Автореферат: Модели негауссовых случайных блужданий с конечной дисперсией

, (3)

где K - частота в преобразовании Фурье, N - число прыжков, Г - гамма-функция. Закон распределения блужданий Леви характеризуется медленно спадающей асимптотикой, т.е. значительным количеством больших флуктуаций. Действительно, асимптотикой (3) является

, , (4)

т.е. асимптотика распределения Леви укладывается в диапазон от 1/ до 1/³. Распределение Леви обладает одним интересным свойством. Если поделить асимптотику (4) на асимптотику закона прыжка (2), получим

(5)

Это выражение означает, что большие флуктуации могут возникать посредствам одного прыжка (R=r при N=1).

В разделе 3.2 рассмотрен случай, при котором закон прыжка не имеет моментов выше второго, то есть он обладает конечной дисперсией. Процесс, возникающий в таком приближении, можно назвать “усеченными” блужданиями Леви, так как он обладает более быстро спадающей асимптотикой по сравнению с распределением Леви. Используется тот же закон прыжка (2), где теперь > 3/2. При небольших флуктуациях до R ~ 10z эти распределения хорошо аппроксимируются соответствующей гауссовой функцией

(6)

Этот факт является выражением ЦПТ для таких случайных процессов [12]. Гауссова функция справедлива вплоть до флуктуаций, в раз больших характерной средней величины z [13].

В области больших флуктуаций определена ранее не известная точная асимптотика функции распределения. Показано точно, что асимптотическое поведение плотности распределения “усеченных” блужданий Леви может быть описано для любого законом

. (7)

Зависимость среднеквадратичного отклонения от времени имеет вид

(8)

Выражение для усеченных блужданий Леви может быть нормировано на средний квадрат R. В этом случае все гауссовы асимптоты (для малых R) при любом в становятся одинаковыми. В то же время асимптоты (7) становятся пропорциональными N^-1/2.

Рис.1. Кумулятивная функция распределения усеченных блужданий Леви при в =2 (ось Y), нормированная на R = N^1/2z (ось X). Сплошная линия: N = 1, штриховая линия: N = 60, точки: N = 450.

На рис.1 показана кумулятивная функция распределения усеченных блужданий Леви при в = 2. Хорошо видна разница между кривыми для разных значений N. Кумулятивные распределения при любых в ведут себя аналогичным образом.

Таким образом, введение закона прыжка типа (2) позволяет единым аналитическим образом рассмотреть как обычные блуждания Леви, так и “усеченные” блуждания Леви.

Глава 4 посвящена применению полученных моделей негауссовых случайных блужданий для описания реальной системы, в которой такие блуждания имеют место. Учитывая факты, изложенные в главе 2, рассматривается динамика доходностей акций и индекса российского фондового рынка. Ранее достаточно подробные исследования статистических характеристик временных рядов, представляющих фиксации цен российских ценных бумаг не проводились. Разделы 4.1 и 4.2 непосредственно посвящены исследованию статистических характеристик данных временных рядов и их сравнению с результатами, полученными для других рынков (например, см. [6, 8, 9]). Временные ряды доходностей российского фондового индекса РТС, также как и его аналоги на зарубежных рынках, обладают короткими автокорреляциями с характерным временем около 0,85 мин. В свою очередь доходности акций и вовсе дельта-коррелированы во времени. Функция распределения флуктуаций доходностей на российском рынке определялась для различных масштабов фиксации данных - от 1 мин до 1 дня. Также как и на всех западных рынках, эти распределения обладают свойствами масштабной инвариантности (при перенормировке на величину стандартного отклонения все функции становятся близкими) и характеризуются медленно спадающей асимптотикой для больших флуктуаций вида (рис.2). Асимптотика распределения была определена при помощи метода Хилла [10], который является одним их наиболее распространенных способов оценки показателя степени для степенных зависимостей. Таким образом, можно утверждать, что указанные свойства являются универсальными как для российского рынка, так и для всех исследованных рынков зарубежных стран.

