Материал: Методы оптимизации. методические указания для организации самостоятельной работы по курсу «Высшая математика». Пантелеев И.Н
4°. Предположим теперь, что переключение на резервный элемент имеет надежность, меньшую единицы.
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Пусть |
|
переключение |
|
|
|
|
|
на |
|
|
резервный |
|
|||||||
осуществляется |
одним |
|
переключателем(рис. 11) |
с |
|
|||||||||||||||
надежностью рпр . |
Рассматривая |
резервную |
систему |
как |
блок |
|
||||||||||||||
параллельных соединений элементов, а переключатель и блок |
|
|||||||||||||||||||
резервных |
элементов |
|
как |
|
|
|
последовательную, находим |
|
||||||||||||
надежность этой подсистемы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
¢ |
= (1 - (1 - p2 )(1 - p3 )...(1 - pn )) pпр . |
|
|
(17) |
|
|||||||||||||
|
|
p2 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
Отсюда надежность всей системы будет |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
P = |
|
|
|
|
|
|
¢ |
|
|
|
|
|
(18) |
|
||
|
|
|
|
1 - (1 - p1 )(1 - p2 ). |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Если |
каждый |
|
|
|
резервный |
элемент |
имеет |
|
|||||||||||
переключатель, соответственно, с надежностью |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
pпр (2) , pпр |
(3) ,..., |
pпр (n) , |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
то, |
объединяя |
переключатели |
|
и |
|
резервные |
элементы |
в |
||||||||||||
последовательные |
цепи, |
в |
выражении (14) |
|
надежность |
|
||||||||||||||
резервного |
элемента |
|
|
следует |
|
|
|
|
умножить |
|
|
на |
надежнос |
|||||||
переключателя |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P = 1 - (1 - p )(1 - p |
2 |
p |
пр |
(2) )(1 - p |
3 |
p |
пр |
) ×... ×(1 - p |
n |
p |
|
(n) ). |
(19) |
|
|||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
пр |
|
|
|||||||
|
Здесь надежность любого резервного элемента не зависит |
|
||||||||||||||||||
от того, включился он в работу или нет. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
5°. Надежность резервной линии. Пусть линия имеет две |
|
||||||||||||||||||
резервные машины. Считаем, что потоки отказов простейшие, |
|
|||||||||||||||||||
т. |
е. интенсивности отказов |
постоянные и |
|
что |
линия |
с |
||||||||||||||
39
холодным резервом. При отказе машиныМ1 включается машина М 2 , а при отказе М 2 включается М 3 . До включения каждая из резервных машин находится в холодном резерве и отказать не может. Пусть l1 — интенсивность потока отказов основной машины, l2 — остальных машин. Представим процесс, как Марковский случайный процесс (рис. 12).
Рис. 12
Введем обозначения: S1 — работает основная машина;
S 2 — работает первая из резерва машина; S3 — работает вторая из резерва машина; S 4 — не работает ни одна машина. Система уравнений Колмогорова для вероятностей состояний будет
|
|
|
|
dp1 |
|
= -l p ; |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
dp2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
= -l |
2 |
p |
2 |
+ l p ; |
|
||||||
|
|
|
|
||||||||||
|
dt |
|
|
1 |
1 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
dp3 |
= -l2 p3 + l2 p2 ; |
(20) |
|||||||||||
|
|||||||||||||
dt |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
dp4 |
= l2 p3 . |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
dt |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Добавим к системе нормировочное условие p1 + p2 + p3 + p4 = 1.
Интегрируя первое уравнение при P1 (0) = 1, получим
p1 (t) = e-l1t .
