Материал: Методы оптимизации. методические указания для организации самостоятельной работы по курсу «Высшая математика». Пантелеев И.Н
ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет»
Кафедра высшей математики и физико-математического моделирования
127-2017
МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
для организации самостоятельной работы по курсу «Высшая математика»
для студентов направления 20.01.03 «Техносферная безопасность»
(направленности «Защита в чрезвычайных ситуациях», «Безопасность жизнедеятельности в техносфере», «Защита окружающей среды»)
очной формы обучения
Воронеж 2017
Составитель канд. физ.-мат. наук И.Н. Пантелеев |
|
|
|||||||||
УДК 517.2 (07) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ББК 22.1я7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Методы |
оптимизации: |
методические |
указания |
|
для |
||||||
организации самостоятельной работы по курсу«Высшая |
|
||||||||||
математика» |
|
для |
студентов |
направления20.01.03 |
|
||||||
«Техносферная |
безопасность» |
(направленности |
«Защита |
|
в |
||||||
чрезвычайных ситуациях», «Безопасность жизнедеятельности |
|||||||||||
в техносфере», «Защита окружающей среды») очной формы |
|||||||||||
обучения / |
ФГБОУ |
ВО |
«Воронежский |
государственный |
|||||||
технический |
университет»; |
сост. И.Н. Пантелеев. |
Воронеж, |
|
|||||||
2017. 50 с. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Методические |
указания |
предназначены |
в |
качестве |
|||||||
руководства |
|
для организации |
самостоятельной |
работы |
по |
||||||
курсу "Высшая |
математика" по |
разделу «Методы |
|
||||||||
оптимизации» |
для |
студентов |
направления20.01.03 |
|
|||||||
«Техносферная безопасность» в 3 семестре. В работе |
приведен |
||||||||||
теоретический |
материал, |
необходимый |
для |
выполнения |
|||||||
заданий и решение типовых примеров. |
|
|
|
|
|
||||||
Методические |
указания |
|
подготовлены |
в |
электронном |
||||||
виде и содержатся в файле Vmfmm_MetOptim _17.pdf. |
|
|
|||||||||
Ил. 18. Библиогр.: 9 назв.
Рецензент канд. физ.-мат. наук, проф. Г.Е. Шунин Ответственный за выпуск зав. кафедрой д-р физ.-мат. наук, проф. И.Л. Батаронов
Издается по решению учебно-методического совета Воронежского государственного технического университета
ÓФГБОУ ВО «Воронежский государственный
технический университет», 2017
1. ОПТИМИЗАЦИЯ ПЛАНИРОВАНИЯ КОМПЛЕКСА РАБОТ
1°. Основным материалом для сетевого планирования является список или перечень работ, который называется структурной таблицей комплекса работ. В структурной таблице для нахождения ai должно быть указано, выполнение каких работ она требует или на какие работы опирается.