случайный блуждание негауссовый фондовый

Рис.2. Кумулятивные распределения положительной флуктуаций доходности индекса РТС, двойной логарифмический масштаб. Звезды - положительная часть пошагового распределения. Квадраты - положительная часть распределения 15-мин доходности. Круги - положительная часть распределения однодневной доходности, треугольники - положительная часть распределения месячной доходности.

Еще одним интересным свойством, которое можно наблюдать в исследованной в данной работе системе, описывающей поведение российских и зарубежных акций и индексов, является длинная память во временных рядах, формируемых модулями доходностей. При этом время автокорреляции таких рядов на российском фондовом рынке составляет несколько месяцев. Несмотря на это, на основании выявленных свойств временных рядов доходностей акций и индексов можно утверждать, что процесс, который они представляют, является вариантом случайных блужданий с независимыми приращениями и с негауссовой асимптотикой распределений.

Прежде чем переходить к непосредственному применению теоретических моделей, необходимо рассмотреть вопрос о том, какие эмпирические данные соответствуют элементарному прыжку в схеме случайных блужданий? Этому посвящен раздел 4.3. Минимальный масштаб изменения цены, по которому можно корректно построить эмпирические распределения (в силу имеющихся в базе данных) равен 1 мин. Более высокочастотные данные, доступные нам, представляют собой уже фиксации цен отдельных сделок (тиков цены), временной интервал между которыми является случайной величиной. Необходимо ответить на вопрос, является ли тик элементарным прыжком в схеме случайных блужданий?

Эмпирические данные позволяют легко определить среднее значение временного интервала между отдельными изменениями цены и собственно характерный масштаб этого изменения . Если тик цены является минимальным масштабом процесса, то эти две величины должны удовлетворять функциональной связи, определяющей зависимость дисперсии от числа прыжков (учитывая, что N ~ t), полученной в рамках модели. Дисперсия ряда доходностей, исходя из модели, при в=2 равна N^1/2z. Эмпирические данные фиксаций доходностей для временных масштабов мин. позволяют построить удовлетворяющую теоретической модели зависимость для этих временных масштабов (рис. 3, линия - 1). Если точка с координатами принадлежит экстраполяции данной зависимости (пунктирная линия), то можно говорить о том, что тик и является минимальным масштабом процесса. Зафиксировав вычисленное значение , можно сравнить, эмпирически определенное значение с временным интервалом , соответствующим экстраполяции. Различие данных величин для акций Сбербанка составляет всего 3%. Таким образом, именно тик является единичным прыжком в схеме случайных блужданий.

Рис. 3. Зависимость средней доходности акций ОАО “Газпром” от частоты фиксации значений (линия 1). Экстраполяция данной величины (пунктирная линия). Линия 2 - теоретическое значение среднего времени между двумя тиками. Линия 3 соответствует уровню средней тиковой доходности.

Раздел 4.4 посвящен применению полученных теоретических моделей для описания эмпирически наблюдаемых данных временных рядов доходностей российских акций и индекса РТС. Характеру асимптотики для больших флуктуаций, очевидно, соответствует форма распределения усеченного блуждания Леви, получающегося в результате реализации теоретической схемы с законом единичного прыжка (2) при в = 2. Однако в этом случае форма распределения меняется при различных значениях N (рис. 1), чего, однако, не наблюдается в действительности (рис. 2). Для описания эмпирических данных необходимо модифицировать модель.

Первая возможность модификации модели - это попытка применения схемы случайных блужданий с непрерывным временем (CTRW) [14]. В самом деле, временные интервалы между двумя последовательными тиками могут варьироваться в широком диапазоне. Функция распределения этих временных интервалов спадает с уменьшением Дt как (Дt)^4.4. Учет времени между транзакциями не позволяет получить новые результаты в силу наличия математического ожидания величины временного интервала между тиками. Был проведен дополнительный анализ имеющихся эмпирических данных. Каждая сделка в базе данных представляет собой тройку параметров: это ее время, цена и количество акций, участвующих в сделке (объем торгов). Было обнаружено, что распределение количества акций, торгуемых в одной биржевой сделке (одном тике), Q(x), определенно попадает в диапазон Леви, то есть асимптотическая (“хвостовая”) часть распределения хорошо описывается законом вида x^-т, где 2>т>0, если рассматривать кумулятивную функцию распределения. Для российских акций были определены показатели в диапазоне 1.7 > т > 1.6 в зависимости от рассматриваемой ценной бумаги. На рис.4 показано кумулятивное распределение объема торгов в одном тике.

