В заключении диссертации сформулированы основные результаты работы.
Основные выводы и результаты
1. В работе построена двухуровневая модель негауссовых случайных блужданий с конечной дисперсией, где из степенного распределения вероятности единичного прыжка следует негауссово распределение вероятности найти частицу после большого количества прыжков. Введение закона прыжка типа (2) позволяет единым аналитическим образом рассмотреть как обычные блуждания Леви, так и усеченные блуждания Леви. Усеченные блуждания Леви асимптотически проявили те же свойства устойчивости и масштабируемости, что и обычные.
2. Для усеченных блужданий получены аналитические асимптоты и выяснены законы масштабирования. Асимптотические усеченные блуждания Леви оказались имеющими типично безмасштабное распределение ~ R-2, которые характерны и для асимптот “чистых” блужданий Леви, но спадают с ростом R быстрее.
3. Исследованы статистические характеристики временных рядов, представляющих собой фиксации логарифмов относительных приращений цен (доходностей) акций и индексов на российском фондовом рынке. Ряды данных доходностей характеризуются короткими автокорреляциями, что повторяет поведение аналогичных величин на других фондовых рынках. Таким образом, можно утверждать, что динамику цен акций и индексов можно представить в первом приближении как случайный процесс с независимыми приращениями. Автокорреляции рядов модулей доходностей, напротив, длинные.
4. Исследованы функции распределения флуктуаций доходностей акций и индексов на российском фондовом рынке. Кумулятивные распределения вероятности флуктуаций доходностей российских акций и индексов, также как и у всех исследованных мировых индексов и акций, обладают свойством масштабной инвариантности, а асимптотика при больших флуктуациях описывается законом типа обратного куба, то есть не попадает в диапазон Леви.
5. Определено, что элементарным прыжком в схеме случайных блужданий, исходя из скейлинга средних значений доходностей акций на фондовом рынке, измеренных на различных временных интервалах, является акт совершения единичной сделки (тик цены).
6. Простая схема случайных блужданий с законом единичного прыжка () при =2 не позволяет дать точного объяснения зависимости нормированных функций распределения и кумулятивных распределений от N. Модификация схемы случайных блужданий обеспечивается за счет введения эмпирически подтвержденной зависимости величины {zi} от количества акций, торгуемых в одной сделке. В этом случае конечная зависимость кумулятивных функций распределения от количества тиков попадает в диапазон от N0.5 до N0.27, что позволяет удовлетворительно описать эмпирические распределения.
Список публикаций по теме диссертации
Основные результаты диссертационного исследования отражены в следующих публикациях:
1. Видов П.В., Романовский М.Ю. “Доходность активов российского фондового рынка: автокорреляции и распределения” // Тезисы XV международной конференции Математика. Компьютер. Образование 2008, www.mce.su
2. Видов П.В., Жуков И.А., Романовский М.Ю. “Доходность активов российского фондового рынка: автокорреляции и распределения” // Математика. Компьютер. Образование. Cб. трудов XV международной конференции. Ижевск: Научно-издательский центр "Регулярная и хаотическая динамика", 2008. Т. 1, с. 302, С. 196-201.
3. Видов П.В., Романовский М.Ю. Аналитические представления негауссовых законов случайных блужданий. Труды Института общей физики им. А.М. Прохорова, M: Наука, 2009, Т.65.
4. Видов П.В., Романовский М.Ю. Неклассические случайные блуждания и феноменология флуктуаций доходности ценных бумаг на фондовом рынке. УФН, Т. 181, 2011, С.774-778.
5. Романовский М.Ю., Видов П.В., Пыркин В.А. “Является ли тик элементарным прыжком в схеме случайных блужданий на фондовом рынке?” // Компьютерные исследования и моделирование, Т.2, № 2, 2009, С. 219-223.
6. Vidov P.V., Romanovsky M.Yu. “Analytical representation of non-Gaussian laws of random walks” // Physics of Wave Phenomena, Vol. 17, №3, 2009, C. 218-228.
7. Romanovsky M.Yu., Vidov P.V. Analytical representation of stock and stock-indexes returns: Non-Gaussian random walks with various jump laws. Physica A, Vol. 390, № 21-22, 2011, pp. 3794-3805.
Цитируемая литература
1. G. Pfister, H. Scher, “Time-dependent electrical transport in amorphous solids: As2Se3” // Phys. Rev. B, Vol.15, (1977), pp. 2062-2083.
2. P. Barthelmy, J. Bertoltti, D. Wiersma, “A Levy flight for light” // Nature, Vol. 453, (2008), pp. 495-498.
3. Cole B.J., “Fractal time in animal behavior: the movement activity of Drosophila” // Anim. Behav., Vol. 50, (1995), pp. 1317-1324.
4. D. Brockman, L. Hufnagel, T. Geisel, “The scaling of human travel” // Nature Vol. 439, (2006), pp. 462-465.
5. J.-P. Bouchaud, “Economics needs a scientific revolution” // Nature. Vol. 455. (2008), p.1181
6. Farmer, J.D., “Physicists attempt to scale the ivory towers of finance” // Computing in Science & Engineering (Nov./Dec.), (1999), p. 26-39.
7. S. Chandrasekhar, “Stochastic problems in physics and astronomy” // Rev. Mod. Phys., Vol. 15, (1943), p. 1.
8. R. N. Mantegna and H. E. Stanley, “Scaling behavior in the dynamics of an economic index” // Lett. Nature, Vol. 376, (1995), p. 46.
9. R.N. Mantegna, H.E. Stanley, “An Introduction to Econophysics: Correlations and Complexity in Finance” // Cambridge University Press: Cambridge, (2000), p. 149.
10. B.M. Hill, “A Simple General Approach to Inference About the Tail of a Distribution” // The Annals of Statistics, Vol. 3, No. 5, (1975), pp. 1163-1174.
11. Романовский М.Ю., Романовский Ю.М., “Введение в эконофизику. Статистические и динамические модели”, Москва. Ижевск: РХД, (2007), 280 с.
12. Феллер В., “Введение в теорию вероятностей и ее приложения”, Москва: Мир, (1984).
13. Bouchaud J.-P., Potters M., “Theory of Financial Risk and Derivative Pricing: from Statistical Physics to Risk Management”, Cambridge: Cambridge Univ. Press, (2003).