Подставляя во второе уравнение, будем иметь
dp2 = -l2 p2 + l1e-l1t . dt
40
Интегрируя с начальным условием P2 (0) = 0, |
получим |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
p2 (t) = |
|
|
|
l1 |
|
|
|
|
e-l1t - |
|
|
l1 |
|
|
|
e-l2t . |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l2 - l1 |
|
|
|
|
|
|
l2 - l1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Подставляя в третье уравнение, будем иметь |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
dp3 |
= -l |
2 |
p |
3 |
+ |
l1l2 |
|
e -l1t - |
l1l2 |
|
e-l2t . |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
l |
2 |
- l |
|
|
|
|
|
l |
2 |
- l |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||
При p3 (0) = 0 , после интегрирования |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
p |
3 |
(t) = |
|
|
l1l2 |
|
|
e-l1t - |
|
|
|
|
l1l2 |
|
|
|
e-l2t |
- |
|
|
|
l1l2t |
|
e -l2t . |
||||||||||||||||||||
|
(l |
2 |
|
- l )2 |
|
(l |
2 |
- l )2 |
|
(l |
2 |
- l )2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||||||
Для |
|
|
|
|
|
|
нахождения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
функцииp (t) |
|
воспользуемся |
||||||||||||||||||||||||
нормировочными условиями, тогда |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
p4 = 1 - p(t) = 1 - ( p1 + p2 + p3 ) = |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
= 1 - e-l1t - |
|
l1 |
|
|
|
|
e -l1t + |
|
l1 |
|
|
|
|
e-l2t - |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
l2 - l1 |
l2 - l1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
- |
|
l1l2 |
e-l1t + |
|
|
|
l1l2 |
|
e-l2t + |
|
|
|
|
l1l2t |
|
e-l2t . |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
(l |
2 |
- l )2 |
(l |
2 |
- l )2 |
|
(l |
2 |
- l )2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||||
8.1. Интенсивность |
|
отказов |
элемента задана |
графически |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(рис. 13). Найти закон |
|
|
надежностиp(t) |
|
|
и |
среднее время |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
безотказной работы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Рис. 13 Решение. Из рисунка находим, что интенсивность отказов
на участке (0,1) меняется по закону l(t) = 2 - t а на участке t > 1 постоянна и равна l = 1 .
Надежность на участке (0,1) по формуле (8) будет
41
t |
|
|
t 2 |
|
-ò( 2-t )dt |
= e |
-(2t - |
) |
|
p (t) = e 0 |
2 . |
|||
1 |
|
|
|
|
Найдем p(t) на участке t > 1
t t
òl(t)dt =òdt = t -1;
1 |
1 |
тогда p2 (t) = e-t +1.
Рис.14
График закона надежности показан на рис. 31.14. Среднее время безотказной работы равно площади, ограниченной
кривыми p1 (t) , p2 (t) |
и осями координат |
|
||||||||
1 |
¥ |
1 |
|
|
t 2 |
¥ |
||||
|
-(2t |
- |
|
|
) dt + òe-t +1dt = 1,05 +1 = 2,05. |
|||||
|
|
2 |
||||||||
t |
= ò p1 (t)dt + ò p2 (t)dt = òe |
|||||||||
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
1 |
||
|
|
|
|
1 |
-(2t - |
t 2 |
|
|||
Здесь первый интеграл òе |
|
) dt = 1,05 вычислен |
||||||||
2 |
||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
приближенно.
8.2. Плотность распределения времени безотказной работы элемента на участке (t1 , t2 ) постоянна и равна нулю вне этого участка (рис. 15). Найти интенсивность отказов и построить график.
42
Рис. 15
Решение. Интенсивность отказов по формуле (7) равна
l(t) = |
f (t) |
= |
f (t) |
|
|
|
|
|
(t1 < t < t2 ). |
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
p(t) 1 - q(t) |
|
|
|
|
|
|||||
Поскольку |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
t |
|
|
dt |
|
t - t1 |
|
||
q(t) = ò f (t)dt = ò |
|
|
= |
, |
|||||||
|
|
2 - t1 |
|
||||||||
|
t |
|
t |
t |
|
t2 - t1 |
|||||
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
l(t) = |
|
|
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
t2 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
- t |
|
|
|
||||
График интенсивности отказов приведен на рис. 16.
Рис. 16 8.3. Простая система состоит из 7 независимых элементов,
надежность каждого из которыхp = 0,9 .Найти надежность системы.
Решение. Воспользуемся формулой (10), тогда
P = 0,97 » 0,478.
8.4. Простая система состоит из 100 одинаково надежных
43