Материал: Методы решения задач олимпиадного характера на факультативных занятиях по математике в девятом классе
1.4 Возможность использования задач олимпиадного
характера на факультативных занятиях
В связи с тем, что задачи олимпиадного характера являются задачами повышенного уровня сложности, для решения которых не достаточно знаний, полученных на уроках математики, а главная цель факультативных занятий - углубить знания по предмету, целесообразно использовать олимпиадные задачи на факультативных занятиях.
Однако для факультативных занятий нужно тщательно отбирать задачи олимпиадного характера. Связанно это с тем, что не все учащиеся, посещающие занятия, способны решить или понять решение некоторых сложных олимпиадных задач. Поэтому далеко не все задачи можно использовать на занятиях. При этом полное исключение олимпиадных задач из факультативного курса превратит его в простое повторение изученного на уроках материала, что не даст в полной мере достичь целей факультативных занятий.
Поэтому на занятиях должны в обязательном порядке присутствовать как задачи повышенного уровня сложности из школьного курса математики, так и задачи олимпиадного характера.
Программа факультативных занятий, выбранная мной для работы, предполагает решение олимпиадных задач различного уровня сложности. Для этого на занятиях учащимся будут предоставляться теоретические материалы, выходящие за рамки школьной программы. Используя данные материалы, учащиеся смогут решать даже сложные задачи.
Возможность предлагать учащимся для решения даже самых сложных задач олимпиадного характера связана с тем, что основной целью данной программы является подготовка учащихся к олимпиадам различных уровней.
олимпиада
математика школа факультатив
ГЛАВА
II. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
2.1 Анализ олимпиадных задач по математике
В ходе работы нами были рассмотрены и проанализированы задачи,
предлагаемые на втором этапе республиканской олимпиады по математике для
девятых классов за последние три года. В последующей таблице представлены
результаты анализа данных задач:
|
II этап республиканской олимпиады |
||
|
Год |
Критерии оценивания |
Выводы |
|
2008/2009 |
Наличие задач по геометрии. |
На олимпиаде этого года предлагается две геометрические задачи. |
|
|
Наличие задач по алгебре. |
Из пяти задач, предложенных на олимпиаде, три посвящены темам из алгебры. |
|
|
Тематика задач. |
Делимость выражения на число; Нахождение наименьшего значения многочлена; Преобразование алгебраического выражения; Планиметрическая задача на доказательство равенства отрезков; Планиметрическая задача на доказательство количества возможных вариантов построения. |
|
|
Возможность использования задач на факультативных занятиях. |
Все задачи имеют довольно простое и понятное решение, которое способно усвоить основная масса учащихся девятых классов. |
|
|
На что необходимо обратить внимание учащихся при решении данных задач. |
При объяснении данных задач внимание учащихся необходимо обратить на способы разложения многочленов на множители, а также на свойства биссектрисы треугольника. Кроме этого необходимо напомнить школьникам о таком методе доказательства, как «от противного». Вдобавок необходимо показать учащимся важность правильного построения рисунка в геометрии. |
|
2010/2011 |
Наличие задач по геометрии. |
На олимпиаде этого года представлена одна планиметрическая задача. |
|
|
Наличие задач по алгебре. |
Из пяти задач, предложенных на олимпиаде, четыре посвящены темам из алгебры. |
|
|
Тематика задач. |
Текстовая задача на движение; Алгебраическая задача на нахождение суммы дробей с иррациональностью в знаменателе; Решить уравнение четвертой степени. Планиметрическая задача на нахождение отношения длин отрезков; Логическая задача на нахождение загаданных чисел. |
|
|
Возможность использования задач на факультативных занятиях. |
Все задачи имеют довольно простое и понятное решение, которое способно усвоить основная масса учащихся девятых классов. Кроме этого третья задача показывает, что знание формул сокращенного умножения позволяет нам находить корни уравнений, степень которых больше двух. |
|
|
На что необходимо обратить внимание учащихся при решении данных задач. |
При решении данных задач необходимо обратить внимание учащихся на способы разложения многочлена на множители, кроме этого необходимо вспомнить, каким образом в математике избавляются от иррациональности в знаменателе. Также нужно напомнить о том, как находится средняя скорость. |
|
2011/2012 |
Наличие задач по геометрии. |
На олимпиаде этого года представлена одна планиметрическая задача. |
|
|
Наличие задач по алгебре. |
Из пяти задач, предложенных на олимпиаде, четыре посвящены темам из алгебры. |
|
|
Тематика задач. |
Алгебраическая задача на нахождение суммы дробей с иррациональностью в знаменателе. Данная задача была представлена на II этап республиканской олимпиады в 2010/2011 учебном году; Планиметрическая задача на доказательство равенства отрезков; Задача на раскраску; Логическая задача; Алгебраическая задача на определение вида треугольника по заданному соотношению сторон. |
|
|
Возможность использования задач на факультативных занятиях. |
В этом году на олимпиаде были представлены довольно сложные задачи. Третья и четвертая задача решаются методами, которые не включены в школьную программу, поэтому при их объяснении у школьников могут возникнуть некоторые трудности. Решение же остальных задач способно усвоить большинство учащихся. |
|
|
На что необходимо обратить внимание учащихся при решении данных задач. |
При объяснении решения данных задач необходимо обратить внимание учащихся на новый метод решения некоторых задач - метод вспомогательной раскраски. Кроме этого необходимо вспомнить, как избавляться от иррациональности в знаменателе, а также способы преобразования алгебраических выражений и способы разложения многочлена на множители. |
|
2012/2013 |
Наличие задач по геометрии. |
На олимпиаде этого года представлена одна планиметрическая задача. |
|
|
Наличие задач по алгебре. |
Из пяти задач, предложенных на олимпиаде, четыре посвящены темам из алгебры. |
|
|
Тематика задач. |
Алгебраическая задача на нахождение такого числа, при котором представленные выражения являются целыми числами; Планиметрическая задача на доказательство принадлежности некоторых точек одной окружности; Логическая задача на нумерацию с заданным условием; Алгебраическая задача на доказательство существования корня квадратного уравнения; Задача на преобразование алгебраического выражения и нахождения его значения при заданном условии. |
|
|
Возможность использования задач на факультативных занятиях. |
На олимпиаде этого года задачи значительно сложнее тех, которые были представлены в предыдущие годы. Однако при объяснении третьей и четвертой задач у учащихся не должно возникнуть особых трудностей. При этом первая, вторая и третья задачи довольно сложные, поэтому использовать их на факультативных занятиях возможно только в случае довольно хорошей подготовленности учащихся к олимпиадам по математике. |
|
|
На что необходимо обратить внимание учащихся при решении данных задач. |
При решении данных задач с классом необходимо вспомнить, как доказать, что число является целым. Кроме этого необходимо вспомнить о вписанной и описанной окружностях около четырехугольника. Также полезно еще раз обратить внимание учащихся на существование такого метода доказательства, как метод от противного. |
В результате анализа олимпиадных задач второго этапа республиканской олимпиады по математике можно отметить, что за последние пять лет сложность задач значительно повысился и решить их, опираясь только на материал, изучаемый по школьной программе очень сложно. Поэтому возникает необходимость заниматься с учащимися решением задач олимпиадного характера на факультативных занятиях, что в свою очередь вынуждает учителя выходить за пределы школьной программы и демонстрировать учащимся новые методы решения задач.
При этом на факультативных занятиях необходимо обратить внимание учащихся на следующее:
- различные способы разложения многочлена на множители;
- методы решения уравнений степени, выше второй;
- метод вспомогательной раскраски;
- метод «от противного»;
- решение основных типов текстовых задач;
- способы решения логических задач;
- способы преобразования алгебраических выражений;
- признаки делимости;
Таким образом, можно сделать следующий вывод: для решения задач
олимпиадного характера школьникам не достаточно знаний, которые они получают на
уроках, так как зачастую олимпиадные задачи выходят далеко за рамки школьной
программы. Поэтому необходимо познакомить учащихся с теоретическими сведениями,
которые очень часто применяются при решении олимпиадных задач, но не изучаются
в школе.
2.2 Разработка факультативных занятий по
математике
При написании работы нами были сформулированы конкретные цели, одна из которых - разработка конкретных занятий в соответствии с выбранной тематикой и программой, содержащих цели, содержание, формы и методы работы со школьниками.
Изучив выбранную программу факультативных занятий, нами были выделены темы, при изучении которых у школьников возникают довольно большие трудности. Среди этих тем: задачи на вспомогательные раскраски и текстовые задачи различной тематики.
При работе школьников с задачами на вспомогательную раскраску у учащихся основная проблема связанна именно с выбором способа раскраски и последующая реализация решения с опорой на полученную схему. Текстовым же задачам в школе отводится мало времени, поэтому возникает необходимость улучшить изучать их на факультативных занятиях.
В процессе написания работы нами были разработаны факультативные задания по темам: «Вспомогательная раскраска» и «Текстовые задачи».
Цели занятий:
- развитие интереса к математике, любознательности;
- углубить знания учащихся по математике;
- учить учащихся решать задачи повышенной сложности с использованием методов, выходящих за рамки программы;
- подготовить учащихся к олимпиадам по математике различных уровней.
Задачи занятий:
- способствовать формированию у учащихся навыков самостоятельной работы;
- создать условия для плодотворной работы учащихся по изучению нового материала;
- выявить и развивать потенциальные способности учащихся.
Далее представлены разработки факультативных занятий по данным темам.
2.2.1 Факультативные занятия на тему: «Вспомогательная раскраска»
Так как данная тема выходит за пределы школьной программы, на первом занятии необходимо подробно рассказать учащимся о задачах на раскраску и замощение. После этого необходимо как можно подробнее рассказать и оформить типичные задачи по данной теме.
Пример 1. На двух клетках шахматной доски стоят черная и белая фишки. За один ход можно передвинуть любую из них на соседнюю по вертикали или горизонтали клетку (две фишки не могут стоять на одной клетке). Могут ли в результате таких ходов встретиться все возможные варианты расположения этих двух фишек, причем ровно по одному разу?
Решение: не могут. Назовем расположение фишек одноцветным, если они стоят
на клетках одного цвета, разноцветным - если на клетках разного цвета. Заметим,
что при перемещениях фишек одноцветные и разноцветные расположения чередуются,
значит их должно быть поровну. Однако общее количество разноцветных
расположений равно 
, а одноцветных - 
, так как две фишки не могут стоять
на одной клетке. Значит, все возможные расположения встретиться не могут.
При решении данной задачи очень удобно использовать интерактивную доску, чтобы наглядно показать шахматную доску и во время объяснения нанести необходимые данные.
Пример 2. Школьник хочет вырезать из квадрата размером 
наибольшее количество
прямоугольников размером 
. Найти это количество для каждого натурального 
.
Решение: площадь квадрата - 
, а площадь прямоугольника - 
. Следовательно, число вырезанных
прямоугольников не превосходит
Преобразуем выражение
Следовательно, при 
количество прямоугольников, которые может вырезать школьник,
не превосходит 
.
В качестве примера, на рисунке 1 изображен способ вырезать прямоугольников для 
.
Рисунок 1. Способ разрезать квадрат 
на прямоугольники 
Осталось рассмотреть случаи при 
.
При 
необходимо из квадрата 
вырезать прямоугольники 
. Очевидно, что в этом случае ответ -
2.
При 
из квадрата 
необходимо вырезать прямоугольники 
.
Так как 
, то
Таким образом, можно вырезать не более пяти прямоугольников (пример на
рисунке 2).
Рисунок 2. Способ разрезать квадрат на прямоугольники .