Работа |
Опирается |
|
Обозначение |
ai |
на работу |
Ранг |
в новой |
|
|
|
нумерации |
a 1 |
- |
1 |
b1 |
|
|
|
a
a
a
a
a
2 |
a 1 ,a 3 |
2 |
b 3 |
|
|
|
|
||
3 |
- |
1 |
b 2 |
|
|
|
|
||
4 |
a 1 ,a 2 ,a 3 |
3 |
b 4 |
|
5 |
a 1 ,a 2 ,a 4 |
4 |
b 6 |
|
6 |
a 2 ,a 3 |
3 |
b 5 |
Первая |
операция |
называетсяупорядочением. |
Для |
|||
упорядочения |
все |
работы |
разделяют |
на . |
рангиРабота |
|
называется работой 1-го ранга, если для ее начала не требуется выполнение никаких других работ. Работа называется работой
второго ранга, если она опирается на |
одну или |
несколько |
||
работ первого ранга и т. д. |
|
|
|
|
Если |
задано ti - время |
выполнения |
работы |
ai , то |
минимально |
возможный срок окончания работы находится по |
|||
формуле |
T i = t i |
+ t i , |
|
(1) |
|
|
|||
где t i |
= max {T j ,Tl ,Tk } - минимально возможный срок начала |
||||||||||||||
работы ai , которая опирается на работы a j , al , ak |
и не может |
||||||||||||||
начаться прежде, чем не будет завершена работа, которая |
|||||||||||||||
заканчивается позже всех. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Работы |
|
ai |
, из |
|
длительностей |
которых |
составлено |
||||||||
минимальное |
время |
|
завершения |
|
комплекса |
работ, |
|||||||||
называются |
критическими |
работами. |
Чтобы |
|
найти |
||||||||||
критические |
работы, |
а |
следовательно |
и |
критический |
путь, |
|||||||||
надо |
найти |
работуai |
, для которой время окончания |
T i |
|||||||||||
максимально; эта работа и будет критической. Далее следует |
|||||||||||||||
найти работу, для которой |
T i |
будет моментом |
началаai . |
||||||||||||
Величина t i |
представлена |
в |
виде |
максимумаT j |
, |
T l , |
T k . |
||||||||
Необходимо найти max. Это будет вторая критическая работа |
|||||||||||||||
от конца и т. д. |
|
|
|
|
|
|
|
T = åti |
|
|
|||||
2°. Пусть общее время выполнения работ |
нас не |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(kp) |
|
|
|
устраивает |
|
и |
требуется |
его |
сократить |
до |
времени. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
Очевидно, |
|
что |
надо |
|
форсировать |
|
критические |
.работы |
|||||||
Вложение дополнительных средств x i |
в работу ai |
сокращает |
|||||||||||||
время |
ее |
выполнения |
сt i |
до ti¢ = fi (xi ) . |
Время |
выполнения |
|||||||||
комплекса |
|
работ |
будетT¢ = |
å fi (xi ) £ T0 . |
Нахождение |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(kp) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
минимума |
|
вложенных |
средствx = åxi |
= min |
разберем на |
||||||||||
примере 1.2. |
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3°. Рассмотрим задачу перераспределения уже имеющихся |
|||||||||||||||
средств |
между |
отдельными |
работами. Известно, |
что |
|||||||||||
количество |
|
средств x > 0, снятое с |
работы ai , |
увеличивает |
|||||||||||
время ее выполнения с t i |
до ti¢ = fi (xi ) , а количество средств |
||||||||||||||
x , вложенных дополнительно в работу al |
уменьшает время ее |
||||||||||||||
2
выполнения до ti ² =ji (x) . Сумма средств, снимаемых с каких-
то работ, должна быть равна сумме средств, добавляемых к другим работам, так что
x 1 + x2 |
+ …+ xn =0 |
(2) |
Для решения задачи необходимо, чтобы общий срок |
||
выполненного комплекса работ был минимален |
|
|
T ¢ = å fi (x) + åji (x) = min . |
(3) |
|
kp |
kp |
|
4°. Сетевое планирование при случайных времена выполнения работ. При сложении достаточно большого числа независимых случайных величин, распределенных по любым законам, закон распределения суммы близок к нормальному, поэтому МО времени равно сумме
|
|
mt = åmti |
|
, |
|
(4) |
|
|
|
|
kp |
|
|
|
|
где mti |
- МО времени выполнения i – й работы. |
|
|||||
Среднеквадратическое отклонение, соответственно, будет |
|||||||
|
|
s t = |
ås ti |
2 |
, |
(5) |
|
|
|
|
kp |
|
|
|
|
где s ti |
- среднеквадратическое отклонение времени |
|
|||||
выполнения i – й работы. |
|
|
|
|
|
||
Если |
величины (4), (5) |
известны, то |
вероятность |
||||
выполнения комплекса в срок T 0 |
находится по формуле |
||||||
|
|
æ T - m |
t |
ö |
|
||
|
|
ç |
0 |
|
÷ |
(6) |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
P(T < T0 ) = Fç |
s t |
|
|
÷ + 0.5 , |
|
|
|
è |
|
|
ø |
|
|
где Ф – функция Лапласа находится из таблицы.
1.1. Пусть дана упорядоченная структурная таблица
3