,, , при этом  - proper конус.

Условие Слейтера для задачи оптимизации с ограничениями в виде конусов.

Говорится, что в задаче конусного программирования выполнено условие Слейтера, если существует такой , что

, ,

При этом  - выпуклая функция,  - -выпуклые функции, .

Докажем, что  является нормой вектора  в пространстве . Для этого пошагово покажем, что выполняются все три аксиомы нормы.

. Если , то  (т.е. вектор, все компоненты которого равны 0), в силу положительной определенности матрицы ковариаций.

.выполняется неравенство треугольника:

,

что уже было показано в предыдущем пункте.

.  выполнено:  = .

Действительно,

Таким образом, выполняются все аксиомы нормы. Введем обозначение .

Двойственной к норме  пространства  называют норму , заданную на том же пространстве следующим образом:

.

Понятие двойственной нормы потребуется нам для определения конуса двойственного к нормированному. Известно, что двойственным к нормированному конусу  является конус

Утверждение 2.

Двойственной нормой к  является норма  .

Докажем это.

Пусть т.е. . Тогда

в силу того, что

Далее,

Таким образом,  . Нетрудно убедиться, что  является , для этого достаточно заметить что все неравенства из доказательства обращаются в равенства в случае, когда , т.е.  , при =1. Таким образом, двойственной нормой к  является норма