Рис. 4. Кумулятивное распределение объема торгов в одном тике для акций Сбербанка 21.11.2007 г. Прямой линией обозначена “хвостовая” зависимость x^-т, где т = 1.7.

Для модификации схемы усеченных случайных блужданий Леви, которая бы позволила корректно описать эмпирические данные, необходимо использовать связь стандартного отклонения z и среднего объема сделки при помощи степенного закона. Модификация модели ограничивается предположением о том, что каждое стандартное отклонение z в схеме является случайной величиной z_i, пропорциональной объему сделки в i-й транзакции. В сфере финансов этот эффект определяется выражением: “объем торгов двигает цену” [15]. Данная модификация означает, что вводится зависимость функции распределения вероятности единичных флуктуаций ф_i(r_i) от другой случайной величины z_i.

В данном случае концептуально схема снова напоминает модель случайных блужданий с непрерывным временем (CTRW). Только в качестве субординированной функции используется не распределение интервалов времени между отдельными прыжками, а распределения другой неотъемлемой величины, присущей эмпирическому ряду (объема торгов в каждой сделке). Проблема прямого применения CTRW состоит в том, что конечная функция распределения для R будет зависеть от набора случайных величин {z_i}. Например, функция распределения усеченных случайных блужданий Леви для в =2 получается в виде

. (9)

Так как все величины {z_i} имеют функцию распределения вида x^-д при больших z_i, где д 2.5-2.7, возможно усреднение (9) по каждой z_i. Тем не менее этот результат будет неверным, так как конечный вид усредненной таким образом функции не будет соответствовать экспериментально наблюдаемым данным, а именно не будет пропорционален R^-4 при больших R.

Применение простой схемы CTRW невозможно и для асимптотических значений (9), так как при больших R имеем

(10)

и набор случайных величин {z_i} дает только одну случайную величину Уz_i³. К сожалению, функция плотности вероятности распределения данной величины на хвостах имеет вид x^-2/3-д/3. Эта функция не имеет математического ожидания, которое необходимо для применения схемы CTRW.

Поэтому метод CTRW необходимо обобщить на случай отсутствия условного среднего случайной величины Уz_i³ в (10). Выражение (9) может быть исследовано на предмет зависимости от N, т.е. перенормировки. Если перенормировать величину R в (9) или соответствующее асимптотическое кумулятивное распределение

(11)

на стандартное отклонение (Уz_i²)^1/2, что мы делаем при вычислении эмпирических распределений, возникает скейлинговая зависимость выражения (11) в виде N^-1/2 в случае Уz_i³~ N . В то же время зависимость Уz_i³ от N имеет другой вид, так как функция распределения случайной величины Уz_i³ сходится к распределению Леви. Конечный результат для функции распределения имеет вид Уz_i³ ~ N^3/(д-1), и конечная наблюдаемая зависимость (11) от N после перенормировки реальной флуктуации цены R на экспериментально полученное стандартное отклонение равна

(12)

При д ~ 2.5-2.7 зависимости (12) лежат в диапазоне N^0.5 to N^0.27 (Рис. 5). Таким образом, стандартная перенормировка обеспечивает слабую зависимость всех функций распределения флуктуаций цены от количества прыжков (тиков) N. Такие форма зависимости выражения (12) от числа прыжков N позволяет описывать распределения, полученные как для российского рынка, так и для зарубежных рынков, где имеются слабые зависимости распределений от N.

Рис. 5. Кумулятивная функция распределения флуктуаций цены для в =2 (ось Y), нормированных на стандартное отклонение с д = 2,7.Сплошная линия: N = 1, пунктирная линия: N = 60, точки: N = 450.