Документ: Методы оптимизации. методические указания для организации самостоятельной работы по курсу «Высшая математика». Пантелеев И.Н, страницы 46-50

независимых элементов. Какова должна быть надежность отдельного элемента, чтобы надежность системы была бы не менее 0,85?

Решение. Представим формулу (10) в виде

p = n P . Тогда

надежность отдельного элемента

p = 100 0,85;

ln p =

1

ln 0,85;

p = 0,9995.

100

8.5.

Простая

система

состоит

из

трех

независимы

элементов.

Найти

интенсивность

отказов

системы, если

плотности распределения времени безотказной работы заданы

выражениями:

f 2 (t) = 3t 2 ,

f1 (t) = 1,

f3 (t) = 1 - 2t

при 0 < t < 1.

Решение. Поскольку

¢

f (t) = q (t) то ненадежность каждого

элемента будет

(t) = t 3 ;

(t) = t - t 2

q (t) = t;

q

2

q

3

при 0 < t < 1.

1

Отсюда надежность элементов

p (t) = 1 - t; p

2

(t) = 1 - t 3 ;

p

3

(t) = 1 - t + t 2 при 0 < t

< 1.

1

Интенсивность отказа каждого элемента по формуле (7)

равна

l (t) =

1

; l

2

(t) =

3t

2

; l

3

(t) =

1 - 2t

.

1

- t

1 - t 3

1 - t

+ t 2

Интенсивность отказов системы находим по формуле (11)

L(t) = l (t) + l

2

(t) + l

3

(t) =

1

+

3t 2

+

1 - 2t

=

1

1 - t

1 - t 3

1 - t + t 2

=

2(1 - t + 2t 2 - 2t 3 + 3t 4 )

.

(1 - t 3 )(1 - t + t 2 )

8.6. Найти надежность системы, состоящей из семи элементов с надежностями p1 , p2 ,..., p7 (рис. 17).

44

Рис. 17 Решение. Поскольку в системе применяются ка

«последовательное», так и «параллельное» соединение элементов, то при оценке надежности расчленяем ее на ряд подсистем. Рассматривая подсистемы как условные элементы, находим надежность системы в целом.

Подсистема I — «параллельно» включенные элементы Э2 и Э3 ; надежность p1 = 1 - (1 - p2 )(1 - p3 ).

Подсистема II — «последовательно» соединенные

элементы Э1 и I; надежность pII = pI p1.

Подсистема III — «параллельно» включенные элементы Э4 и Э5 ; надежность pIII = 1 - (1 - p4 )(1 - p5 ).

Подсистема IV — «последовательное» соединение элементов Э6 и Э7 , надежность pIV = p6 × p7 .

Подсистема V — «последовательно» соединенные

элементы III и IV; надежность pV = pIII×	pIV .
Вся система — «параллельно»	включенные II и V

элементы; надежность P = 1 - (1 - pII )(1 - pV ).

8.7. Рассмотрим технологическую линию, состоящую из одной основной машины и трех резервных. Пусть основная

машина подвергается простейшему потоку отказов интенсивностью l1 . Найти надежность линии с облегченным

45

резервом, т. е. когда		резервные		машины	до	включения
подвергаются	простейшему			потоку		отказов
интенсивностью l2 ,	а		после	включения		интенсивность
повышается до величины l2			0 .
Решение. При	определении			надежности	линии введем

следующие обозначения состояний. Если основная машина работает, то первый индекс равен нулю, если основная машина отказала, то первый индекс равен единице, а второй индекс определяет число исправных резервных машин. Так, S0k , —

основная машина	исправна, из резервных исправны k машин
( k =О, 1, 2, 3); S1k	— основная машина отказала, из резервных

исправны k машин, причем одна из них работает.

Для составления уравнений Колмогорова представим граф состояний (рис. 18).

Рис. 18

Система уравнений вероятностей состояний в этом случае будет

dp03 = -(l1 + 3l2 ) p03 ;

dt

dp02 = -(l1 + 2l2 ) p02 + 3l2 p03 ;

dt

dp01 = -(l1 + l2 ) p01 + 2l2 p02 ;

dt

dp00 = -l1 p00 + l2 p01 ;

dt

46

dp13

= -(l

0 + 2l

2

) p + l p

03

;

dt

2

13

1

dp12

= -(l 0

+ l

2

) p + l p

02

+ (l 0

+ 2l

2

) p ;

dt

2

12

1

2

13

dp11

= -l

0 p + l p

01

+ (l 0

+ l

2

) p ;

dt

2

11

1

2

12

dp10

= l p

00

+ l

0 p .

dt

1

2

11

Из интегрирования первого уравнения системы имеем

p03 = e -(l1 +3l2 )t .

Подставляя это решение во второе уравнение системы и интегрируя, находим p02 .Продолжая последовательно процесс

интегрирования уравнений, находим остальные значения вероятностей состояний. Вероятность состояния, когда линия не работает, может быть найдена из условия

p10 (t) = 1 - ( p03 + p02 + p01 + p00 + p13 + p12 + p11 ).

Отсюда надежность линии, как обратное событие, будет

P(t) = 1 - p10 (t).

т. е. равна сумме вероятностей, при которых линия работает. Нетрудно заметить, что изменение числа резервных машин

в технологической линии приводит только к увеличению или уменьшению графа состояний (рис. 18), а, соответственно, и числа уравнений системы. В остальном схема расчета остается без изменений.

9. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Найти глобальные экстремумы следующих функций:

1.1.	y = ax2 + bx + c, (a ¹ 0), x Î R ;
1.2.	y =	x	, x Î R ;

	1+ x2
1.3.	y = -3x4 + 6x2 , x Î[-2, 2] ;

47

1.4.

-

x2

x Î R ;

y = xe 2 ,

1.5.

y =

1

e

-

( x-a)2

x Î R ,

a = const .

2

,

2p

1.6.

Определить

размеры

открытого

бассейна

с

квадратным дном объемом 32 м3 так, чтобы на облицовку его

стен и дна пошло наименьшее количество материала.

1.7.

Для хранения и охраны военного имущества

требуется

огородить

забором

прямоугольный

участ

площадью S=1,5 га и затем таким же забором разделить этот

участок на две равные части. Определить размеры участка, при

которых расход материалов будет наименьшим.

1.8. Штаб инженерной части планирует строительство

тоннеля с сечением в форме правильной трапеции площадью5

м2 и с острым углом при нижнем основании, равным α.

Определить размеры сечения тоннеля, при которых расход

материалов

на

боковые

стенки

и

потолок

был

минимальным.

1.9.

Два

самолета

летят

в

одной

плоскости

прямолинейно под

углом1200

с одинаковой

скоростьюu

км/час. В некоторый момент один самолет пришел в точку пересечения линий движения, а второй не дошел до неё d км. Через сколько времени расстояние между самолетами будет наименьшим? Чему равно это расстояние?

1.10. Из трех досок одинаковой ширины сколачивается желоб. При каком угле наклона боковых стенок площадь поперечного сечения желоба будет наибольшей?

2.1. Найти экстремумы функции:

a)	u = x2 - xy + y2 - 2x +y;
б)	z = ( x2 + y2 ) e-(x2 +y2 ) ;

в)	z = ( x - 1 )2 + 4 - 2y2 ;
г)	z = ex-y ( x2 - 2y2 );

д) z = 2 - xy - 4x - 2y;

48

Материал: Методы оптимизации. методические указания для организации самостоятельной работы по курсу «Высшая математика». Пантелеев И.Н

Смотрите также: