На правах рукописи
01.04.02 - Теоретическая физика
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени
кандидата физико-математических наук
Модели негауссовых случайных блужданий с конечной дисперсией
ВИДОВ Павел Викторович
Москва, 2013 год
Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институт общей физики им. А.М. Прохорова Российской академии наук.
Научный руководитель: Доктор физико-математических наук, главный научный сотрудник ИОФ РАН
Романовский Михаил Юрьевич
Официальные оппоненты: Доктор физико-математических наук, заведующий теоретическим отделом ИОФ РАН
Гусейн-заде Намик Гусейнага оглы
Доктор физико-математических наук, профессор физического факультета МГУ
Чеботарев Александр Михайлович
Ведущая организация:
Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Физический институт им. П.Н. Лебедева Российской академии наук, г. Москва.
Защита диссертации состоится “ “ __________ 2013 г. в 15 часов на заседании Диссертационного совета Д002.063.03 при Институте общей физики имени А.М. Прохорова РАН по адресу: 119991, Москва, ул. Вавилова, 38
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института общей физики имени А.М. Прохорова РАН.
Автореферат разослан “___”____________ 2013 г.
Ученый секретарь диссертационного совета Д002.063.03
Кандидат физико-математических наук Воляк Т.Б.
Общая характеристика работы
Актуальность темы
Случайные блуждания являются очень удобным инструментом для описания физических процессов, динамика которых имеет стохастическую природу. Случайные блуждания и диффузия, которые, по сути, являются эквивалентными процессами, исследуются уже более ста лет и являются краеугольным камнем теории стохастических процессов, которая находит применение в различных областях физики и математики, а также в социальных науках.
В последнее время все больший интерес вызывают исследования стохастических систем, не подчиняющихся Гауссовой статистике. Такие системы не подчиняются классической центральной предельной теореме (ЦПТ). Основной статистической особенностью таких систем является существенно более высокая вероятность возникновения экстремально больших флуктуаций. Зачастую в таких случаях вместо классической ЦПТ возникает ее обобщенная версия, в соответствии с которой распределение суммы независимых случайных величин описывается семейством устойчивых распределений, относящихся к более широкому классу - безгранично-делимых распределений. Негауссовские случайные блуждания наблюдаются, например, при транспорте зарядов на поверхности полупроводников [1] или в процессах диффузии в таких новых материалах, как, например, стекла Леви [2] и целом ряде других физических систем.
Необходимо отметить, что подобные процессы характерны и для большого количества нефизических систем. В частности, с ними можно столкнуться в биологических [3], социальных [4] и экономических системах, которые, безусловно, требуют тщательного исследования в условиях современного мира.
Экономические временные ряды, такие как изменения цен индексов, акций, производных инструментов или курсов валют, возникают в результате взаимодействия большого количества агентов - участников финансовых рынков и представляют собой хороший пример естественной сложной системы. Большинство используемых на практике финансовых моделей, описывающих динамику цен фондовых активов, основываются на представлениях о классическом гауссовом поведении случайного процесса. К таким моделям относятся базовые модели ценообразования опционов, модели управления рисками и модели формирования портфелей ценных бумаг. В последние годы физики обращают все большее внимание на экономические временные ряды. Раздел науки, посвященный исследованию экономических временных рядов при помощи математического аппарата, используемого в физике, получил название эконофизика [5]. Статьи по эконофизике на сегодняшний день составляют существенную часть публикаций в таких журналах как Nature, Physica A, Physical Review. Журнал Physica A имеет специальный ежеквартальный номер, который называется Econophysics, посвященный данной тематике. В свою очередь за последние годы более 30% всех диссертаций в мире по физико-математическим наукам касаются именно эконофизических исследований [6].
Экономические кризисы последних лет в полной мере выявили несовершенство используемых моделей в экономике, поэтому исследования в этой области представляют огромный интерес как для государственных органов крупнейших государств мира, так и для широкого круга коммерческих компаний. В свою очередь технический прогресс ставит все более сложные задачи, требующие исследования систем, демонстрирующих аномальные транспортные свойства.