При 
школьник хочет из квадрата 
вырезать наибольшее количество
прямоугольников, размером 
Получаем, что число вырезанных прямоугольников не превосходит девяти.
Допустим, школьник смог вырезать девять прямоугольников. Это означает,
что ему удалось разрезать квадрат на прямоугольники . Ясно, что линии разреза параллельны
сторонам квадрата, то есть каждая клетка полностью лежит в каком-нибудь
прямоугольнике. Пронумеруем клетки доски , как показано на рисунке 3.
Рисунок 3. Нумерация клеток доски .
Так как число клеток под номером 1 не равно числу клеток под номером 2, а
каждый прямоугольник содержит по одной клетке каждого номера, то квадрат нельзя разрезать на прямоугольники .
Следовательно, число прямоугольников не больше восьми (рисунок 4).
Рисунок 4. Способ разрезать квадрат на прямоугольники .
Пример 3. Доска 
разбита на 
единичных квадратиков. Один из них вырезали так, что
образовалась дырка. Можно ли оставшуюся часть доски покрыть равнобедренными
прямоугольными треугольниками с гипотенузой длинны 2 так, чтобы их гипотенузы
шли по сторонам квадратиков, а катеты - по диагоналям, и чтобы треугольники не
налегали друг на друга и не свисали с доски?
Решение: раскрасим доску черной и белой краской в шахматном порядке.
Допустим, что нам удалось покрыть оставшиеся 99 единичных квадратов
треугольниками (рисунок 5).
Рисунок 5. Квадрат с вырезанным единичным квадратом
Заметим, что тогда одна половина каждого треугольника белая, а другая - черная. Таким образом, покрытая площадь белого цвета равна покрытой площади черного цвета. Но с другой стороны, одна из этих площадей на 1 больше другой (в силу того, что по условию у нас один квадратик вырезали).
Получаем противоречие, которое показывает, что подобное покрытие невозможно.
В качестве домашнего задания можно предложить задачи, аналогичные решенным в классе, а также задачу на размышление, похожие на которую учащиеся еще не решали.
Домашнее задание:
Задача 1. Дан лист клетчатой бумаги. Каждый узел сетки обозначается некоторой буквой. Каким наименьшим числом различных букв нужно обозначить эти узлы, чтобы на отрезке, идущем по сторонам клетки, соединяющем два узла, обозначенных одинаковыми буквами, находился, по крайней мере, один узел, обозначенный одной из других букв?
Решение: Наименьшее число букв - две. Эти буквы необходимо расставить в
шахматном порядке, как показано на рисунке 6.
Рисунок 6. Пример решения задачи 1
Задача 2. Квадрат 
клеток выкрашен в белый цвет. Разрешается выбрать в нем
любой прямоугольник из трех клеток, и перекрасить все их в противоположный цвет
(белые в черные, черные в белые).
Удастся ли несколькими такими операциями перекрасить весь квадрат в
черный цвет? Решение: впишем во все клетки доски буквы, как показано на рисунке
7.
Рисунок 7. Квадрат с нанесенной нумерацией
На рисунке 5 видно, что первоначально белых клеток с буквой А больше, чем клеток с буквой В (А - 22, В - 21), а каждым ходом можно перекрасить ровно одну клетку с буквой А, и одну - с В.
В итоге, после раскраски, одна клетка с буквой А будет оставаться белой.
Таким образом получаем, что перекрасить весь квадрат в черный цвет не удастся.
2.2.2 Факультативные занятия на тему: «Текстовые задачи»
На первом этапе необходимо объяснить цель занятия и предложить теоретические сведения по данной теме. Для развития умения работать с литературой можно заранее предложить учащимся найти сведения по данной теме и изучить их дома самостоятельно.
При объяснении данной темы необходимо обратить внимание учащихся на то, что выделяют всего пять видов текстовых задач:
- задачи «на движение»;
- задачи «на работу»;
- задачи «на смеси»;
- задачи «на числа».
Данное факультативное занятие будет посвящено задачам «на проценты».