Материал: Методы оптимизации. методические указания для организации самостоятельной работы по курсу «Высшая математика». Пантелеев И.Н

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

F (t) — вероятность того, что за время t элемент откажет.

Надежность		элемента		или			машины		дополняетF (t) до
единицы, то есть p(t) = 1 - F (t).
Плотность		распределения			времени безотказной					работы
равна		¢	¢	График		плотности			показан на рис.
	f (t) = F (t) = q (t).
31.7. Элемент		вероятности f (t)dt есть						вероятность того,		что
время	T лежит в		пределах		от	t		до t + dt . Плотность
вероятности определяется по формуле
				f (t) =	m(Dt)		,			(1)

					NDt

где m(Dt) — число элементов, отказавших за время Dt , т. е. от t до t + dt ; N — общее число элементов.

Если Т величина	Рис. 7
Если Т величина	непрерывная, то	среднее	время
безотказной работы равно

¥¥

t = M (T ) = òtf (t)dt = òtq¢(t)dt =

0	0
¥	¥
= -òtp¢(t)dt = ò p(t)dt.		(2)
0	0

	Среднее	время безотказной		работыt	равно	площади,
ограниченной кривой надежности и осями координат(рис.
31.6). Основные показатели надежности машин, состоящих из
k	групп	элементов,	определяются		на	основании
статистического материала.			Если	число элементов в группах

равно n1 , n2 ,..., nk , а t1 , t2 ,...,tk — время наработки элементов

на отказ в каждой группе, то среднее время наработки на отказ будет

				k
		= 1/ åni / ti .					(3)
	t	= 1/ åni / ti .					(3)
				i =1
Среднее	время			восстановления			работоспособност
является	одной					из	основных	ха
ремонтопригодности машин. Пустьt1 ,t 2 ,...,t k — среднее время
восстановления элементов машины в каждой группе. В этом
случае среднее время восстановления будет
						k
						åniti / ti ,	(4)
			tB =		t	åniti / ti ,	(4)

i =1

которое определяет вероятность того, что восстанавливаемая машина в данный момент времени находится в рабочем состоянии.

Одним из комплексных показателей надежности является коэффициент готовности

							(5)
kr = t		/(t + tB ).

Время наработки на отказ ti неремонтируемых элементов

машины, число отказов в случае ремонтируемых элементов и ряд других характеристик надежности подчиняются

различным	законам					распределен. Наияболее
распространенным	в	технических					устройствах	является
экспоненциальное	распределение. Экспоненциальный							закон
надежности имеет вид
		p(t) = e-lt ,						(6)
где l — интенсивность потока событий (отказов), постоянная
величина.
Функция распределения				времени			безотказной	работы
равна F (t) = q(t) = 1 - e-lt , а плотность — f (t) = le-lt (t > 0) .
Интенсивность отказов определяется по формуле
	l(t) =		f (t)	=	m(Dt)			(7)
	l(t) =		p(t)	=	NDtp(t)			(7)
			p(t)		NDtp(t)

и характеризует среднее число отказов в единицу времени, приходящееся на один работающий элемент.

Надежность определяется через интенсивность отказов по формуле

		-t
		òl (t )dt		(8)
		p(t) = e 0	.	(8)
Если l(t) = l - const ,		то	формула (8)	выражает
экспоненциальный закон надежности (6).
2°.	Надежность	простой	системы. Под	простой
системой будем понимать такую систему элемент, овтказ
любого элемента которой равносилен отказу системы в целом.
Простая	система с	точки зрения надежности		представляет

схему последовательного соединения элементов (рис. 8).

Рис. 8 Надежность простой системыР, составленной из п

независимых по отказам элементов, равна произведению надежностей ее элементов

P = Õ pi

i =1
где pi — надежность i -го элемента.
Если p1 = p2 = ... = pn , то формула (9) примет вид
P = p n .	(10)

При последовательном (в смысле надежности) соединении независимых по отказам элементов интенсивности отказов складываются и интенсивность отказов простой системы равна

n
L(t) = åli (t).	(11)

i=1

Действительно, выразим интенсивности отказов простой

системы L(t) ) через		интенсивности			отказов		отдельных ее
элементов li (t) . Согласно			определению			надежности		через
интенсивность (8), имеем
			t
			-òL(t )dt	;
		P(t) = e 0		;
	t
	-òli (t )dt
	pi (t) = e 0	(i = 1,2,..., n).				(12)
Подставляя выражения (12) в выражение (9), получим
	t	t	t		t
	-òL(t )dt	-òl1 (t ) dt -òl2 (t )dt			-òln (t )dt
	e 0	= e 0	e 0		...e 0	=
	t				t n
	-ò[l1 (t )+l2 (t )+...+ln (t )]dt				-òåli dt
	= e 0			= e 0 i =1		,
откуда и следует соотношение (11).
3°. Надежность			резервированной				системы. Для
повышения	надежности		в систему			включают		резервные
элементы	«параллельно»		тем,	надежность			которых
недостаточна (рис. 9).


		Рис. 9
Если	основной	элементЭ1		отказал, то	система
переключается автоматически на резервный элемент Э2 и т. д.
Переключение безотказное, надежность переключения рпр = 1.
Вероятности	безотказной	работы		элементов	обозначим	за
р1 , р2 ,..., рn ,	а ненадежность		элементов, соответственно, за
q1 , q2 ,..., qn .	Ненадежность		всей	системы	будет	равн

произведению ненадежностей элементов

	Q = q1 × q2 ×...× qn .		(13)
Поскольку надежность системы равна P = 1 - Q , то
	P = 1 - q1 × q2 ×...× qn = 1 - (1 - p1 )(1 - p2 )...(1 - pn ) =
	n
	= 1 - Õ(1 - pi ).		(14)
	i=1
Если	надежности	всех	элементов	оди
p1 = p2 = ... = pn , то соотношения (14) примут вид
	P = 1 - (1 - p)n .		(15)

Вобщем случае в резервированных системах могу

использоваться	как «параллельные»,	так	и
«последовательные» соединения элементов (рис. 10).

Рис. 10

Полагаем, что все надежности элементов равны p , тогда надежность каждой «строки» равна p m (t) , где т — число последовательных элементов в «строке». Поскольку «строки»

представляют «параллельные» соединения	элементов, то по
формуле (15) получим
P = 1 - (1 - p m )n ,	(16)

здесь n — число «строк».

При оценке надежности сложной системы ее следует разделить на ряд подсистем, не имеющих общих элементов, и найти надежность каждой из них, а затем системы в целом.

Смотрите также:

[2 курс] Программная инженерия (Ситанов)
[Template] Практика з Господарського права № 3
00278
02_Биномиальное распределение 2
04. Система дыхания - легочные синдромы
0501_5+6
06. ФОС
1-1
11
11 Горм +