Цель диссертационной работы
Целью диссертационной работы является получение модели, позволяющей на микроскопическом уровне описать процесс негауссовых случайных блужданий, не обладающих пространственной или временной автокорреляцией, для случаев отсутствия моментов выше определенного порядка у функции распределения элементарных прыжков системы, а также описание при помощи полученной модели эмпирически наблюдаемых временных рядов, представляющих собой динамику цен акций и индексов на фондовой бирже.
Научная новизна
1. На основе введенного микроскопического закона прыжка степенного типа получена модель, позволяющая единообразно статистически описать системы, не обладающие длинными пространственными или временными корреляциями, но в которых наблюдаются негауссовы случайные блуждания, вне зависимости от наличия/отсутствия моментов функции распределения у закона элементарных прыжков.
2. Впервые получены точные асимптотики распределений для случая “усеченных” блужданий Леви, закон прыжка в которых не имеет моментов выше второго.
3. Исследованы статистические характеристики временных рядов, представляющих собой фиксации цен и значений российских акций и фондовых индексов.
4. Построена модель, позволяющая на основе микроскопических законов флуктуаций цен на фондовых рынках описывать макроскопические распределения флуктуаций цен на фондовом рынке.
Практическая ценность
Результаты исследований автокорреляций и распределений флуктуаций российского фондового рынка, а также модели случайных блужданий с конечной дисперсией успешно используются для управления рисками торговых операций отдельных подразделений, а также фирмы в целом в ЗАО “Финансовая компания “ИНТРАСТ”. Также полученные модели случайных блужданий могут быть применены при моделировании случайных процессов, характеризующихся негауссовой статистикой, в частности задач, связанных с аномальной диффузией.
Основные результаты, выносимые на защиту
1. Введение закона прыжка степенного типа позволяет единым аналитическим образом рассмотреть как обычные случайные блуждания Леви, так и усеченные случайные блуждания Леви. Усеченные блуждания Леви асимптотически проявляют те же свойства устойчивости и масштабируемости, что и обычные, и имеют типично безмасштабное асимптотическое распределение степенного типа, характерное и для асимптот “чистых” блужданий Леви, но спадающее с ростом величины флуктуации быстрее.
2. Ряды данных относительных логарифмических приращений цен российских акций и фондовых индексов (доходностей) характеризуются короткими корреляциями, что повторяет поведение аналогичных величин на других фондовых рынках. При этом автокорреляции рядов модулей доходностей, напротив, длинные. Динамику цен акций и индексов можно представить как случайный процесс с независимыми приращениями.
3. Кумулятивные распределения вероятности доходностей российских акций и индексов, также как и у всех исследованных мировых индексов и акций, обладают свойством масштабной инвариантности, а асимптотика при больших флуктуациях описывается законом типа обратного куба.
4. Элементарным прыжком в схеме случайных блужданий на основе анализа скейлинга средних значений доходностей акций на фондовом рынке, измеренных на различных временных интервалах, является акт совершения сделки или тик цены.
5. Модифицированная схема с зависимостью свободного параметра прыжка от количества акций в единичной сделке позволяет удовлетворительно описать эмпирические распределения доходностей акций.
Апробация работы
Полученные в диссертации результаты докладывались на трех научных конференциях “Математика. Компьютер. Образование” (в 2008, 2009 и 2010 гг.), международной конференции по экономической науке ESHIA/WEHIA (Варшава, 2008 г.), Научной сессии Отделения физических наук РАН по эволюционной экономике и эконофизике 2 ноября 2010 г., Первом всероссийском конгрессе по эконофизике в Финансовой академии при Правительстве РФ (Москва 2009 г.), Первом российском экономическом конгрессе в МГУ (Москва, 2009 г.), семинаре в теоретическом отделе ИОФАН.
Структура и объем диссертации
Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения, содержит 39 рисунков, 8 таблиц, список цитированной литературы из 98 наименований. Объем диссертации 104 страницы.
