|
а2 |
|
|
____ |
л2 |
** |
|
где |
sj^iv — дисперсия |
оценки lg TV, |
s__ = |
thtaf2 — OLIZ- |
|||
|
|
|
|
|
lg N |
я |
1 |
процентная точка ^-распределения Стыодента с |
к = п — 1 |
||||||
степенями |
свободы. |
|
|
|
|
|
|
|
Для дисперсии sfen доверительные интервалы определя |
||||||
ются по |
процентным |
точкам |
^-распределения |
Пирсона |
|||
2 |
а с к — п — 1 степенями свободы: |
|
|
||||
% |
|
|
|||||
ft,T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ks\g JV/5C |
а_<С ^ig N |
ksig N/%. . |
a • |
(1.27) |
|
|
|
ft. |
2 |
|
ft>1 |
2 |
|
Процентные точки распределения Стыодента и Пирсона содержатся во многих руководствах по статистике, например
вработе [49]. Доверительные интервалы (1.26) и (1.27) раз личны для различных выборок образцов даже при сохра нении всех условий испытаний и имеют следующий смысл: при многократном воспроизведении испытаний и построении по опытным данным доверительных интервалов эти довери тельные интервалы «накроют» истинные значения параметров
Е(lg N) и sjg N в (5-й доле испытаний. Обычно используются
значения |5 = 0,9 и (5 — 0,95.
При испытаниях на нижних уровнях разрушающих на пряжений, близких к пределу выносливости, имеются на ряду с разрушившимися образцы, выдержавшие базу испы таний. Простые линейные оценки параметров нормально го распределения для малых усеченных выборок предложены
вработе [143]. В работе [145] изложен метод определения доверительных интервалов для Е (lg N) и % ^ и даны графи
ки параметров, необходимых для вычислений. Простая оценка параметров логарифмически нормального распре деления долговечностей возможна с помощью метода разде ляющих разбиений [185]. При малых объемах усеченных выборок (до 10 образцов) достаточно хорошие оценки Е (lg N)
получаются при наличии не менее половины разрушенных из общего числа испытанных образцов. Оценки параметра разброса % Л при малых объемах выборки менее достоверны.
Долговечность TVp, соответствующую вероятности раз рушения Р (кваптильную долговечность), можно оценить,
используя |
предположение |
о нормальности величины |
lg N. |
|
тт |
„ |
* |
IgW — Я(1сЛП |
|
Нормированная случайная |
величина § = |
—---------——1 |
рас- |
|
S\*N
пределепа по нормальному закону с нулевым средним и еди ничной дисперсией. Значения этой случайной величины — М.Р, соответствующие заданным уровням вероятности Р, затабулированы и называются квантилями нормированного
нормального распределения, |
например uo.oi = |
—2,33; «о,05 = |
||
= |
—1,64; «од = |
—1,28. С |
помощью кваптилей величины |
|
£ |
квантильные |
долговечности N r можно |
оценивать по |
|
следующей формуле, в которой вместо среднего и средне
квадратического отклонения используются |
их выборочные |
оценки: |
|
N P = iQW"+up^ N. |
(1.28) |
Очевидно, что величина Np изменяется от выборки к выбор ке и необходима оценка достоверности определения Np
с учетом объема проведенных опытов и рассеяния резуль татов.
Для получения оценок долговечностей, соответствующих вероятностям разрушения Р с учетом выборочного характе-
ра оценок lg N и SIRN , можно использовать толерантные пределы [2] Nptо, определенные заменой в выражении (1.28) квантиля up на коэффициент tpto:
Npfi = Ю1елг+<р’°а1ел, |
(1.29) |
где |
|
tp,e = |
|
“1 |
|
2п |
— 2 |
|
(1.30) |
Смысл оценки Npte следующий: 1 — 0 — доля тех |
выбо |
рок результатов испытаний, использование которых при расчете предела N p j гарантирует получение консерватив
ной оценки истинного квантиля, соответствующего вероят ности разрушения Р.
Результаты усталостных испытаний па нескольких уров нях напряжений о, обрабатывают совместно с помощью ре грессионного анализа [2, 160, 175]. Предпосылками регрес
сионного анализа являются следующие |
положения: |
1. Распределение lg N для каждого |
уровня ст* является |
нормальным, результаты испытаний разных образцов ста тистически независимы.
2. Известен вид зависимости параметров нормального
распределения lg iV — Е (lg N) и % д? от х = |
о (при обработ |
ке в полулогарифмических координатах) |
или от х = lg а |
(при построении кривых усталости в логарифмических ко
ординатах) с точностью до параметров |
a, b, а2: |
|
|
Е (lg N) = а + Ъх; |
|
(1.31) |
|
ч |
|
|
(1.32) |
$1ц н (х) = |
ш (я) |
• |
|
|
|
||
С помощью линейного регрессионного анализа оцени ваются параметры теоретической линии регрессии (1.31) а и Ь, а также погрешности этих оценок. По оценке величины s2 могут быть построены кривые усталости по параметру вероятности разрушения. Приведем основные соотношения линейного регрессионного анализа. Теоретическое уравне ние регрессии удобно представить в виде
E(igN) = — b (х — х) -{- е. |
(1.33) |
ЛЛ
Оценки Ъ и е по экспериментальным данным параметров Ь не уравнения регрессии являются случайными величинами,
распределенными по нормальному закону и некоррелированны-
ЛЛ
ми [63]. Величины Ъ, е и дисперсии этих оценок sX. H S X,
а также детерминированная величина х (определяемая уров
нями напряжений о , и числом образцов H i , испытанных на уровне i) определяются по известным формулам [2, 160].
Параметры линии регрессии вычисляются так:
|
711 |
|
|
|
т |
< W i |
|
|
Е |
|
_ |
Л |
Е |
|
|
X = |
1=1 |
• |
У |
~ |
i=l |
* |
(1.34) |
771 |
1 |
m |
Е Wi n i |
|
Е |
|
1=1 |
т |
i= i |
|
|
|
||
Л |
I |
wifti (z i — *) V |
|
b — |
i= l |
1 |
|
т |
|||
|
|||
|
S |
0) ^ г (аг4 _ ■i)1 |
|
где т — число уровней |
i=l |
|
|
испытаний а*; со» = |
|||
(1.35)
ю (я*); xt — ш
(или Xi = lg Of); Hi — выборочное среднее lg N |
образцов, |
испытанных на уровне г: |
|
п; |
|
Е Уц |
(1.36) |
V i - - * * — |
|
ni |
|
iHij— lg Ny — результат /-го испытания па уровне г).
Лл
Дисперсии Ъ и е оцениваются следующим образом:
А = - _ |
Л |
|
|
л |
S2 |
2 |
- —*» |
|
|
|
Ль |
(1.37) |
||
Е wtni |
|
Е |
*)а |
|
i=i |
|
|
i=i |
|
Л |
|
|
|
|
где s2 (см. формулу (1.32)) рассчитывается так:
т |
ni |
Л |
Л / т |
\ |
= Е |
Е ®» \Уа + |
Ь |
(х; — х) — е щ Е |
щ — 2 ) . (1.3 |
1=1 7=1 |
|
\i=i |
/ |
|
Эмпирическая линия регрессии, определенная по опытным данным, имеет вид
lg N (ж) = — S (х — х) + е. |
(1.39) |
Поскольку Ъ же пекоррелированы и нормальны и, следо вательно, независимы, дисперсия lg N может быть вычисле
на по формуле
lgJV |
— х)' |
JI р2 |
(1.40) |
|
|
|
Доверительные интервалы для параметров е, Ъ и средних значений логарифмов долговечности Е (lg N) строятся с по
мощью процентных точек распределения Стыодента с числом
|
|
|
|
т |
|
степеней |
свободы к = |
щ — 2 по формулам, аналогичным |
|||
формуле |
(1.26): |
|
i=i |
|
|
|
|
|
|||
л |
|
а |
|
|
|
е — t |
a s~ <Ze <С е 4 - 1 а s~: |
|
|||
hi |
^ |
е |
|
kj "2 " е |
|
Ь— t |
a s ~ < & < b |
+ |
£ |
(1.41) |
|
h , T |
Ь |
|
k , T b |
|
|
lg N (xi) — |
< |
E (lg # ) < lg N |
o S p |
||
При исследовании влияния какого-либо фактора на кри вую усталости образцов или элементов конструкций необ ходимо учитывать, что оценки кривой усталости по экспе риментальным данным являются случайными, и поэтому сопоставлять кривые усталости необходимо на основе ста тистических критериев, изложенных в работе [2] и исполь-
л |
л |
2 |
2 |
зующих оценки Ь, |
е, а также их дисперсии |
Ъ |
и |
|
|
е |
При регрессионной обработке обычно не учитывают ре зультаты испытаний, полученные на уровнях с неразрушен ными образцами. Для учета неразрушившюгся образцов может быть применен метод максимального правдоподобия, однако это в значительной степени усложнит расчеты. Учет зависимости дисперсии lg N от уровня нагрузки существенно
не изменяет оценку линии регрессии, однако неучет этой зависимости может привести к погрешностям при построе нии кривых усталости по параметру вероятности разруше ния при малых Р . Функцию © (я) в формуле (1.32) можно задавать в точках х = Xi по результатам оценки дисперсии
Ig N иа каждом |
уровне |
о*: |
$ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
2 |
£ |
(1.42) |
w ^ = |
|
/ГГ" ; |
*1е л'<*<> = |
' 1 п . — 1 |
|
|
Чц TVl®i/ |
|
* |
|
|
Необходимость учета зависимости % ^ (х) от х, т. е. от
уровня нагрузки, проверяется применением критерия Бартлета однородности дисперсий. Если разница sfg N (л:,) для различных Хг оказывается незначимой, во всех формулах
МОЖНО ПОЛОЖИТЬ (0{ = 1.
Адекватность выбранного уравнения линии регрессии проверяется графически, а в случае испытаний на каждом уровне напряжений нескольких образцов (по 2 и более) можно применить статистический критерий, основанный на дисперсионном отношении
|
2 |
|
+ Ъ (Xi — х) — е ] У ( т — 2) |
|
F = |
i=l |
|
(1.43) |
|
т |
пг |
|||
|
|
S S
1=1 7=j
где числитель характеризует меру рассеяния эксперименталь ных данных вокруг эмпирической регрессионной кривой lg N (x)j а знаменатель — меру рассеяния эксперименталь
ных данных около своих частных средних pi. Если величина
F не превышает критического значения для выбранного
т
уровня значимости и числа степеней свободы /с, = 2 т — т;
1=1 кг = т — 2, то гипотеза адекватности линии регрессии со
храняется. Для проверки логнормальности распределения долговечностей можно использовать совместный анализ ос
татков гу для всех уровней |
о*, определяемых по формуле |
Гу = []g iVy |
lg N]/S\g JV (#i)» |
где / — номер образца, разрушенного на i-м уровне нагрузки.
С помощью вариационного ряда остатков можно про верить логнормальность распределения по подходящему кри терию или графически, на нормальной вероятностной бу маге.
По результатам регрессионной обработки данных уста лостных испытаний можно построить кривые усталости по параметру вероятности разрушения. При этом пользуются следующим соотношением:
iVP = 10(leJV)p, |
(1.44) |