Основное содержание работы
Во введении обоснована актуальность выбранной темы, приведены общие характеристики диссертации, дан краткий обзор диссертационной работы.
Первая глава носит вводный характер и посвящена истории возникновения задачи о случайных блужданиях, а также ее строгой математической формулировке и решению. Формально задача о случайных блужданиях ставится следующим образом. Следует найти плотность вероятности того, что частица, испытав N прыжков в пространстве некоторой размерности G, окажется от места старта в интервале от до . Каждый i-й прыжок может быть произведен в интервал длин от до с вероятностью . Схема решения задачи о случайных блужданиях известна [7]. Необходимо вычислить интеграл по всему объему среды, в которую могут быть совершены прыжки:
, (1)
где - радиус-вектор положения частицы после i прыжков. В одномерном случае при наличии всех моментов у функции распределения элементарных прыжков получается обычное решение для классической броуновской частицы. Этот результат является выражением ЦПТ теории вероятностей. Важнейшим требованием в решении задачи является наличие всех моментов у закона элементарного прыжка. Точные асимптотики распределений в случае отсутствия у закона прыжка высших моментов представляют отдельный интерес и рассматриваются в данной работе. Также в главе 1 описывается предельный переход в задаче о случайных блужданиях, связывающий ее с задачами диффузии, а также модель случайных блужданий с непрерывным временем, которая позволяет перейти от дискретных блужданий к непрерывным. Кроме того, обсуждаются реальные физические и нефизические системы, в которых имеют место негауссовы случайные блуждания. Хорошо известно, что свойства негауссовых случайных блужданий присущи финансовым временным рядам, таким как ряды цен акций или фондовых индексов [8].
Во второй главе описываются основные статистические свойства финансовых временных рядов, представляющих собой фиксации относительных логарифмических приращений цен (доходности, returns) акций и фондовых индексов на различных мировых фондовых рынках на разных временных масштабах, исследованные в работах других авторов (например, см. [9]). В частности, такие временные ряды обладают короткими автокорреляциями (индексы) или же они и вовсе дельта-коррелированы во времени (акции). Можно говорить о том, что данный процесс представляет собой случайные блуждания с независимыми приращениями. В свою очередь функции распределения флуктуаций исследованных временных рядов отличаются от распределения Гаусса, возникновения которого можно было бы ожидать в следствие ЦПТ. Эти распределения характеризуются медленно спадающей асимптотикой (толстыми хвостами) и обладают свойством масштабной инвариантности для большого диапазона временных масштабов. При этом если центральная часть распределения достаточно хорошо описывается симметричным устойчивым распределением Леви, то “хвосты” распределения, хотя и обладают более слабо спадающей асимптотикой по сравнению с распределением Гаусса, все же спадают быстрее “хвостов” распределения Леви. Хвостовая часть эмпирического распределения хорошо описывается степенным законом вида , что говорит о наличии второго момента у данного распределения. Эти свойства временных рядов доходностей характерны для широкого спектра исследованных мировых фондовых рынков.
Для того чтобы перейти к негауссовым случайным блужданиям, необходимо расширить задачу о случайных блужданиях, поставленную в главе 1 данной работы, для случаев отсутствия у законов элементарных прыжков частицы всех моментов функции распределения. Решению такой задачи для случаев отсутствия всех моментов функции распределения выше первого и выше второго посвящены соответственно разделы 3.1 и 3.2 главы 3. Необходимо рассмотреть одномерные случайные блуждания с законом элементарного прыжка , не дающего всех конечных моментов, но обладающего нормировкой, и вычислить интеграл (1). Для этого введен степенной закон, где для малых прыжков предполагается ограниченность и гладкость:
(2)
Здесь C1 - константа, определяемая требованием нормировки, z - константа, имеющая смысл некоторой характерной длины прыжка, - степенной параметр. В разделе 3.1 рассмотрен случай, когда закон прыжка (2) не имеет моментов выше первого. Такая схема реализуется при в>1/2. Функция распределения с законом прыжка (2) сводится к функции распределения Леви: